浅水方程推导

1、1.浅水方程推导平均河床高将三维的基本方程沿水深积分平均，即可得到沿水深 的平面二维流动基本方程。定义水深为H=c-z。，歹、乙）为基准面下液面水位和 程基准面Zc定义沿水深平均流速匕为：5=，八H "o引用莱布尼兹公式却：狞烽小屠几签自由表面及底部运动学条件=空=冬+叱；|< dt dt dxx 一+ hA cy <<二互二血+西匚dtdt dx x &+率T1 r vn cy <=以X方向为例三维流动的运动方程沿水深平均为1 dpAd2ux -?d2uv CPU，叫、J八施W")坛曲"别沁“万乔5龙+肩+廿)比"非恒定

2、项积分£致冷热知0HUx 朗一二dt-dt你 对流项积分首先将时均流速分解为 兀=式中s为垂线平均流速，A坷为时均流速匚与垂线平均流速 S的差值。+聪匚dx x xuxusdz, = P (t/v + Awv)(t/v + Aw v)dz=(Sj?匕+ 匚瓯+ 2U庖(4)S+JAxdz = PxxHUpxAw vAw vtZz式中,久i+皂一，是由于流速沿垂线分布不均匀而引入的huxux修正系数，类似于水力学中的动量修正系数，其数值一般在 1.02- 1.05，可以近似取1.0，因此Adu xUxA_dHU xUx & J dz = -A-u.u rdxdx dx x x类

3、似，可以得到L如一=cAdy UxUy代如竹6HU xUy祐L Z -鬲一 _§彳尔比j上几式相加，并利用底部及自由表面运动学条件可得姐-&dt dxdt§6 e+去 U 叫）+ 吾他竹）+ 王（叫 MZ）战 dHU v dHUU v dHUxUxdx压力项积分dx dxJA dx将万二Qg （孑-Z）代入上式后化简得c-cp一I -r-f=PgH g + pgH J = pgH 一"为透 oxoxex扩散项积分M （势+襄+襄）心气（学+挚比 dr 0）厂 dz：dx1勿-（莱布尼茨公 式） 2sVA+c. 0汰pH上式右边后两项分别为由底部创而阻力和表

4、而风阻力引起的阻力项。式中，q为无因次风应力系数；几为空气密度；为风速； 0为风 向与 X方向的夹角。最后运动方程写成张量形式为沁+型巳+脚冬+ g巴卫I"沁' dt dx 1&小3 1 dxj2.差分格式的稳定性与收敛性两种误差舍入误差弋二有限精度的计算机上的解-差分方程的精确解（稳定性）离散误差二偏微分方程的精确解-差分方程的精确解（收敛性）（1）稳定性分析误差也满足差分方程。K<1求解稳定，则要求耳P1Von Neumann （冯.诺依曼）稳定性分析将某一时刻分布在网格点上的误差按 Fourier级数展开，然后考察下 一 时刻各网格点上误差的Fourier

5、分量是衰减还是增长，以判断差分方程 是否稳定。用一维热传导方程作为模型方程oT d2T =a =- dt Of差分显式格式：T； '_T：Ar（心）2假设误差随时间按指数函数的方式增长或衰减，即随时间按指数函数 变化。N/2/w=l将其代入差分方程得：斗|sinh和< | | （Ax）2称为放大因子解不等式，即GV1,得:5 =<-(Av)- 2(2)收敛性分析收敛性是指当网格点空间趋于零时，差分方程的解无限接近于偏微分方程的解。可以证明，当网格变细，并且 SS1/2时，有限差分方程的解收敛于给 定 的扩散方程的精确解。由于收敛性问题的讨论在理论上证明较为困难 (微分方程较

6、复杂时),关 于收敛性问题比稳定性问题复杂得多，所以在此给出更具实用意义的定理，Lax等价定理，即，对于一个与线性偏微分方程相容的适定的初值问题的差分格式，稳定性是差分方程解收敛于微分方程的充分 必要条件。也就是说对一适定的线性初值问，相容性加稳定性等价于收敛性3.多维问题的常用差分格式以二维扩散方程为例duC2Ux=v( + 一) dt ox八dy八(1)交替方向隐式格式(ADI)基木思想是将差分计算分成两步：第一步在一个方向是隐式的，而在 另一个方向上是显式的；第二步则是两个方向交换一下，即在第一个 方向上为显式，而在第二个方向上为隐式。由于只在一个方向上隐式,求解时形成的方程组是三对角方程组，所以求解大为简化。(2)时间分裂格式基木思想是将多维问题分解为几个一维问题O由taylor展开式得:dudunAr + * , 2 dt11二“一+vdir dir-V-1;dxAr +