数值分析模拟试题(XAUT)(15套)

1、模拟试题一一、填空（每小题3分，共30分）1. 设是真值的近似值，则有 位有效数字。2. 牛顿柯特斯求积公式的系数和 。3 已知 。4 若是三次样条函数，则a=_, b=_, c=_.5 以n + 1个 整 数 点k ( k =0,1,2,n) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基 函 数 为( k =0,1,2,n)，则 6 序列满足递推关系：，若有误差, 这个计算过程_稳定.7 若则8 数值求积公式的代数精度是_.9当很大时，为防止损失有效数字，应该使 .10已知A ，x，则 .二、(10分) 用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据 x 0 1.0 2.

2、0 3.0y 0.2 0.5 1.0 1.2三、(10分) 用迭代公式求解问取什么实数可使迭代收敛，什么可使迭代收敛最快。四、（10）设四阶连续可导，试建立如下数值微分公式 并推导该公式的截断误差。五 （10）设，试求的一次最佳平方逼近多项式，并估计误差。六（10分）给定方程分析该方程存在几个根，并构造求近似根的迭代公式，证明所用的迭代公式是收敛的。七、（10分）对于积分，若取节点试推导一个插值型求积公式，并用这个公式求的近似值。八、（10分）用预估校正法求初值问题 在x=0.2处的数值解，步长取h=0.1（要求保留小数点后4位）。模拟试题二一、填空题1、要使的相对误差不超过0.1%，应取 位

3、有效数字。2、设，则差商 。3、求积分的近似值，其辛卜生公式为 。4、已知，则 。5、求解方程的Newton迭代公式为 。6、能用高斯消元法求解的充要条件是_。7、六点高斯求积公式，其代数精度为 。8、方阵A的谱半径是指 。9、要使求积公式具有2次代数精确度，则 ， 。10、牛顿柯特斯求积公式的系数和                    。二、用复化梯形公式计算积分，应将区间0,1多少等分，才可以使其截断

4、误差不超过。三、利用改进的尤拉方法求解初值问题： 。 在x=0.4处的数值解，其中步长（要求保留小数点后4位）。四、设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯塞德尔迭代法收敛的充要条件。五、证明如下迭代过程收敛 六、求上的一次最佳平方逼近多项式及平方误差。七、给定方程 （1）分析该方程存在几个根； （2）用迭代法求出这些根，只计算到； （3）证明所用的迭代格式是收敛的。八、已知由数据和构造出的三次插值多项式的的系数是6，试确定数据。模拟试题三一、 填空（每小题3分，共30分）(1) 设，则= _。(2) 对于方程组, Jacobi迭代法的迭代矩=_。(3) 的相对误差约是的相对误差的_倍。(4) 求

5、方程根的牛顿迭代格式是_。.(5) 设，则 。(6) 设矩阵G的特征值是, 则矩阵G的谱半径 = 。(7) 已知, 则条件数_。(8) 为了提高数值计算精度, 当正数充分大时, 应将改写 为 _。.(9) 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为_次。(10) 求解常微分方程处值问题 的改进Euler公式为 。二、(10分) 定义内积试在中寻求对于的最佳平方逼近元素.三、(10分) 试用Simpson公式计算积分 的近似值, 并估计截断误差.四、（10分）给定线性方程组Axb，其中A ，证明雅 可比迭代法发散，而高斯赛德尔迭代法收敛。五、（10分）给定求积公式 试决定使它的代数精度尽可能得

6、高。六、（10分）求解矛盾方程组七、（10分）给定方程 （1）分析该方程存在几个根，找出每个根所在的区间； （2）构造求近似根的迭代公式，并证明所用的迭代公式是收敛的。八、（10分）用预估一校正法求初值问题在x=0.2处的数值解，步长取h=0.1（要求保留小数点后4位）。模拟试题四二、 填空（每小题3分，共30分）1. 已知，则其近似数具有 位有 效数字，且近似数的绝对误差限为 。2. 设，则差商 。3. 求积分的近似值，其辛卜生公式为 。4. 设有矩阵，则 。5. 求解方程的Newton迭代公式为 。6. 能用高斯消元法求解的充要条件是_。7. 6点高斯求积公式，其代数精度为 。8. 方程组

7、中，则求解方程组的Jacobi迭代与 Gauss-Seidel迭代均收敛的a的范围是_。9数值求积公式的代数精度是_。10牛顿柯特斯求积公式的系数和                    。二、(10分) 试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？三、(10分) 利用改进的尤拉方法求解初值问题，其中步长。四、（10分）讨论用J

8、acobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛快。其中. 五、（10分）证明如下迭代过程收敛 六、（10分）求上的一次最佳平方逼近多项式及平方误差。七、（10分）给定方程。（1） 分析该方程存在几个根；（2） 用迭代法求出这些根，只计算到；（3） 证明所试用的格式是收敛的。八、（10分）在求非线性f(x)=0根的近似值时，论证简单迭代法一般为线性收敛，而牛顿迭代法为平方收敛模拟试题五一 填空1近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有 位有效数字.2设，则差商 3求积分的近似值，其复化梯形公式为 45点高斯求积公式，其代数精度为 5设f

9、(x)可微，则求方程x2=f(x)根的近似值的牛顿迭代格式为 6利用二分法求在上根的近似值，误差限为 7方阵的谱半径是指 8矩阵的条件数是指 9能用高斯消元法求解的充要条件是 10设，则 二 给定线性方程组（1） 用列主元消元法求解所给线性方程组。（2） 写出GaussSeidel迭代格式，并分析该迭代格式是否收敛。三 设试在中求在区间上的最佳平方逼近元。四 对于积分，若取节点试推导一个插值型求积公式，并用这个公式求的值。五 给定方程（1）分析该方程存在几个根，找出每个根所在的区间；（2）构造求近似根的迭代公式，并证明所用的迭代公式是收敛的。六 已知观测数据（1，-5），（2，0），（4，5）

10、，（5，6），试用最小二乘法求形如的经验公式。（10分）七 已知初值问题有精确解，求证：用欧拉法以为步长所得近似解的整体截断误差为 八 给定线性方程组，其中，用迭代公式求解，问取什么实数可使迭代收敛，什么可使迭代收敛最快。模拟试题六一、填空1. 已知准确值x*与其有t位有效数字的近似值 的绝对误差½x*x½£ 。2. 过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P(x)= 。3. 解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数j(x)满足在有根区间 内 ，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛。4. 求积公式的代数精度为_。5. 解常微分方程初值问

11、题的改进欧拉法预报-校正公式是 预报值：，校正值：yk+1= 。6.记 计算 的复化梯形公式为_。7.设，则。8.,当满足条件_时,可作分解, 当满足条件 _时,必有分解式,其中是对角元素为正的下三角阵。9三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间a,b内二阶连续可导，S(xk)=yk(已知)， k=0,1,2,n，且满足S(x)在每个子区间xk, xk+1上是 。10已知y=f(x)的均差, , fx4, x3, x2=14， fx0, x3, x2=8 ,.那么均差fx4, x2, x0= 。二、求上的一次最佳平方逼近多项式及平方误差。三、 考虑求解方程的迭代公式 （1）试证：对任意初始值，

12、该方法收敛。 （2）写出用牛顿迭代法求解此方程的迭代公式。四、若用梯形公式求 的近似解，其中， 试证明： （1）（其中为步长）。 （2）对固定的，当时，收敛于准确解。五、对下述方程组直接应用高斯塞德尔迭代法求解是否收敛？如 果不收敛试设法给出收敛的迭代公式，并简述理由。六、如果，证明用梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明其几何意义。七、 设在上具有三阶连续导数，且 ，是区间的中点，是经过点 的二次多项式。试证明对任意 有 ，其中。八、作一个三次多项式使满足 。模拟试题七一、填空1.设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字，则其相对误差限是 .2.求的近似值，其牛顿迭代格式是 .3.设

13、有函数表如下x x0 x1 x2 x3 x4y y0 y1 y2 y3 y4y， m0 m1 m2 m3 m4则可利用 插值，其插值多项式的次方为 .4.设f(x)=3x3+2x2+1,则差商f 0,1,2,3,4= .5.设A ，则 .6.具有三个节点的高斯型求积公式其代数精度是 .7.非奇异矩阵A的条件数CondA ，A是病态是指 .8.微分方程数值解的几何意义是指 .二、给定线性方程组Axb，其中A ，证明雅可比迭代法发散，而高斯赛德尔迭代法收敛。三、已知观测数值如下x 1 2 4 5y -5 0 5 6试用最小二乘法求形如的经验公式。四、利用矩阵的三角分解法，解方程组五 给定方程（1）

14、分析该方程存在几个根，找出每个根所在的区间；（2）构造求近似根的迭代公式，并证明所用的迭代公式是收敛的。六 求解矛盾方程组七 已知初值问题有精确解，求证：用欧拉法以为步长所得近似解的整体截断误差为 八 给定线性方程组，其中，用迭代公式求解，问取什么实数可使迭代收敛，模拟试题八一、填空(1) 求解方程的Newton迭代公式为 ，割线公式为 . (2) 设有矩阵，则 .， .。(3) 设有数据 1 1 2 0 3 2则其2次Lagrange插值多项式为 .，2次拟合多项式为 .。（4）设，则用梯形公式所得近似值为 （5）求解常微分方程处值问题 的改进Euler公式为 ，它是 阶的。（6）设，则 。

15、二、给定数据 1.30 1.32 1.34 1.36 1.383.602010 3.90330 4.25560 4.67344 5.17744用Simpson公式计算的近似值，并估计误差。三、给定线性方程组（1） 用列主元三角分解法求解所给线性方程组。（2） 写出GaussSeidel迭代格式，并分析该迭代格式是否收敛。四、给定数据 0 2 3 5 4 1 1 9试求的3次Newton插值多项式，并写出插值余项。五、给定方程。（4） 分析该方程存在几个根；（5） 用迭代法求出这些根，精确至四位有效数；（6） 证明所试用的格式是收敛的。六、设试在中求在区间上的最佳平方逼近元。七、初值问题的解为。

16、若是用改进欧拉公式得到的在处的近似值，证明八、设有个正的实的特征值试证当时迭代公式收敛。模拟试题九一、填空题( 每题6分，共30分) 1、辛普生求积公式具有 次代数精度，其余项表达式为 。2、按四舍五入原则数2.7182818与8.000033具有五位有效数字的近似值分别为 和 。3、设是区间上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为 ；插值型求积公式中求积系数 ；且 。4、则。5、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则 ； 。二、计算题(每题9分,共计72分,注意写出详细清晰的步骤)1、 用二次拉格朗日插值多项式计算。插值节点和相应的函数值如下表。 0 1 2 0.0 0.30

17、 0.400.0 0.2955 0.38942、已知函数的相关数据0 1 2 3 40 1 4 3 60 7 8 5 14由牛顿插值公式求四次插值多项式。（注：要求给出差商表）3、利用尤拉公式求解初值问题，其中步长。4、确定求积公式。中待定参数的值，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。5、已知一组试验数据如下0 1 2 3 41.1 1.9 3.1 3.9 4.9求它的拟合曲线（直线：）。6、用二分法求方程在区间内的根时，若要求精确到小数点后二位，(1) 需要二分几次；(2)给出满足要求的近似根。7、用列主元消去法解线性方程组四、简述题（本题7分）叙述在数值运算中，误差分

18、析的方法与原则是什么？模拟试题十一、填空题（20分）：1. 若a=2.42315是2.42247的近似值，则a有( )位有效数字.2. 是以为插值节点的Lagrange插值基函数，则 ( ).3. 设f (x)可微，则求方程的牛顿迭代格式是( ).4. 已知f (0)1，f (3)2.4，f (4)5.2，则过这三点的二次插值基函数l1(x)=( )，=( ),插值多项式P2(x)=( ), 用三点式求得( ).5. 解线性方程组Ax=b (其中A非奇异，b不为0) 的迭代格式中的B称为( ). 给定方程组，解此方程组的雅可比迭代格式为( )。6. 数值求解初值问题的二阶龙格库塔公式的局部截断

19、误差为( )。二、判断题（共5分）1. 若，则在内一定有根。 ( )2. 区间a,b上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。 ( )3. 若方阵A的谱半径，则解方程组Ax=b 的Jacobi迭代法收敛。 ( )4. 若f (x)与g (x) 都是n次多项式，且在n+1个互异点上，则 。 ( )5. 用近似表示产生舍入误差。 ( )三、(20分) 1. 已知一元方程。1）求方程的一个含正根的区间；2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)；3）给出在有根区间的Newton迭代法公式。2. 确定求积公式 的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.四、(25分) 1. 设初值

20、问题 .(1) 写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；(2) 写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解，保留两位小数。2. 取节点，求函数在区间上的二次插值多项式，并估计误差。3. 已知数据如下：xi1.01.41.82.22.6yi0.9310.4730.2970.2240.168求形如拟合函数。 五、(10分)讨论用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛快。其中. 模拟试题十一一、填空题 (每小题4分, 共20分)1、方程组中，则求解方程组的Jacobi迭代与G

21、auss-Seidel迭代均收敛的a的范围是_。2、，则A的LDLT分解中，。3、，则_，_.4、已知，则用复合梯形公式计算求得，用三点式求得_.5、，则_，三点高斯求积公式_. 二、单项选择题（每小题2分, 共10分）1、  在近似计算中，要注意以下原则：（1）计算速度快 （2）避免大数“吃掉”小数，（3）防止溢出 （4）减少计算次数列主元消元法解方程组是（ ）.A(1)和(2) B.(2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1)2、  已知，在0, 1内，有一位整数，用复合梯形求积公式计算要保证有3位有效数字，至少应将0, 1（ ）等分。A. 4 B. 5

22、C. 6 D. 73、  求解常微分方程的二阶R-K方法的局部截断误差为(    ).    A.      B.      C.      D. 4、 是给定的互异节点，是以它们为插值节点的插值多项式，则是一个( ).A. n+1次多项式 B. n次多项式  C. 次数小于n的多项式 D. 次数不超过n的多项式5、 求解方程在(1, 2)内根的下列迭代法(1) (2

23、) (3)    (4) 中，收敛的迭代法是（ ）.A(1)和(2) B. (2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1)三、是非题（每小题2分，共10分)1、  已知观察值 ()，用最小二乘法求得的拟合多项式其次数为小于n。 （ ）2、  求解一阶常微分方程初值问题的R-K方法为单步法。 （ ）3、  是超定方程组的最小二乘解的充分必要条件是是方程组的解。 ( ).4、  一个近似数的有效数位越多，误差限越小。 ( )5、  舍入误差是模型准确值与用数值方法求得的准确值产生的误差。 ( )四、计算题（ (每小题

24、15分，共30分)1、 已知方程组 .(1) 证明系数矩阵正定；(2) 用平方根法 (LLT分解)解此方程组。2、 已知-1245-2457(1) 用拉格朗日插值法求的三次插值多项式；(2) 求x， 使=0。五、（15分） 设有常微分方程的初值问题试用Taylor展开原理构造形如的方法，使具有二精度，并推导其局部截断误差主项。六、（15分） 已知方程组，其中（1） 试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程组的收敛性。（2） 若有迭代公式，试确定一个的取值范围，在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛。模拟试题十二一、填空题 （20分）1).设是真值的近似值，则有_

25、位有效数字。2)_，_。3).求方程根的牛顿迭代格式是_。4).已知_ 二、计算题1).（12分）已知单调连续函数的如下数据：-0.11 0.00 1.50 1.80-1.23 -0.10 1.17 1.58求若用插值法计算，约为多少时（小数点后保留5位）。2).（12分）用矩阵三角分解法解线性方程组3).（12分）选取常数。4).（12分）。三、证明题1).（10分）设，若取，作节点，证明Lagrange插值余项有估计式。2).（10分）设，初等矩阵非奇异，且逆矩阵可表示为。四、程序题（12分）试用MATLAB语言写出(Jacobi)迭代公式求解线性方程组Ax=b的算法。要求：In

26、put 方程个数n,矩阵A的元素和b,初始向量，Output近似解和迭代次数。模拟试题十三一、 填空（共30分，每空3分） 1、，则A的谱半径-，A的- 2、设则-和- 3、向量是不是一种向量范数？(填是或不是) -是不是一种向量范数？(填是或不是) - 4、设是区间0，1，上权函数为的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则-，- 5、设，当-时，必有分解式，其中L为下三角阵，当其对角线元素足条件-时，这种分解是唯一的。二、（14分）设（1）试求在上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足H（x）以升幂形式给出。（2）写出余项的表达式三、（14分）设有解方程的迭代法（1） 证明均有（为方程

27、的根）；（2） 取用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。四、(16分) 试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？五、计算题（ (每小题10分，共30分)1、  试求使求积公式的代数精度尽量高，并求其代数精度。2、  取步长，用梯形法解常微分方程初值问题 3、  已知-2-101242135求的形如的二次拟合曲线，并求的近似值。六、（8分） 方程组，其中，A是对称的且非奇异。设A有误差，则原方程组变化为，其中为解的误差向量，

28、试证明其中和分别为A的按模最大和最小的特征值。模拟试题十四一、填空题（15分）：1、-43.578是舍入得到的近似值，它有 ( ) 位有效数字，相对误差限为( )。2、二分法求非线性方程在区间(1,3)内的根时，二分9次后的误差限为( )。3、f(1)1，f(3)3.6，f(4)5.2，则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为( )，插值基函数l1(x)=( )，二次插值多项式P2(x)=( )。4、 已知f (1)1，f (3)2，f (5)4，用复合梯形求积公式求得( )。5、 (xi,yi) i=1,2, ,15的线性拟合曲线的正规方程组为( )。6、 幂法的迭代公式为( )。7、 已知f(1)1，f(3)2，则( )。二、单项选择题：(5分)1. 截断误差是 ( ) 产生的误差。A. 只取有限位数 B. 模型准确值与用数值方法求得的准确值C. 观察与测量 D. 数学模型准确值与实际值 2. 用x近似表示sinx所产生的误差是（ ）误差。 A. 模型 B. 观测 C. 截断 D. 舍入 3. 解线性方程组Ax=b的迭代格式x(k+1)=Mx(k)+f