二次函数公式精华

1、二次函数公式精华Company number 1089WT-1898YT-1W8CB-9UU792108二次函数知识点汇总支L定义：一般地，如果，= “/+公+ c（,4C是常数，4W0）,那么），叫做工的二次函 数.2.二次函数y = a/的性质抛物线¥ =心（»0）的顶点是坐标原点，对称轴是），轴.函数v =的图像与 ，的符号关系.当0时O抛物线开口向上。顶点为其最低点；当。0时O抛物线开口向 下O顶点为其最高点3 .二次函数,，=，储+公+。的图像是对称轴平行于（包括重合）,轴的抛物线.4 .二次函数y = / +w+c用配方法可化成：，=4-次+&的形式，其

2、中. b f 4ac b2n =, k =2a4a5 .二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：（l）y = ax2 * ® y = ax2 + k * ®y = - A）2 ；y =0； © y = ax2 +bx + c .6 .抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.。决定抛物线的开口方向：当。0时，开口向上；当。0时，开口向下；"I相等，抛物线的开口大小、形 状相同.平行于)，轴(或重合)的直线记作X = h.特别地，y轴记作直线x = 0.7 .顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数。相同，那么抛 物线的开口方向、开口大小完

3、全相同，只是顶点的位置不同.8 .求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：y = aF+ c =： +'"一"，；顶点是对称轴是I 2a) 4a2a 4a直线x = 2a配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为y = (疗+k的形式，得到顶点为(/?"),对称轴是“(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴 的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9 .抛物线y = ax2 + + c中，a,/?, c的作用(1) 决定开口方向及开口大小

4、，这与丁 =。中的"完全一样.和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y =-+九+ c的对称轴是直线 一,故：2a =0时，对称轴为y轴；"0（即"、8同号）时，对称轴在y轴左侧； a2<0（即、异号）时，对称轴在）轴右侧. UC的大小决定抛物线>'="2 +以+ C与），轴交点的位置.当x = 0时，y = c,.抛物线y = *+x + c与），轴有且只有一个交点（0, c）：c = 0,抛物线经过原点；c>0,与轴交于正半轴；c<0,与y轴交于负 半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y

5、轴右侧，则Lo. a10 .几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方1可对称轴顶点坐标当"0时x = 0(y 轴)(0, 0)开口向上当 <0时开口向下x = 0 ()，轴)(0, k)(/?")/ b 4ac-b?、2a 4。11.用待定系数法求二次函数的解析式一般式：尸&+法 + c.已知图像上三点或三对X、y的值，通常选择一般式.(2)顶点式：)，= (x-/?y+A.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与工轴的交点坐标王、心，通常选用交点式：y = a(x-xx X-x2).12 .直线与抛物线的交点)轴与抛物线y

6、= aF +/“ +。得交点为(0,。)与)，轴平行的直线x = h与抛物线y =&+bx + c有且只有一个交点 (/, ah2 +hh + c).抛物线与八轴的交点二次函数y = «炉+bx +c的图像与x轴的两个交点的横坐标王、/ ,是对应一元二次方程ax1 +bx + c =。的两个实数根.抛物线与X轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点。 > 0。抛物线与X轴相交；有一个交点（顶点在八轴上）O = o。抛物线与X轴相切；没有交点<=> A<0。抛物线与入轴相离.（4）平行于轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有。个

7、交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的 纵坐标相等，设纵坐标为3则横坐标是ax2 -bx + c = k 的两个实数根.一次函数y =h+（攵wo）的图像/与二次函数y = d +/冰+。（4/0）的图像6的交 点，由方程组"=八：的解的数目来确定：y = 4尸 +/）x + C方程组有两组不同的解时O /与G有两个交点；方程组只有一组解时OI与G只有一个交点；方程组无解时。/与G没有 交点.(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y =+泣+。与x轴两交点为A(网,0> B(x2,O),由于X、士是方程/+x + c = O的两个根，故 bc士+/二一，工产=

8、- aa13 .二次函数与一元二次方程的关系：(1) 一元二次方程y = “小+以+c就是二次函数y = "/ +加+ c当函数y的值为。时的 情况.(2)二次函数y = "k+/» + c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个 交点、没有交点；当二次函数y +x+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y = 0时自变量k的值，即一元二次方程ad +泣+° =。的根.当二次函数.'，=4/+泣+。的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程y = ax- +/» + c有两个不相等的实数根；当二次函数y = +6x + c的图象与工轴有一个交点时，则一元二次方程，储+以+。= 0有两个相等的实数根；当二次函数.v =+以+ c的图象与工轴没有交点时，则一元二次方程 +灰+° = 0没有实数根14 .二次函数的应用： (1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值;（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变