高考数学压轴题的6大模型和23种考法

1、高考数学压轴题的6大模型和23种考法题型一切线型1.求在某处的切线方程例1.【2015垂庆理20】求函数 心在点CL川）处的切线方程3233解：由心）二，得厂（力二切点为） 斜率为广二一g百ee3333由彳1）二，得切点坐标为CL ）,由（1）=得切线斜率为；eeee3 3切线方程为片=U-1）,即3x-ey=0e e例2.求心）=少? + 2）在点（1, /U）处的切线方程.X解：由心）二/1 + 2）得厂（力二eV丄+ 2）XzV2 X由X1） = 3e,得切点坐标为（1,3e）,由厂=2巳得切线斜率为2e;切线方程为y-3e=2e（x-l）t 即 2ex-y+e=0.1 ”例3求皆加在点

2、（0,人0）处的切线方程.1 +X1 -x11解：由心）二 一 = /X1 力-W +A）,得（力二-1 +X1 X 1 +X由X0） = 0,得切点坐标为（0, 0）,由f（0）= -2,得切线斜率为-2;切线方程为y=2尤即2x+ y= 0.例4. 2015全国新课标理20】在直角坐标系xoy,曲线C尸与4直线/:尸d+玄日0）交于側/V两点，当C0时，分别求U在点M与/V处的切线方 程.解：由题意得：护，则炸2 口 即. a）t 2 a, a,40x由 /（A）=;得 /fW= r42当切点为m功时，切线斜率为（2 a）= - a,此时切线方程为：+y+护0;当切点为M2 m司时，切线斜

3、率为Q（2 v）= a,此时切线方程为：ax-y-a=Q;解题模板一求在某处的切线方程写岀肝力；（2球出厂（M；写岀切点（“0,心0）；切线斜率二厂（冷）；（5）切线方程为y- w =厂氏）（Ab）.2.求过某点的切线方程点P在曲线h不确定是切点点P在曲线上点、P不在曲线上切点不是切点Step设切点为（勺，心b）贝I切线斜率广（勺），切线方程为：y- W =Ab）Step!因为切线过点（已0）,所以，心（）（対）2勺），解得勺二为或施二血S辭 当勺=用时，切线方程为y-M=f （aq）U - %）当2X2时，切线方程为片心2）= f （扯）（“-刈14例1 求 心）二过点42, 4）的切线方程

4、.3314解：设切点为（心 対+ ）,贝9切线斜率广（朗二烟，331 2 4 所以切线方程为：Ab3 4- =Aq2 （%-Ab）.3314由切线经过点円2, 4）f可得4 -卅+ -=好（2. Ab）r整理得：対3好+ 4 = 0,33解得勺二-1或加二2当沟二-1时，切线方程为：x-y+2 = 0;当 = 2时，切线方程为：4x-y-4 = 0.例2.求 = *3-4 + 5x-4过点（2, -2）的切线方程.解：设切点为（心 灯4勺2 + 5沟-4）,贝IJ切线斜率侃）=3总2_8勺+ 5,所以切线方程为：尸（对-4琢+ 5勺4） = （38勺+ 5） （x勿），由切线经过点只2, 4）

5、,可得4 -（A&3 - 4对+ 5百4）=（认2 -8+5） （2解得死=1或勺=2当羽=1时，切线方程为：2x+y2 = 0;当羽=2时，切线方程为：x-y-4 = 0.例3过加 耐（力工2）可作X*） = -3x的三条切线，求力的取值范围.解：设切点为（心 対-3勺），贝呦线斜率广化）二3死2 _ 3,切线方程为y （xo3 - 3乜）=（3勺2_ 3）（x- Ab）切线经过点只匕加），m -（対4加2 + 5焉4）二（3勺2.8勺+ 5） （1加），即：-2x03 + 3xq2 - 3 - m=0,即 m- - 2x + 32 - 3过点A1,力）0工2）可作心）二a3 -敢的三条切线

6、，方程/7?= - 2対+ 3勺2 _ 3,有三个不同的实数根. 曲线M）= - 2対+ 3 Ao2 - 3与直线7=力有三个不同交点，（勺）二6对+ 6如二-6勺（勺-1）令（勺）0,则OAo1；令片（勺）0,则勺 1*）在（00, 0）递减,在（0,1）递增,在（1, +00）递减，“勺）的极小值二/0）= -3r的极大值二M1）= -2,由题意得-3x0,得 x0;令 (a) 0；得-1 %0,得x;令厂W0;得 、x02 2 a -日：+ 4a a + 40 贝i0（力=1 1 =_ 1XX A2 X2令仅力0,则x1;令做力0,则0x0,从而f W 0.心)在(0, +8)上递增.例

7、2.求函数前的单调区间.解：心)的定义域为尺f (x) = (1 -力/ + e令(a) = (1 - x十已 则0(力=(*-2)召当 店(8, 2)时，0(A) 0,做力在(2, +8)上递增;.-.(a)(2)= 1 十 e 0斤力单调增区间为R,无减区间.例3.求函数心)=，nX+ 1)的单调区间.X解:心)的定义域为(J, 0)U(0, +8)x- (x+ 1)/n(x+1)二(x+1)*令cp(x = x - (x+ 1 )/nx+ 1) r 则 0(力二-/n(x+ 1)当 脛(1, 0)时，0(0,则驱在(J, 0)上递增.lM 2070ao.5 fflvr gh-KM味齐(0

8、、+8)里 00、QMWO +8)h-蚤.gM A 20) = 0SAOMM wo +8pisii 冈画M二、0)黄0、+8)Xs 4 并凰嬉7十C3B前冈画 -nx + C 0 八 XA资 gH 一 *-nx + a- 1 T 2x dr *+ 2V lle*m(F)因 , - - Hx 毀 xmx4Q&H -%r*+2K 不(of 1)e=0h I 2%r 1 +4X0.SU ,4%x+4=: ,4(饕二)人0.lfflB 1)h-KM.0A 0(0)！ 3 Ao .lMfflo lk融M. ABn L AoSHS人 0m(0.lM 2070ao.5 fflvr gh-KM味齐(0、+8)

9、里 0 10（力0倾力在（1+8）_tJl增=+ 1 0,即 /（A） 0:呛在+8）上递增综上所述：川力在（0, 1）上递减，（1, +8）上递增.璽要方法一二次求导求函数单调性当无法通过不等式判断一阶导函数的正负时，可对主导函数再次求导，这种再构造，再求导是破解函数综合问题的强大武器。通过判断3的符号，来判断厂W的单调性；通过赋特殊值找到厂的零点，逬而得到厂（力的正负区间.2.主导函数为“一次函数”型例1 .求函数代心=附+1的单调区间.解：鞠的走义域为斤= W - a当來0时,/*（*） 0恒成立，RM的増区间为/?当m0时.令（力0,则x !na令厂（力0,则x0,则0xv或2a -

10、y a2 - 4?+令厂(a) v 0,则、x29 -* 40 时，令 f，WOr 则 Ovxv ;令 f, ;aa11的增区间为（O）减区间为（，十8）.aa综上所述：当來0时，心）的增区间为（0, +8）11当0时，心）的增区间为），减区间为（，+8）aa例4.求函数代E = ax（日+1）仮*+ 1）（a1）的单调区间.解:心）的定义域为（J, +8）a+1 ax -1fgm =x十1 x+ 1当-13S0 时，ax-l0时，令f（力0,则X，令则-1 x aa11心）的增区间为（f +8）,减区间为（,）.aa综上所述：当-10时，斤力的增区间为（1, +8）,减区间为（-1, a例5

11、.求函数/W =护（心0）的单调区间.解：/（助的定义域为/?fM = （1+）b0 由11当心0时，的增区间为-十8）,减区间为（叫-）.kk11当0,则鞠的增区间为（0, +00）当日0时令则令厂（M0,则0 xat仙的増区间为6 +8）,减区间为（0a）.综上所述：当衣0时，心）的増区间为（0, +00）.当0时，心）的増区间为（彳+00）,减区间为（0, a）.重要方法二一次函数型（一）当导函数可表示为常见已知函数，（例如：C X+W与f常参数（例如：a.x x2k.a）的差的形式时.可通过画岀已知函数与常值函数图像的方法对参数进行分类讨 a论.更要方法三一次函数型（二）二级分类法当导

12、函数为一次函数（一次顶系数为参数）时，可用二圾分类法判断最高次项系数的正负；判断一次方程的根与定义域端点值的大小.3主导函数为二次函数”型例1 求函数 心=宀2处 引处的单调区间.解：心）的定义域为（0, +CO）=+ ”2心(亠+ 旳X当笔时,心。，则心的增区间为（。，5当00,则 01 1 la21 - ；1 2a1 +令贝！)x0,则xJ卡1 -2a令厂(力0,贝IJOx1 +12/b）的增区间为（1+1 T +8）,减区间为O21 + .1 -2a)2步述：当弓时，幅的增区间为0 +8）/（力的增区间为（0,鬥和(1+ 1 2a +oo)2当冰0时，心）的增区间为（+ OO）,减区间为

13、（0,二駕2例2.求函数如宀严。庠调区间.解：心）的宦义域为/?+ D - 2x 2x+ Q ek （-F 十 2a）f（妒+Q2（2+Q2（奸+ Q2当空1时，厂（碇0,心）的增区间为R当0 1时，令厂（必二0,贝IK二1、匕捡二1+ .1 比令 n 贝|J 0 x1 +1 - k令 fM0,贝！J1 - ；1 -x1 + ;1 - k,亦的增区间为（0, 1 - .1 - Q和（1 + ；1 -k, +oo）减区间为（11 -1 +1Q综上所述：当空1时，彳力的增区间为R,当0 0,则0“ 3或并82 2护8?+ .护zV2 2心）的增区间为（Or 討8）和（” 8, +8）护8)22 2

14、、,a - 产& 减区间为（2综上所述：当去22时，心）的增区间为0 + 8）,r0时，彳力的增区间为（8, 幻和伙，+8）.减区间为（丘 紅当&0时，九力的増区间为（丘减区间为（P Q和（匕十8）.减区间为（*幼当&0时，彳力的增区间为伙，e减区间为（-8, 0和（匕+ 00）.例5求函数心）=/nx+ aW + Xae &的单调区间.解：心）的定义域为（0, +0O）广（力=一+2斯+1X2d*十x十1X当茲0时.厂（力0,则心）的增区间为O十8）当 a, /b）的减区间为（,+8）4a4a综上所述：当竝0时，心）的增区间为（0. +8）.当习0时，心）的增区间为（0, _1 ,1 _8?

15、）,4a118a减区间为（,+8）.4a例6.求函数 心）：=駅*1）2加*的单调区间.X解：心）的定义域为（0, 4-00）a 2 a）S 2x+ a 厂（力二=2 x W当壬0时，（力0则心）的减区间为 +C主意：止匕处日00（2x0, a0t故a02x+ a0时,由a”2x+ （）,即 0时，令 f（A）= 0,贝IJ =1 1 . =1+ 1 aa令广（力0,贝|JOX1 令厂（力0,则匕止兰1+1 V xaa心）的増区间为（0,1 T）和廿 1 f +8）aa综上所述：当办0时, 心）的减区间为（0,十8）.当0a1时，斤力的增区间为（0,1 护 1+1 护 一）和（,十aa减区间为

16、（当於1时，心）的增区间为（0, +0O）X- 1例7求函数= alnx的单调区间.x+1解：心）的定义域为（0, +8）2/1)2 + 2*/塔 + (22)叶曰X (1)2X+1)2兄1)2当co时，/0/心）的増区间为Q +8）.(注：此处因 *0, xOf 所以 axiOl (2a+2)xOf aQ,即 f 0)（2）当刀0时由刀W +（2刀+2）X+ ?=Or彳寻A二8刀十4 当“0即a -（力0即丄0Of2a 十 22*%=-=20F 贝9总0卷0)aa令厂帥 0,则或+1）+21令厂（力0,贝匸（W2Px-(09 a0时，可考虑每一项都为正.从而导数大于0；当曰0）对应方程的两个

17、I 3 ，即1。至根相等，即则喝；让其中的根和区间鳩幅即。（注2:分类讨论的思想依据最高次的系数小;则斗;此，9的取值被分成了 7类，即”0,护o, 0a a=2 2当”0时.心)的增区间为(0,1),减区间为+8) （注 3:此处 1 a01）当护0时，心)的増区间为(0, 1)r减区间为+oo)1 1 - a1 - a当0a时，/(力的增区间为 1)和(,+8),减区间为(1,)2 aa（注 4:此处 0lJ 3）a当+倔增区间为。+0当时，彳力的增区间为(0,=和(1, +8)减区间为(,1)2aa（注 5:此处 oJ a1）a(6)当*1时,心)的增区间为+0,减区间为Q 1)(注6:

18、此处一01)当”1时.心)的增区间为+00),减区间为(0, 1)(注7：类可以合并，可以可并)综上所述：当宛0时，心)的增区间为(Of 1)f减区间为+8)1 1 - a1 - a当0时，斤力的增区间为(0,1)和(，+oo)减区间为(1,)2 aa当2 J时，心)的増区间为(0, +8)21 1 - a1 - a当ao,则店（r 77）；令fr;f (x) = (2ax- A)!nxt xe(0f +oo)；4已知函数单调性，求参数范围例函数小 二严。林上单调函数，好的取值范围.解:（骄+ 1尸函数y=族-2族十1恒过点（0, 1）亢力在/?上单调3n0在/?上恒成立，即aW - 2ax+

19、 1 0在/?上恒成立当*0时，符合题意当办0时，不符合题意（3）当0时，只需4护-4來0,即0 - -z xG2f + oo) 迟x111令 t=.贝ijy= Z2 - tt 程O ,则用0) x24/a0若 心在乙+ 8)上是单调递减，则厂(力二一一 +來0在2, + co)上恒成立x 乂1 1:a -xe2,+8)F X111令& ,贝U/2 - C妊O ,则曆0)x241/ a0即| 0,即如例4.函数代沪血“北在定义域上为增函数，求曰的取值范围.1解：/,(a)= +2x- ax/在(0, +0O)上为増函数，/./,(a) = 1+2x-0 在(0,十8)上恒成立X1：a +2x,

20、 zG(0, +8)x1 2 1当且仅当二2x,即x二时，(+2力伽二2 2x2 x/ a0)在()内单调递增，求的取值范围.W + bX +卯由题意知，/rW0在(1,1)上恒成立 bt xw( -1 r 1)/.d1例6 设 WhixJ meR.若对任意ba0. “切尙)恒成立.求刃的取值xba范围.3 -心)解：对任意少少0,亠厶亠切恒成立， ba彳勿-切彳a亠对任意小0.0恒成立.ba尺二九力-x二Inx七-x在(0, +8)上递减 x.尸翎110在(0. + 8)上恒成立x水/.Z- /77 - - A2 + X,虫(0, +8)1/./77-4x/nx x a例7已知函数 心)二疋十2*3 x0r 则 xJ;令 H fW0r 则 0x 0在M上恒成立彳力在区间M上递减n厂（/ S 0在M上恒成立1 , 12例8函数 心）二+ ” + 2在（,+8）上存在单调递増区间.求日的取值范围. 3232解：心）在（，+8）上存在单调递増区间32存在“丘（一.+8）,使彳导广+ x +2a0成立32 1111存在炖（一，+8）,使得a_h.即刁（M -M翻，3 22221121函数尸A2* *在（r +8）上的最小值为22391/. 9例9.函数 心） = /+（“7）2, aR.在1,2上存在单调递増区间，求日的取值范圉.解：由题意知，1 存在疋1,2,使