线性相关性判定ppt课件

1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、小结三、小结 思索题思索题二、线性相关性的断定二、线性相关性的断定一、线性相关性的概念一、线性相关性的概念第二节第二节 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第四章 向量组的线性相关性机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 ,: 22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全为为零零的的数数如如果果存存在在不不给给定定向向量量组组留意留意.0 2211成立成立 nn l l l l l l,01才有才有时时 nl ll l, 1. 21那么只需当那么只需当线性无关线性无关假设假设n 2.线性相关线性相关性无关就是性无关就是不是线不是线对于任一向量组对于

2、任一向量组定义定义4 4一、线性相关性的概念那么称向量组那么称向量组 是线性相关的，否那么称它线性无关是线性相关的，否那么称它线性无关A一、线性相关性的概念一、线性相关性的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 ., 0, 0, 3. 线线性性无无关关则则说说若若线线性性相相关关则则说说若若时时向向量量组组只只包包含含一一个个向向量量 4.组是线性相关的组是线性相关的. .包含零向量的任何向量包含零向量的任何向量.,. 5 量量共共面面向向量量相相关关的的几几何何意意义义是是三三是是两两向向量量共共线线；三三个个向向义义量量对对应应成成比比例例，几几何何意意充充要要条条件件是是两两向向量量的的

3、分分它它线线性性相相关关的的量量组组对对于于含含有有两两个个向向量量的的向向机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理向量组定理向量组 当当 时线性相关时线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其他量可由其他 个向量线性表示个向量线性表示m ,212 mm ,211 m证明证明 充分性充分性 设设 中有一个向量比如中有一个向量比如 能由其他向量线性表示能由其他向量线性表示.maaa,21ma即有即有112211 mmma l l l l l l二、线性相关性的断定二、线性相关性的断定二、线性相关性的断定机动 目录 上页 下页 返回 结束 故故 01112211

4、 mmma l l l l l l因因 这这 个数不全为个数不全为0， 1,121 ml ll ll lm故故 线性相关线性相关.m ,21必要性必要性设设 线性相关，线性相关，m ,21那么有不全为那么有不全为0的数使的数使 ,21mkkk. 02211 mmkkk 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，mkkk,21无妨设那么有无妨设那么有, 01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其他向量线性表示能由其他向量线性表示.1 证毕证毕.机动 目录 上页 下页 返回 结束 . 性性独独立立）线线个个方方程程）线线性性无无关关（或或程程，就就

5、称称该该方方程程组组（各各方方；当当方方程程组组中中没没有有多多余余个个方方程程）是是线线性性相相关关的的各各余余的的，这这时时称称方方程程组组（合合时时，这这个个方方程程就就是是多多是是其其余余方方程程的的线线性性组组若若方方程程组组中中有有某某个个方方程程线性相关性在线性方程组中的运用线性相关性在线性方程组中的运用).,( .0 A, 0 212211mmmAxxxxA 其其中中有有非非零零解解即即方方程程组组线线性性相相关关就就是是齐齐次次线线性性向向量量组组结论结论机动 目录 上页 下页 返回 结束 .)(; ),( , 2121mARmAmm 必必要要条条件件是是向向量量组组线线性性

6、无无关关的的充充分分于于向向量量个个数数的的秩秩小小矩矩阵阵条条件件是是它它所所构构成成的的线线性性相相关关的的充充分分必必要要向向量量组组 定理定理4 4机动 目录 上页 下页 返回 结束 维维向向量量组组n TnTTeee1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 121 ，.,讨讨论论其其线线性性相相关关性性维维单单位位坐坐标标向向量量组组称称为为n解解.),( 21阶阶单单位位矩矩阵阵是是的的矩矩阵阵维维单单位位坐坐标标向向量量组组构构成成neeeEnn .)(01 nERE ，知知由由.4)(向量组是线性无关的向量组是线性无关的知此知此，故由定理，故由定理等于向量组中向量

7、个数等于向量组中向量个数即即ER例例机动 目录 上页 下页 返回 结束 ， 742520111321 .21321的的线线性性相相关关性性，及及，试试讨讨论论向向量量组组 解解.2, 21321321即即可可得得出出结结论论）的的秩秩，利利用用定定理理，及及（），可可同同时时看看出出矩矩阵阵（成成行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵），施施行行初初等等行行变变换换变变，对对矩矩阵阵（ 已知已知例例分析分析机动 目录 上页 下页 返回 结束 751421201),(321 2325rr ， 000220201., 2),(,2),(2121321321线线性性无无关关向向量量组组线线性性相相关关；，向向量量

8、组组可可见见 RR 75122020112rr 1312rrrr 550220201机动 目录 上页 下页 返回 结束 . , , 321133322211321线性无关线性无关试证试证线性无关线性无关知向量组知向量组bbbbbb 例例3 30 ,332211321 bxbxbxxxx使使设有设有, 0)()( 133322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦亦即即线性无关，故有线性无关，故有，因因321 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx证证机动 目录 上页 下页 返回 结束 02110011101 列列式式由由于于此此方方程程组组的的系

9、系数数行行., 0 321321线线性性无无关关向向量量组组，所所以以故故方方程程组组只只有有零零解解bbbxxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 . ,. ,: , (1) 1121也也线线性性无无关关向向量量组组则则线线性性无无关关量量组组若若向向反反言言之之也也线线性性相相关关向向量量组组则则线线性性相相关关：向向量量组组若若ABBAmmm 定理定理 5 5. 时一定线性相关时一定线性相关于向量个数于向量个数小小当维数当维数维向量组成的向量组，维向量组成的向量组，个个mnn(2) m.,:,: (3) 121且表示式是独一的且表示式是独一的线性表示线性表示必能由向量组必能由向量组向量

10、向量那么那么线性相关线性相关组组而向量而向量线性无关线性无关设向量组设向量组AbbBAmm 特别地，特别地，n+1 个个 n 维向量一定线性相关。维向量一定线性相关。机动 目录 上页 下页 返回 结束 .2, 11)()()(2,. 1)()(),(),( 1 111线线性性相相关关知知向向量量组组根根据据定定理理因因此此，从从而而，有有则则根根据据定定理理线线性性相相关关若若向向量量组组，有有记记）（BmARBRmARAARBRaaaBaaAmmm 证明证明.:1 关关的任何部分组都线性无的任何部分组都线性无向量组线性无关，则它向量组线性无关，则它反之，若一个反之，若一个线性相关线性相关含有

11、零向量的向量组必含有零向量的向量组必特别地，特别地，量组线性相关量组线性相关相关的部分组，则该向相关的部分组，则该向一个向量组若有线性一个向量组若有线性）可推广为）可推广为结论（结论（阐明阐明机动 目录 上页 下页 返回 结束 .,)(,.)(),(,2 212121线性相关线性相关个向量个向量故故那么那么假设假设，有，有构成矩阵构成矩阵维向量维向量个个mmmnmmmARmnnARAnm .)(1)(. 1)(;)().()(),(),()3( 2121mBRmBRmmBRBmARABRARbBAmm ，即有，即有所以所以组线性相关，有组线性相关，有因因组线性无关，有组线性无关，有因因有有记记

12、 .),( ,)()( 21一一线线性性表表示示，且且表表示示式式唯唯组组能能由由向向量量有有唯唯一一解解，即即向向量量知知方方程程组组由由AbbxmBRARm 机动 目录 上页 下页 返回 结束 . 向量、向量组与矩阵之间的联络，线性方向量、向量组与矩阵之间的联络，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的运用；重点在线性方程组中的运用；重点. 线性相关与线性无关的断定方法：定义，线性相关与线性无关的断定方法：定义，两个定理难点两个定理难点三、小结三、小三、小 结结机动 目录 上页 下页 返回 结束 . , )3(0 )2( 0 )1(:两两式式不不一一定定同同时时成成立立或或者者线线性性相相关关的的充充要要条条件件是是，两两个个向向量量；线线性性无无关关的的充充要要条条件件是是一一个个向向量量；线线性性