高中数学导数练习题

1、专题8:导数(文)经典例题剖析 考点一：求导公式。1 3 一 ，例1. f(x)是f(x) x 2x 1的导函数，则f ( 1)的值是。 3解析：f' xx解析：y' 3x 4x 4, 点(1, 3)处切线的斜率为k 3 4 45,所以设切线方程为y 5x b,将点(1, 3)带入切线方程可得 b 2,所以，过曲线上点(1, 3)处的切线方程为：5x y 2 0答案：5x y 2 0 2,所以 f' 11 2 3答案：3考点二：导数的几何意义。一 一_ 一， 1例2.已知函数y f (x)的图象在点M (1, f (1)处的切线万程是y -x 2 ,则f(1) f (1

2、) 。一， 11 .解析：因为k 一,所以f'1-,由切线过点M (1, f (1),可得点M的纵坐标为225 一 .5一,所以f 1,所以f 1 f' 136 2答案：37 2例3.曲线y x 2x 4x 2在点(1, 3)处的切线方程是 。.y0解析： 直线过原点，则k xo0。由点xo, y0在曲线C上，则Xy。3Xo3xo2y。x22_x03x0 2。又 y' 3x 6x 2,xo, yo处曲线 C 的切线斜率为k_2_-3xO 6xO 22xo3xo22 3x0 6xo(舍)，此时,yo382,整理得：2x01。所以，直线4八一3 ,八3xo 0,解得：xo

3、一或 xo 0 21l的方程为y -x,切点坐标是4答案：直线l的方程为y133x ,切点坐标是 一，一428点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不 是必要条件。考点四：函数的单调性。. 一3 一 2. 例5.已知f x ax 3x x 1在R上是减函数，求 a的取值范围。2解析：函数f x的导数为f' x 3ax 6x 1。对于x R都有f' x 0时，f x答案：a 3点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题， 要有求导意识。考点五：函

4、数的极值。一32例6.设函数f(x) 2x 3ax 3bx 8c在x 1及x 2时取得极值。(1)求a、b的值；2(2)右对于任思的x 0,3,都有f(x) c成立，求c的取值范围。解析:一- 2 一一 一 一一(1) f (x) 6x6ax 3b ,因为函数f (x)在x 1及x 2取得极值，则有f (1) 0， f (2)0.即6 6a 3b 0, 24 12a 3b 0.解得a3, b 4。(2)由(I)可知，f (x)32_218x 12 6(x 1)(x 2)。(2,3)时,f (x) 0。所以,2x 9x 12x 8c, f (x) 6x当 x (0 1)时，f (x) 0；当 x

5、 (1,2)时，f (x) 0；当 x当 x 1 时，f(x)取得极大值 f(1) 5 8c,又 f(0) 8c, f (3) 9 8c。则当 x 0,3时，f(x)的最大值为f (3) 9 8c。因为对于任意的 x 0,3 ,有f(x) c2f 132a4 0,a -o f' x3xx 43x4 x 1 恒成立，所以 9 8c c2,解得 c 1或c 9,因此c的取值范围为(，1)U(9,)。答案：(1) a 3, b 4； (2) (, 1)U(9,)。点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数f x的极值步骤：求导数f' x ;求f' x 0的根；将f'

6、; x0的根在数轴上标出，得出单调区间，由 f' x在各区间上取值的正负可确定并求出函数f x的极值。考点六：函数的最值。2例7.已知a为实数，f x x 4 x a。求导致f'x； (2)若f' 10,求fx在区间2,2上的最大值和最小值。322解析：(1) f xxax4x4a , f x3x2ax 4。42,2令f' x 0 ,即3x 4 x 10 ,解得x 1或x ,则f x和f' x在区间3上随x的变化情况如下表:x22, 1141,34343,22f' x十0一0十f x0增函数极大值减函数极小值增函数0502750一一一一 4。所以

7、，f x在区间 2,2上的最大值为f 273小值为f答案:(1)-243x 2ax 4 ； (2)最大彳1 为 f 一35027点评:本题考查可导函数最值的求法。求可导函数f x在区间a,b上的最值,要先求从而得出函数的最大最出函数f x在区间a,b上的极值，然后与f a和f b进行比较,小值。考点七：导数的综合性问题。例8.设函数f(x) ax3 bx c (a 0)为奇函数，其图象在点(1, f (1)处的切线与直线x 6y 7 0垂直，导函数f'(x)的最小值为 12。(1)求a, b, c的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在1,3上的最大值和最小值。解析

8、： (1) ; f(x)为奇函数，f ( x)f (x),即ax3 bx c ax3bxcc 0, f'(x) 3ax2b 的最小值为12, . b 12,又直线x 6y701的斜率为 1,因此，f'(1) 3ab 6, . a 2, b 12, c 0.6 f(x) 2x3 12x。 f '(x) 6x2 12 6(x 72)( x J2),列表如下：x(,亚五(5,正)沂，)f'(x)00f(x)增函数极大减函数极小增函数所以函数f（x）的单调增区间是（,J2）和（J2,）, . f（ 1） 10 ,f（J2）8应，f（3） 18, f（x）在1,3上的最大

9、值是f（3） 18,最小值是f （扬 8点。答案：（1） a 2, b 12, c 0; （2）最大值是 f（3） 18,最小彳1 是 f （J2）8 J2。点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。导数强化训练（一） 选择题x11 .已知曲线y 的一条切线的斜率为 一，则切点的横坐标为（ A ） 42A. 1B. 2C. 3D. 42 .曲线yx25.函数f （x） x ax 3x 9,已知f （x）在x3时取得极值，则a =（ d ） 3x2 1在点（1, 1）处的切线方程为（B ）A. y 3x 4 B. y 3x 2 C. y 4

10、x 3 D. y 4x523 .函数y (x 1)2(x 1)在x 1处的导数等于(D )A. 1 B. 2 C. 3 D. 44 .已知函数“*）在* 1处的导数为3,则f（x）的解析式可能为 （A ）-2一B. f (x) 2( x 1)A. f(x) (x 1)23( x 1)-2-(A) 2(B) 3(C) 4(D) 5C. f (x) 2(x 1) D. f (x) x 16 .函数f （x） x3 3x2 1是减函数的区间为（D ）(A) (2,) (B) (,2) (C) (,0) (D) (0,2),.7 .若函数f x x2 bx c的图象的顶点在第四象限，则函数 f'

11、; x的图象是（ A ）x8.函数f(x)32 A. 321 3 ,、一2x2 -x3在区间0,6上的最大值是(3B. C. 12339.函数y x 3x的极大值为 m ,极小值为n ,则m n为D. 9(A )A. 0B. 110.三次函数f x ax3 x在xA. a 0B. a 0C. 2D. 4内是增函数，则 (A )C. a 1D. a 13.-311.在函数y x8x的图象上，其切线的倾斜角小于A. 3B. 2C. 1的点中，坐标为整数的点的个数4）D. 012.函数f （x）的定义域为开区间（a,b）,导函数 f （x）在开区间（a, b）内有极小值点（ A ）A. 1个B. 2

12、个C. 3个D. 4个f （x）在（a,b）内的图象如图所示，则函数（二）填空题13.曲线yx3在点1,1处的切线与x轴、直线x2所围成的三角形的面积为.O 1 3 414 .已知曲线y 3x & ,则过点P（2,4） “改为在点P（2,4） ”的切线方程是15 .已知f(x)是对函数f(x)连续进行n次求导，若f(x) x6 x5 ,对于任意x R,都有f(x)=0,则n的最少值为 。16 .某公司一年购买某种货物 400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储 费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 吨.(三)解答题17 .已知函数fx x3 ax

13、2 bx c,当x 1时，取得极大值7;当x 3时，取得极小值.求这个极小值及 a,b,c的值.3_2_18 .已知函数 f (x) x 3x 9x a.(1)求f(x)的单调减区间；(2)若f(x)在区间 2, 2.上的最大值为20,求它在该区间上的最小值 .19 .设t 0,点P (t,0)是函数f(x) x.220.设函数 f x x bx cx(x R),已知 g(x) f (x) f (x)是奇函数。(1)求b、c的值。(2)求g(x)的单调区间与极值。 ax与g(x) bx2 c的图象的一个公共点, 两函数的图象在点 P处有相同的切线。(1)用 t 表示 a,b,c ;(2)若函数

14、y f (x) g(x)在(1, 3)上单调递减，求t的取值范围。21.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2： 1,问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？1 31222.已知函数f(x) x ax bx在区间1,1), (1,3内各有一个极值点. 32(1)求a2 4b的最大值；(1) 当a2 4b 8时，设函数y f(x)在点A(1, f (1)处的切线为l,若l在点A处穿过函数y f (x)的图象(即动点在点 A附近沿曲线y f (x)运动，经过点 A时，从l的一侧进入另一侧)，求函数 f(x)的表达式.强化训练答案：7.A 8

15、,A 9.A 10.A 11.D12.A15. 716. 20b。2ax b 0的两个根，由韦达定理得1.A 2.B 3.D 4.A 5.D 6.D （四）填空题8人13. 一 14. y 4x 403（五）解答题217.解：f' x 3x 2ax据题意，1, 3是方程3x21 3当393x2 9x c 2极小值f 333 3 32:极小值为一25, a 3,b3a 3, b3f x x. f 17c9 3 2259, c 2。18 .解：(1)f (x) 3x2 6x 9.令 f (x) 0,解得 x 1或x 3,所以函数f(x)的单调递减区间为(，1), (3,).8 12 18

16、a 22 a,(2)因为 f ( 2) 8 12 18 a 2 a, f(2)所以f(2) f ( 2).因为在(一1, 3)上f (x)0 ,所以f (x)在T, 2上单调递增，又由于f (x)在2, 1上单调递减，因此f(2)和f( 1)分别是f(x)在区(02,2上的最大值和最小值.于是有22 a 20,解得a 2. 32故 f(x) x 3x 9x 2.因此 f( 1) 1 3 9 27,即函数f (x)在区(h2,2上的最小值为7.19 .解：(1)因为函数f(x), g(x)的图象都过点(t,0),所以f(t) 0,即 t3 at 0.因为 t 0,所以 a t2. g(t) 0,

17、即bt2 c 0,所以 c ab.又因为f (x) , g(x)在点(t , 0)处有相同的切线，所以 f (t) g (t).而 f (x) 3x2 a, g (x) 2bx,所以3t2 a 2bt.公.23.23将a t代入上式得b t.因此c ab t .故a t , b t, c t .3223_2_2 一(2)y f (x) g(x) x t x tx t , y 3x 2tx t (3x t)(x t).当y (3x t)(x t) 0时，函数y f(x) g(x)单调递减.由 y 0,若t 0,则-x t；若t 0,则t x -. 33由题意，函数y f (x) g (x)在(1

18、, 3)上单调递减，则(1,(3) 用或(1,3)(t,-).所以 t 3或 - 3.即t9或t3.333又当 9 t 3时，函数y f (x) g(x)在(1, 3)上单调递减.所以t的取值范围为(，93,).20 .解：(1)f xx3bx2cx, fx 3x22bxc。从而g(x)f (x)f (x)x3bx2cx(3x2 2bx c)= x3(b 3)x2(c 2b)x c是一个奇函数，所以g(0)0得c 0,由奇函数定义得b 3；由(I)知g(x) x3 6x,从而g(x) 3x2 6,由此可知，(，衣)和(J2,)是函数g(x)是单调递增区间；(J, ,2) 是函数g(x)是单调递

19、减区间；g(x)在xJ2时,取得极大值，极大值为4乏，g(x)在x J2时，取得极小值，极小值为 4221 .解：设长方彳的宽为 x (m),则长为2x (m),高为18 12x3h 4.5 3x(m)0Kx<-.42故长方体的体积为_ 2_2_332x 4.5 3x 9x 6x m从而 V(x) 18x 18x2(4.53x)18x(1 x).令V' x 0,解得x 0 (舍去)或x 1 ,因此x 1.3当 0 x 1 时，V' x 0；当 1 x 时，V' x 0,2故在x 1处V x取得极大值，并且这个极大值就是 V x的最大值。2_33从而取大体积V V&

20、#39; x 9 16 1m,此时长万体的长为 2 m,身为1.5 m.答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m,高为1.5 m时，体积最大，最大体积为 3m3。1 31222.解：(1)因为函数f(x) - x -ax bx在区间1,1) , (1,3内分别有一个极值点，所以32f (x) x2 ax b0在1,1), (1,3内分别有一个实根，设两实根为x1,x2(Xix2),则“Xia24b，且0x2x1< 4 .于是0 Va2 4b < 4,0 a2 4b016,且当 x11, X2 3,即 a 2,b 3 时等号成立.故2 一一,一一a2 4b的最大值是16.(2)解法一：

21、由f (1) 1 a b知f(x)在点(1, f (1)处的切线l的方程是.r 一 一 ,、21y f(1) f (1)(x 1),即 y (1 a b)x a, 3 2因为切线l在点A(1, f (x)处空过y f (x)的图象，2 1.所以g(x)f (x) (1 a b)x 一 一a在x 1两边附近的函数值异号，则x 1不是g( x)的极值点.一 .1 Q 1 O而 g(x) x ax bx (1 322g (x) x ax b (1 a b)若11 a,则x 1和x 1所以11 a,即a 2,又由解法二：同解法一得 g(x) f (x)12 3a(x 1)x2 (1 -)x (2 32因为切线l在点A(1, f(1)处穿过y f(x)的图象，所以g(x)在