二次函数中的存在性问题(讲义)

1、二次函数中的存在性问题（讲义）一、知识点睛解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤： 研究确定图形，先画图解决其中一种情形. 先验证的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解. 结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍.二、精讲精练1.如图，已知点P是二次函数疋+3兀图象在y轴右侧部分上的一个动点，将 直线尸-心沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于儿万两点.若以M为直角 边的万与（?初相似，请求出所有符合条件的点P的坐标.y = - _（天_ l）2 + 32 抛物线4、与），轴交于点A,顶点为B,对称轴BC与兀轴交于点C.点P在抛物线上，直线PQIIBC交x轴于点0,连接B0.（1）若含4

2、5。角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与点C重合，直 角顶点D在BQ上,另一个顶点E在P0上，求直线BQ的函数解析式；（2）若含30。角的直角三角板的一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ 上（点。不与点0重合），另一个顶点E在PQ ±,求点P的坐标.3如图，矩形OBCD的边OD、03分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD = 10, （95=8.将矩形的边BC绕点3逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的 点A重合.y = -z2 +加+(?(1)若抛物线 3经过4、B两点，则该抛物线的解析式为(2)若点M是直线ABk方抛物线上的一个动点，作MN丄x轴于点N.是否 存在点M,使AM

3、N与4CD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在, 说明理由.4.已知抛物线"*一2_3经过a、Q三点，点P (1, R)在直线BC：产厂3 上，若点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点 的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理 由.7 mABxOPc12勺y = x +x- 25抛物线 2与y轴交于点G与直线尸x交于力(-2, -2)、方(2, 2)两点.如图，线段MN在直线ABk移动，且网=忑,若点M的横坐标为 m,过点M作x轴的垂线与兀轴交于点P,过点N作兀轴的垂线与抛物线交 于点0以P、M、Q、"为顶点的四边形能否为平

4、行四边形？若能，请求出 加的值;若不能,请说明理由.三、回顾与思考【参考答案】一、知识点睛画图分析分类讨论验证取舍二、精讲精练1解：由题意，设0E则002m；当 Z场余90° 时，IXAOB或磁； 若2X34加应必如图1,(5nu 2m),可知R/s血相似比为2： 1；则人若厶BAP/XBOA.如图2,可知尺松s力防，相似比为1： 2；则A11代入尸7 +兀可知 8当 ZMQ90° 时，AB2AOB或/AB2'BOA；若止氏如图3,可知 PMBshbOA,相似比为 2： 1；则 A (4m, 4m), _ 1代入"山,可知r,马2)若厶AB2BOA.如图4

5、,5m可知 PMBshboa,相似比为1： 2；则只5 2), 代入尸可/匕，鲨叩V = - _仃_ 1)2 + 32解：(1)由抛物线解析式 4、可得3点坐标(1, 3).要求直线B0的函数解析式，只需求得点0坐标即可，即求C0长度.过点D作DG丄x轴于点G,过点D作QF丄0P于点F.则可证 DCG竺、DEF则DG=DF9矩形DGQF为正方形.则ZD2G=45。，则BCQ为等腰直角三角形.:CQ=BO3,此时，0点坐标为(4, 0)可得BQ解析式为y=-x+4(2)要求P点坐标，只需求得点0坐标，然后根据横坐标相同来求点P坐标即 可.而题U当中没有说明ZDCE=30°还是ZDCE=

6、60。,所以分两种情况来讨论.当ZDCE=30°时，a)过点D作DH丄x轴于点H.过点D作DK丄0P于点K.则RQ .在 RtAZW 中，ZDQC=60°. 则在RtABC(2中，%:CQ，此时，0点坐标为（1+巧,0）丘 y =1）2 + 3则P点横坐标为1+V3 代入 47可得纵坐标.6）乂只0为动点，可能尸0在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.山对称性可得此时点尸坐标为 当ZDCE=60°时，a）过点D作DMLx轴于点M,过点D作DV丄QP于点A：DM _ DC _ 1则可证 DC肿HDEN.则DN 加 語，在矩形D皱艸中，D2HQ,DM _ 1jii

7、ij MQ 語.在Rt功如中，ZD2.归30°.则在RtABCe中，BC _ 1看忑:CQ#B0爲,此时，0点坐标为（1+3昉，0）7 & A = _（；_ if +3则尸点横坐标为1+丸3.代入4、可得纵坐标._15.尸（1+弓击，4）b） 乂只0为动点，.可能尸0在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.综上所述，尸点坐标为（1_15迥玄）.3. 解：（1） 9：AB=BC=W9 03=8 在 RtZkOAB 中，OA=6:.A （6, 0）将A (6, 0) , B (0, -8)代入抛物线表达式，得，= -X1 + -X- 833(2)存在： 如果zMMN与ACD相似

8、，则卑二或咯二2AN 2 AN设 m - 2) (0v”v6)331)假设点M在x轴下方的抛物线上，如图1所示：M MN _ 1号席5 -耳胸十8£（胧一6）（朋一4）AN - 2Hb=卜屮 ：= |6 一炖2b _ m2:.m = >2胚（丄-2）*23 4如图2验证一下：VAW 而110丄 qd 一淤 _ W + O 2时，336 用:淤=一2 （舍）2）如果点M在x轴上方的抛物线上:wMN 1 一 1汨十巴珑一 8 阪二尹丄一一 6 刃3即_ 6）（秒 _ 4）6 - m2n碑P此时沏=二脚二142 MN _ 而 _ 2 MANs ZCD,;）满足要求4当土工=2'

9、;hii_ g（珑 _ 6）（型 _ 4）M_:二 26 - m:.m=lQ （舍）综上 MC|厂242 44. 解:满足条件坐标为:mi（3-7,0） A（3 + 6,0）M3（-l+V2,0） A4；（-l-,0）思路分析：A、M、N、P四点中点A、点P为顶点，则4P可为平行四边形边、 对角线；（1）如图，当AP为平行四边形边时，平移AP：点A、P纵坐标差为2点M、N纵坐标差为2；点M的纵坐标为0点N的纵坐标为2或-2当点N的纵坐标为2时得 x=l±乂点A、P横坐标差为2 点M的坐标为：昭(3-伍 0)、M/3 + /6,0)当点N的纵坐标为-2时解：X2 - 2x-3 = -2

10、得 r=l±>/2乂点q、p横坐标差为2点M的坐标为：吗(一1 + 忑0)、M4(-l-2,0)(2)当AP为平行四边形边对角线时;设 M5 （”0）MN定过AP的中点（0, -1）则M （-阳-2）Ns在抛物线上加'十2加一 3 = 一2朋=1±厅（负值不符合题意，舍去）/.m = -1+ 厅.陆（-1 +运,0）综上所述：符合条件点P的坐标为：吗（3-荷,0）曲2（3 +笳,0）塚（-1 +返0）隔（-1-血0）5. 解：分析题意，可得：MP/NQ,若以P、仁N、0为顶点的四边形为平行四 边形，只需沏-网即可山题知：M仿N）,卩（加，°）,纲+1

11、,加+1）,°血启2+" +O + l）-2）故只需表达必、冈即可表达分下列四种情况：舀垒d炉 "号HB(也妣)L 矣“驱% 舀丛d炉 z+¥x;為 fns ssz* (汞)密+CH 舉Nfwd 命-2JQ+E)f"dd 节"常二兰一三解得：叫=一2+命，m=-2-7 （舍去）；加+1）2 2如图4,= m ,2,令p店qn,解得：叫=击，叫=-的（舍去）；综上，加的值为加】=一2-、ws 2止 2°.二次函数中的存在性问题（作业）1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线尸-/+2对3与x轴交于久3两点，与y轴 交于点C,点D是

12、该抛物线的顶点.（1）求直线AC的解析式及乩D两点的坐标;（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线/AC交抛物线于点Q,试探究： 随着P点的运动，在抛物线上是否存在点0，使以点4, P, Q, C为顶点的 四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点。的坐标；若不存在， 请说明理山.v=(J + 2Y13X-20)2如图，已知二次函数牝的图象过点A(-4, 3), 3(4, 4),交*轴于 G D两点.(1) 求证："CB是直角三角形；(2) 若点P是x轴上方抛物线上的一个动点，设点尸的横坐标为加 过点P 作丄x轴于点乩 是否存在以P、H、D为顶点的三角形与'ABC相似？ 若

13、存在，求出加的值；若不存在，请说明理曲.3如图，在平面直角坐标系中，直线3_v = -X -x + -2与抛物线 442交于A.万两点，点月在x轴上.若点尸是直线力万上方抛物线上的一动点(不与 点从尸重合),设点尸的横坐标为加 连接用，以川为边作图示一侧的正方形APFG.随着点尸的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F 或G恰好落在y轴上时，请写出对应的点P的坐标.4.在平面直角坐标系中，抛物线卩+饪+3与x轴的两个交点分别为月(-3,b=,顶点C的坐标(1 )直接填写：6/二0), 5(b 0),过顶点。作CH丄X轴于点.(2)若点P是x轴上方抛物线上的一动 点(点尸与顶点。不重合)，

14、PQ丄AC于点Q,当/XPCQ与4CH相似时, 求点P【参考答案】1.解：(1)由抛物线解析式尸-/+2r+3 可得:J(-l, 0), 5(3, 0), 0(0, 3), 0(1, 4),再III A. 6两点坐标，可得直线川7的解析式为：)=3x+3(2) III题意可得：PQ/AC且尸44G 如图1,当点0在点尸上方时，过点0作QElx轴于点£可证啟倉Q白003故令)=-F+2a+3二3,解得：胫二0(舍去)，疋二2故 Q (2, 3) 如图2,当点0在点尸下方时，同过点0作盜Lx轴于点E,可证啟AOCQB0O3故令 尸-F+Zy+3二-3,解得： 1 ,2故QQ十0,-3),

15、 2Q-爲3)综上，0点的坐标为Q (2, 3)、QQ十心),告1“,-3)y (x + 2)(120)2. (1)证明：山抛物线的表达式48,可得：r(-2, o),(,0)D 13,如图1,过点月、方分别作x轴的垂线，垂足为& F,则 於3, E82, CF6,昭AS EC 1. CF BF 2 且ZAE（=ZBF（=90°:, AECs CFBZAC&ZCBF ZACFrZBCPZCBB乙BCM0°:.ZACB=90°即血万是直角三角形P（x 丄（加+ 2）（13加-20） m m（2） III题意得：48,丹（用，0）AC 1在Rt'

16、;ACB中，山（1）可知：CE 2,故砲也是直角边的比为匕2的直角 三角形，20 1°丹飞-沪护0-曲）FH 1i） DH 3解得:50131221720如图3,当点尸在第一象限抛物线上,即ni> I?时,ra=>+2）（13ra-20）叫20 1心TT存曲一缈FH 1i) DH $解得:213（舍去）3 解：由=2解得70 朋4 =1350122=m=13913或33y=x-一421 ；35y=-一一X+ 13时满足条件.70 m=一m综上，PHii)丽15乳A(-&2)陀0)则一 8</w<2.当G点在y轴上时，此时，如图1刘二AG-/PAD =

17、SGCZD 二 ZC:.APADAAGC:AD=CG=2,则点P在)=2这条直线上=2可求得,-3-历2-3+厲-3-厲円（2, 2）,PX2，2）当F点在y轴上时，此时，如图2过点4作AH/y轴，过点P作x轴的平行线，交于H点，交y轴于点E 此时 PAH竺ZFPE:EP=AH=m,即 P （加，m）P在抛物线上，将P （“加）代入抛物线解析式可得3 5_7+ 倔-7-89一加十一=加my=、他 =c4 2可求得，22乂 -8加2,-7+-m =只取2-7+屎 一74侮 "（2 ， 2 ）-3+厲-3-庐-7+屈-7+侮综上所述：竹（2, 2）,2, 2）, Ps（ 2，2）.备注：

18、图1对应B4解：(1)由 A (-3, 0)、8(1, 0)可知，a 9 方=-2,顶点 C 的坐标为(-1, 4):抛物线解析式：2*+3(2)®若点P在对称轴右侧，如图1.此时ZQCP>ZACH,所以只可能是ZQCP= ZHAC,即厶 PCQs'CAH.过点0作DE/y轴，分别过点C、点P作x轴的平行线交DE于D点,E点. 则厶CDQsHQEP,又 *： ZDQC=ZHCAf ZD=ZAHC=90°, CDQ s QEPs A/1/7C.CD _ AH:.DQ 曲 2 jg cD=nh plij DQ=2mfCQ _ AH乂、：'AHCsCQP、Z. QF HC 2.CD _DQ _CQ乂 :CDQsQEP, ：.QE 即 Qp 2则 QE=2ni, EP=4m.由 C （-1, 4）可得 P （-1+3/?, 4-4m）代入抛物线解析式可得，4-伽=_一1+3加2 - 2-1+3加）+ 34解得71=0 （舍去），加2= 91 20代入P点坐标可得P（亍9 ）若点P在对称轴左侧，如图2