中考压轴题之一因动点问题产生的相似三角形问题

1、1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2012年苏州市中考第29题如图1,已知抛物线y lx2 1（b 1）x b （b是实数且b>2）与x轴的正半轴 444分别交于点A、B （点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点 C.（1）点B的坐标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点 P,使得四边形PCOB勺面积等于2b, 且4PB混以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在， 求出点P的坐标；如 果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q,使得 QCOQOAa QAB 中的任意两个三角形均相似 （全等可看作相似的特殊情况）？

2、如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由.图1动感体验请打开几何画板文件名“ 12苏州29”，拖动点B在x轴的正半轴上运动，可 以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB勺面积等于2b的时刻.双 击按钮“第（3）题”，拖动点B,可以体验到，存在/ OQA / B的时刻，也存在 / OQ A= / B的时刻.思路点拨1 .第（2）题中，等腰直角三角形 PBC音示了点P到两坐标轴的距离相等.2 .联结OP把四边形PCOBS新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示.3 .第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点 A与

3、x轴垂直的直线上.满分解答（1） B的坐标为（b, 0），点C的坐标为（0, b）. 4（2）如图2,过点P作PD）±x轴，PHy轴，垂足分别为 D E,那公' PDB©PEC因此P* PE.设点P的坐标为（x, x）.如图3,联结OP所以解得16x 一5所以点P的坐标为（二6）(3)由 y1x2l(b1)x b1(x 1)(x b),得 N1,0)4444OA= 1.如图4,以OA OC*邻边构造矩形OAQC那么OQCAQOAS 四边形 pcob= S pcctP Sa pbg= x - b x - bx 2b.2 428当 BA QA,即 QA2 BA OA时，

4、 BQACAQOAQA OA所以（b）2 b 1 .解得b 8 46.所以符合题意的点Q为（1,2百）如图5,以0蝎直径的圆与直线 x=1交于点Q那么/ OQ&90°。因止匕 OCQ AQOABA QA时， BQACQOA 止匕时/ OQB90° .QA OA.解得QA 4.此时Q1,4).所以C Q B三点共线.因此BO QACO OA考点伸展第（3）题的思路是，A C O三点是确定的,B是x轴正半轴上待定的点,而/ QOAJ/ Q00互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况.这样，先根据 QOAfQO0目似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对 应

5、成比例确定点B的位置.如图中，圆与直线x=1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？如果符合题意的话，那么点 B的位置距离点A很近，这与。以4OC矛盾.例2 2012年黄冈市中考模拟第25题如图1,已知抛物线的方程 C1： y l(x 2)(x m) ( m> 0)与x轴交于点B、C, m与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.(1)若抛物线。过点M2, 2),求实数m的值；(2)在(1)的条件下，求 BCE勺面积；(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH EH最小，求出点H的坐标；(4)在第四象限内，抛物线 C1上是否存在点F,使得以点R C F为顶点的 三角形与 BCW

6、目似？若存在，求 m的值；若不存在，请说明理由.图1动感体验请打开几何画板文件名“ 12黄冈25"，拖动点C在x轴正半轴上运动，观察 左图，可以体验到，EC与BF保持平行，但是/ BFC®无限远处也不等于 45° .观 察右图，可以体验到，/ CBFW1 45° ,存在/ BFC= /BCE勺时刻.思路点拨1 .第(3)题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，B田EH最小.2 .第(4)题的解题策略是：先分两种情况画直线 BF,作/ CBF= / EBG450 , 或者作BF/ EC再用含m的式子表示点F的坐标.然后根据夹角相等，两边对应成比例列

7、关于 m的方程.满分解答(1)M2, 2)代入(2)m= 4 时，y所以Q , 1 r LSzxBC匚BC OE21 y (x 2)(x m1 (x 2)(x 4)41- 6 2 6.24(2 m).解得 m= 4. m2 .所以 C(4, 0) , E(0, 2).(3)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1,当H落在线段EC上时，B田EH最小.设对称轴与x轴的交点为P那么hpEOCO因此HP 2.解得HP !.所以点H的坐标为(1,3).(4)如图3,过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FF'，x轴于由于/ BCE= /FBC 所以当 CE BC,即 BC2 CE CB BFBF

8、 时，BC9 AFBC设点F的坐标为(x, (x 2)(x m),由mFF ' EOBF' CO1(x 2)(x m),得 m 2解得x = m2.所以F'(nr 2, 0).由COBF 'CE BF,得 m、.m24空，.所以BFBF(m 4) m2 4m(m 4) m2 4由 BC2 CE BF ,得(m 2)2 Jm2 4整理，得0=16.此方程无解.如图4,作/ CB三450交抛物线于F,过点F作FF'由于/ EBO / CBF 所以 些 BC ,即 BC2 BE BF 时， BC匕 BFC BC BF在 RtBFF 中，由 FF =BF ,得(

9、x 2)(x m) x 2 . m解得 x = 2nn 所以 F' (2m,0).所以 BF = 2m2, bf 网m 2).由 BC2 BE BF ,得(m 2)2 2& 岳2 m 2).解得 m 2 2& .综合、，符合题意的 m为2 2户.考点伸展第(4)题也可以这样求BF的长：在求得点F'、F的坐标后，根据两点间的 距离公式求BF的长.例3 2011年上海市闸北区中考模拟第 25题1直线y 1x 1分别交x轴、y轴于A、B两点， AO焉点。按逆时针万向旋3转90°后得到 COD抛物线y=ax2+bx+ c经过A、C D三点.(1)写出点A B

10、C D的坐标；(2)求经过A C D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；(3)在直线BG上是否存在点Q使得以点A B、Q为顶点的三角形与 COD 相似？若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由.图1动感体验请打开几何画板文件名“ 11闸北25”，拖动点Q在直线BG上运动， 可以体 验到， ABQ勺两条直角边的比为1 ： 3共有四种情况，点 B上、下各有两种.思路点拨1 .图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋 转角.2 .用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标.3 .第(3)题判断/ AB690。是解题的前提.4 . ABQ与CODffi似，

11、按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点与点B的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个.满分解答(1) A：3, 0), R0, 1), Q0, 3), D( 1, 0).(2)因为抛物线 y = ax2+bx + c 经过 A(3 , 0)、C(0 , 3)、D( - 1, 0)三点，9a 3b c 0,a 1,所以c 3,解得b 2,a b c 0.c 3.所以抛物线的解析式为 y= x2+ 2x+3=(x1)2+4,顶点G的坐标为(1 , 4) .(3)如图2,直线BG的解析式为y=3x+1,直线CD勺解析式为y = 3x + 3, 因此C0 BG因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于

12、旋转角，所以AB±CD因此AB1BCG 即/ AB令 90° .因为点Q在直线BG匕设点Q的坐标为(x,3x+ 1),那么BQ “(3x)2屈x.COD勺两条直角边的比为 1 : 3,如果RtABQ与RtCOD!似，存在两 种情况：当BQ 3时，码x 3.解得x 3 .所以Qi(3,10) , Q2( 3, 8).BA.10当BQ1时，聿x 1.解得x I,所以q3(1,2), Q4( 1,0).BA 3,10 3333图2图3考点伸展AB第(3)题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明LBG 二是 BQx2 (3x)2我们换个思路解答第(3)题:如图3,作

13、GKy轴，QNLy轴，垂足分别为H、N.通过证明 AO军ABHCG根据全等三角形的对应角相等，可以证明/ABG90° .cos在 RtBGH, sin当BQ 3时，BQ BABQ sinBN BQ cos 1 9 .在 RtBQNfr, qn当Q在B上方时，Qi(3,10)；当Q在B下方时，Q2( 3, 8).当饕1时，BQ :病.同理得到Q342), Q4( 1,0).BA 3333例4 2011年上海市杨浦区中考模拟第24题k .RtAABC在直角坐标系内的位置如图1所不，反比例函数 y -(k 0)在第一象限内的图象与xBC边交于点D (4, m),与AB边交于点E (2, n

14、) , BDE的面积为2.(1)求m与n的数量关系；(2)当tan /A= 1时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式；2(3)设直线AB与y轴交于点F,点P在射线FD上，在(2)的条件下，如果 AE¥4EFP相似，求点P的坐标.图1动感体验请打开几何画板文件名“ 11杨浦24"，拖动点A在x轴上运动，可以体验到，直线AB保持斜率不变，n始终等于m的2倍，双击按钮“面积 BDM 2”，可以看 到，点E正好在BD的垂直平分线上，FD/ x轴.拖动点P在射线FD上运动，可以体验到， AEOf4EFP相似存在两种情况.思路点拨1 .探求m与n的数量关系，用 m表示点B、D E的

15、坐标，是解题的突破口.2 .第(2)题留给第(3)题的隐含条件是FD/ x轴.3 .如果 AEOf4EFP相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况.满分解答(1)如图1,因为点D (4,E (2, n)在反比例函数y上的图象上，所x以4m k, 整理，得n=2m2n k.(2)如图 2,过点 E 作 EHLBC,垂足为 H.在 RtABEHfr, tan / BEHktan一 1/ A= 1, E+ 2,所以 B用 1.因此 D4 , m) , E(2 , 2n), B(4 , 2nr 1).2已知 BDE勺面积为2,所以1 BD EH -(m 1) 2 2 .解得m 1.因此D(4

16、, 221) , E(2, 2), B(4, 3).因为点D (4, 1)在反比例函数y k的图象上，所以k = 4.因此反比例函数x的解析式为y 4. x3 4kb设直线AB的解析式为y = kx+b,代入B(4 , 3)、E(2 , 2),得3 b,解2 2k b.得 k 1 , b 1 .2因此直线AB的函数解析式为y 1x 1. 2图 2图 3图4(3)如图3,因为直线y -x 1与y轴交于点F (0, 1),点D的坐标为(4, 21),所以FD/ x轴，/ EFA / EAO因此 AEOf EFP相似存在两种情况：如图3,当旦正时，对5 .解得FP= 1.此时点P的坐标为(1,AO

17、FP 2 FP1).如图4,当 必 里时，晅 FP .解得F%5.此时点P的坐标为(5, AO EF 2,51).考点伸展本题的题设部分有条件“ RtABCS直角坐标系内的位置如图 1所示"，如果 没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：第(1)题的结论m与n的数量关系不变.第(2)题反比例函数的解析式为121y 12,直线AB为y -x 7 .第(3)题FD不再与x轴平行， AEOt EFPx2也不可能相似.图5例5 2010年义乌市中考第24题如图1,已知梯形OABC抛物线分别过点 O (0, 0)、A (2, 0)、B (6, 3).(1)直接写出抛物线的对称

18、轴、解析式及顶点M的坐标；(2)将图1中梯形OABC勺上下底边所在的直线 OA CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点 O、A、C1、B,得到如图2的梯形OABC.设梯形OABC 的面积为S,A、B1的坐标分别为(X1,y。、(X2,y2).用含S的代数式表示X2 x%并求出当S=36时点Ai的坐标；(3)在图1中，设点D的坐标为(1 , 3),动点P从点B出发，以每秒1个单 位长度的速度沿着线段 BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线 段DM运动.P、Q两点同时出发，当点 Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动.设 P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线P

19、Q直线AB x轴围成的三角形与直线 PQ直线AB抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.动感体验请打开几何画板文件名“ 10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图象,可以体验到，X2 xi随S的增大而减小.双击按钮“第(3)题”，拖动点Q在DM 上运动，可以体验到，如果/ GAR / GQE那么 GA%4GQ卸似.思路点拨1.第(2)题用含S的代数式表示X2-X1,我们反其道而行之，用 xi, X2表示S.再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2yi = 3.通过代数变形就可以了.2 .第(3)题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画 出

20、准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证.3 .第(3)题的示意图，不变的关系是：直线 AB与x轴的夹角不变，直线 AB与抛物线的对称轴的夹角不变.变化的直线PQ的斜率，因此假设直线 PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方.满分解答(1)抛物线的对称轴为直线x 1,解析式为y【x2 -x,顶点为M (1, 1). 848(2) 梯形QABC的面积S 2(x1 1 j2 1)3(x1 x2)6,由此得到x,x2-2 .由于 y2y13 ,所以 y2y1 x2 - x2 ' x；1 x13 .整理，得38484(x2 x1) (x2 x1) - 3.因

21、止匕得至U x2 x1 -.84S当S=36时，x2 x1 14,解得x1 6,此时点A的坐标为（6, 3）.x2 x1 2.x2 8.(3)设直线AB与PQ交于点G,直线AB与抛物线的对称轴交于点 E,直线PQ 与x轴交于点F,那么要探求相似的 GAFW4GQE有一个公共角/ G.在GEQK / GE盅直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值.在4GA神，/ GA直直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且/ GEQ= / GAF 因此只存在/ GQE/GAF勺可能，GQE4GAF这时/ GAR/GQE/PQD 由于 tan GAF 3, tan PQD DQ '，所以3 .解得 t a.4Q

22、P 5 t45t7图3图4考点伸展第(3)题是否存在点 G在x轴上方的情况？如图4,假如存在，说理过程相 同，求得的t的值也是相同的.事实上，图 3和图4都是假设存在的示意图，实 际的图形更接近图3.例6 2010年上海市宝山区中考模拟第 24题如图1,已知点A (-2 , 4)和点B (1 , 0)都在抛物线y mx2 2mx n上.(1)求 m n；(2)向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A',点B的对应点为B',若四边形A A B B为菱形，求平移后抛物线的表达式；(3)记平移后抛物线白对称轴与直线AB 的交点为C,试在x轴上找一个点D,使得以点B'、C

23、D为顶点的三角形与 ABG目仅图1动感体验请打开几何画板文件名“ 10宝山24”，拖动点A向右平移，可以体验到，平 移5个单位后，四边形 A A' B B为菱形.再拖动点 D在x轴上运动，可以体验到，AB' CDmABCffi似有两种情况.思路点拨1 .点A与点B的坐标在3个题目中处处用到，各具特色.第(1)题用在待 定系数法中；第(2)题用来计算平移的距离；第(3)题用来求点B'的坐标、 AC和B C的长.2 .抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变.3 .探求ABCf ABf CD相似，根据菱形的性质，/ BAC= / CB D,因此按 照夹角的两边对应成

24、比例，分两种情况讨论.满分解答 因为点 A (-2 , 4)和点B (1 , 0)都在抛物线y mx2 2mx n上，所以4m 4m n 4，解得巾 45 n 4m 2m n 0.3(2)如图2,由点A(-2 , 4)和点B(1 , 0),可得AB= 5.因为四边形A A B B为菱形，所以 A A = B' B= AB= 5.因为 y4x2 8x 49x12 16,所3333以原抛物线的对称轴x=1向右平移5个单位后，对应的直线为x=4.因此平移后的抛物线的解析式为y，- x 4233图2(3)由点 A (-2 , 4)和点 B' (6 , 0),可得 A B' =

25、4而.如图2,由AM/ CN可得B'NB'MB'CB'A即2 SI 解得B'CAC 3 -5 .根据菱形的性质，在 ABCWABZ CD中，/ BAO / CB D.如图3,当空ACB'CB'D时,_5_3.53.此时。氏3,点D的坐标为(3, 0).如图4,当些B2时，斗BD,解得B'D 5.此时。氏13,点DAC B'C 3,5、, 533的坐标为(13 , 0) .考点伸展在本题情境下，我们还可以探求 B' CgAAB B'相似，其实这是有公共底 角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况.我们也可以

26、讨论 B' CD与ACB B'相似，这两个三角形有一组公共角/ B, 根据对应边成比例，分两种情况计算.例7 2009年临沂市中考第26题如图1,抛物线经过点 A(4, 0)、B (1, 0)、C (0, 一2)三点.(1)求此抛物线的解析式；(2) P是抛物线上的一个动点，过 P作PMLx轴，垂足为M是否存在点P, 使得以A、P、M为顶点的三角形与 OACffi似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在直线AC上方的抛物线是有一点 D,使彳# DCA勺面积最大，求出点 D的坐标.图1动感体验请打开几何画板文件名“ 09临沂26”，拖动点P在抛物

27、线上运动，可以体验 到， PAM勺形状在变化，分别双击按钮“ P在B左侧”、“ P在x轴上方”和“ P 在A右侧”，可以显示 PAMf OA。目似的三个情景.双击按钮“第(3)题”，拖动点D在x轴上方的抛物线上运动，观察 DCA勺 形状和面积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时， DCA勺面积最大. 思路点拨1 .已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较 简便.2 .数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长.3 .按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程.4 .把ADCAr以分割为共底的两个三角形，高的和等于 OA 满分解答(1)因为抛物线

28、与x轴交于A(4, 0)、B (1, 0)两点，设抛物线的解析式为1y a(x 1)(x 4),代入点C的 坐标(0, 2),解得a所以抛物线的解析I*、j T1, 八/ 、125 小式为 y-(x 1)(x 4)-x - x 2 .(2)设点P的坐标为(x, 1(x 1)(x 4).1如图2,当点P在x轴上万时，1vxv4, PM 1(x 1)(x 4) , AM 4 x.1(x 1)(x 4)如果AM也2,那么2.解得x 5不合题意.PM CO4 x1(x 1)(x 4) d如果AM也1 ,那么上1 .解得x 2 .PM CO 24 x 2此时点P的坐标为(2, 1).1如图3,当点P在点

29、A的右侧时，x>4, PM 1(x 1)(x 4), AM x 4.1-(X 1)(x 4)解方程2 2 ,得x 5 .此时点P的坐标为(5, 2).x 41-(x 1)( x 4)1解方程2-,得x 2不合题意.x 42如图4,当点P在点B的左侧时，xvl, PM -(x 1)(x 4), AM 21-(x 1)(x 4)一解方程2 2,得x 3.此时点 P的坐标为(3, 14).4 x 1-(x 1)(x 4)1解方程2 1,得x 0.此时点P与点O重合，不合题意.4 x 2综上所述，符合条件的点P的坐标为(2, 1)或(3, 14)或(5, 2).图2图3图4(3)如图5,过点D作

30、x轴的垂线交AC于E.直线AC的解析式为y -x 2.2设点D的横坐标为m(1 m 4),那么点D的坐标为(m, 1m2 -m 2),点E22的坐标为(m,1m2).所以 DE ( 1 m25 m2) (- m2)- m22m.222221 1222因止匕 S DAC ( - m 2m) 4 m 4m (m 2)4 .当m 2时，ADCA勺面积最大，此时点 D的坐标为(2, 1).考点伸展第(3)题也可以这样解:如图6,过D点构造矩形 OAMN那么 DCA勺面积等于直角梯形 CAMNJ面积减去 CDNf口 ADM勺面积.设点D的横坐标为(用n) (1 m 4),那么_1 _1 ,一、1 ,、 一S-(2n2)4 - m(n2)5 n(4m)m 2n4.由于 n1m2 5m 2,所以 S m2 4m.2 2例8 2009年上海市闸北区中考模拟第 25题如图1, 4ABC中，AB= 5, AC= 3, cosA=且.D为射线BA上的点（点 D不 10与点B重合），作DE/ BC交射线C奸点E.（1）若CE= x, BD= y,求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）当分别以线段BQ CE为直径的两圆相切时，求 DE的长度；（3）当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F,使4人834DEF相似？若存