第十章-质点动力学的基本方程

1、 10-1 10-1 质点动力学基本定律质点动力学基本定律一、牛顿三大定律一、牛顿三大定律二、坐标系二、坐标系三、单位制三、单位制牛顿第一定律（惯性定律）：牛顿第一定律（惯性定律）：不受力作用的质点将保持静止或匀速直线运动状态。不受力作用的质点将保持静止或匀速直线运动状态。牛顿第二定律：牛顿第二定律：amF牛顿第三定律（作用与反作用定律）：牛顿第三定律（作用与反作用定律）：两个物体之间的作用力和反作用力总是大小两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，沿同一直线，但分别作用相等，方向相反，沿同一直线，但分别作用在两个物体上。在两个物体上。一、牛顿三大定律一、牛顿三大定律牛顿三大定律

2、是对牛顿三大定律是对绝对运动绝对运动而言。而言。惯性坐标系：惯性坐标系：牛顿三大定律可以适用的坐标系。牛顿三大定律可以适用的坐标系。在工程技术中，通常采用地球（地面）作为惯在工程技术中，通常采用地球（地面）作为惯性坐标系。性坐标系。二、坐标系二、坐标系力学单位制：采用国际单位制力学单位制：采用国际单位制基本物理量基本物理量：质量质量（M） 长度长度（L） 时间时间（T） （kgkg） （m m） （s s）力：力：导出单位导出单位1 1 N（牛顿）牛顿） = =2/1smkg 三、单位制三、单位制10-2 10-2 质点的运动微分方程质点的运动微分方程牛顿第二定律牛顿第二定律:加速度加速度 a

3、 有三种计算方法，有三种计算方法，有三种形式的质点运动微分方程。有三种形式的质点运动微分方程。一、矢量法一、矢量法amF二、直角坐标法二、直角坐标法三、自然法三、自然法xyzxyzvraF一、矢量法一、矢量法22dtrddtvda质点运动微分方程为质点运动微分方程为Fdtrdm22xyzxyzvraF二、直角坐标法二、直角坐标法将矢量式向坐标轴投影，得将矢量式向坐标轴投影，得或：或：22xdxmFd t22ydymFd t22zdzmFd txxFmayyFmazzFma三、自然法三、自然法aaatn2ddvvant在自然坐标系中：在自然坐标系中：aanaFA自然坐标系中的运动微分方程为：自然

4、坐标系中的运动微分方程为：或：或：22tdvd smFdtdt2nvmF0bF ttFmannFmabF0动力学的问题可分为：动力学的问题可分为：1 1、第一类问题（第一类问题（动力学正问题）动力学正问题）已知物体的运已知物体的运动，求作用在物体的力。动，求作用在物体的力。3 3、混合问题、混合问题2 2、第二类问题（动力学反问题）第二类问题（动力学反问题）已知作用在物已知作用在物体上的力，求物体的运动。体上的力，求物体的运动。10-3 10-3 质点动力学的两类问题质点动力学的两类问题一、动力学第一类问题一、动力学第一类问题求解第一类问题比较简单。求解第一类问题比较简单。已知质点运动，求作用

5、在物体上的力。已知质点运动，求作用在物体上的力。求解方法为：将运动方程对时间求两次导求解方法为：将运动方程对时间求两次导数，得到质点的加速度，数，得到质点的加速度，再代入牛顿第二再代入牛顿第二定律，即可求得作用于质点上的力。定律，即可求得作用于质点上的力。ABxyOl例题例题已知滑块已知滑块B B的运动方程为：的运动方程为：21coscos244xlrtt滑块滑块B的质量为的质量为m，忽略连杆忽略连杆AB的质的质量和摩擦，量和摩擦，求求：0t2和和时，连杆时，连杆 AB 所受的力所受的力FxmgFNa x本问题为第一类问题本问题为第一类问题cosxmaF 2x22d xadtrcostcos

6、2t 当当=0 时，时，12rax而且，而且，=0可得到：可得到：21Fmr（AB杆受拉）杆受拉）以滑块以滑块B为研究对象为研究对象ABxyOl21coscos244xlrtt解：解：FxmgFNa x以滑块以滑块B为研究对象为研究对象当当=/2 =/2 时，时，2rax可得到：可得到：2222mrFlr （AB杆受压）杆受压）lrl22coscosxmaF ABxyOl21coscos244xlrtt2x22d xadtrcostcos 2t 二、二、动力学第二类问题动力学第二类问题第二类问题比较复杂，求解时一般需要进行第二类问题比较复杂，求解时一般需要进行积分，仅对下述几种情况，有简单解。

7、积分，仅对下述几种情况，有简单解。已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。1 1、力为常数、力为常数CFdtxdm22 对时间积分两次，利用初始条件，确定积分对时间积分两次，利用初始条件，确定积分常数，即可。常数，即可。2 2、力为时间的函数、力为时间的函数 同样，对时间积分两次，利用初始条件，确同样，对时间积分两次，利用初始条件，确定积分常数，即可。定积分常数，即可。 tFdtxdm223、力是位置的函数、力是位置的函数)(22xFdtxdm进行如下变换：进行如下变换：dxdvvdtdxdxdvdtdvdtdxdtddtxdxxxx22得：得：)( x

8、Fvdxdvmxx积分得：积分得：dxxFdvvmxx)(由上式及所给条件，求出由上式及所给条件，求出xv再由再由dtvtxdtdxvxx)(4 4、力是速度的函数、力是速度的函数)(22xxvfdtdvmdtxdm进行如下变换后，积分：进行如下变换后，积分：得：得： tvx再由再由 tdtdxvxtvvxxdtvfdvm00得到：得到： dtttxt0物块的质量为物块的质量为 m , ,求：物块的运动方程。求：物块的运动方程。l0mkv0例题例题弹簧的刚度系数为弹簧的刚度系数为 k, ,物块自平衡位置以物块自平衡位置以初始速度初始速度v0开始运动。开始运动。x xx xO O这是已知力这是已

9、知力( (弹簧力弹簧力) )求运动规律，故为第二类求运动规律，故为第二类动力学问题。动力学问题。xFdtxdm22220d xmkxdt以弹簧未变形时的平衡位置为原点建立以弹簧未变形时的平衡位置为原点建立Ox坐标系，坐标系，将物块置于任意位置将物块置于任意位置 x 0 处。物块在处。物块在 x 方向方向只受有弹簧力只受有弹簧力Fk x 。根据直角坐标系中的质点运动微分方程根据直角坐标系中的质点运动微分方程l0mkF F解：解：Fl0 xxOmk02022xdtxd)sin(0tAx00,0vA220d xmkxdtmk20令：令：00,;00vxtx,t方程的通解为：方程的通解为：代入初始条件

10、：代入初始条件：解得：解得：0sinmkxvtkml0mkv0物块的质量为物块的质量为 m , ,求：物块的运动方程。求：物块的运动方程。弹簧的刚度系数为弹簧的刚度系数为 k, ,物块自平衡位置以物块自平衡位置以初始速度初始速度v0开始运动。开始运动。例题例题F FxmkxO这是已知力这是已知力( (弹簧力弹簧力) )求运动规律，求运动规律，故为第二类动力学问题。故为第二类动力学问题。以弹簧在静载以弹簧在静载mg作用下变形后的作用下变形后的平衡位置为原点建立平衡位置为原点建立Ox坐标系，坐标系，将物块置于任意位置将物块置于任意位置x 0处。处。l0stW物块在物块在x方向只受有弹簧力方向只受有

11、弹簧力Fk x和重力和重力Wmg。根据根据直角坐标系中的质点运动微分直角坐标系中的质点运动微分方程：方程：解：解：解：解：以弹簧在静载以弹簧在静载mg作用下变形后的平衡位置作用下变形后的平衡位置为原点建立为原点建立Ox坐标系，坐标系，FxmkxOl0stWkmg,mgxkdtxdmstst22)(mk,xdtxd2020220 xFdtxdm22将物块置于任意位置将物块置于任意位置x0处。物块在处。物块在x方向只受方向只受有弹簧力有弹簧力Fkx和重力和重力Wmg。根据直角坐标系中的质点运动微分方程根据直角坐标系中的质点运动微分方程mk,xdtxd2020220)sin(0tAx000,vA00

12、,;00vxtx,t方程的通解为：方程的通解为：代入初始条件：代入初始条件：解得：解得：0sinmkxvtkm计算结果分析计算结果分析l0mkv0l0 xxOmkv0tmkkmvxvAsin0000;,重力重力mg只改变了系统的平衡位置，对运动规律只改变了系统的平衡位置，对运动规律并无影响。并无影响。例题例题已知：粉碎机滚筒半径为已知：粉碎机滚筒半径为R，匀速转动，铁球匀速转动，铁球应在应在 时掉下，时掉下，0求：滚筒每分钟的转数求：滚筒每分钟的转数n。NFmgF解：解：本问题为混合型问题本问题为混合型问题小球的运动微分方程（沿主小球的运动微分方程（沿主法线方向）为：法线方向）为：nnmaFc

13、osmgFRvmN2铁球的受力情况如图铁球的受力情况如图NFmgFcosmgFRvmN2质点的速度质点的速度v 为：为：Rnv30得到：得到：2130cosmgFmRRnN当当 时，铁球将落下，此时时，铁球将落下，此时0NF0解得：解得：05499cosRg.n 一、质点相对运动微分方程一、质点相对运动微分方程10-4 10-4 质点相对运动微分方程质点相对运动微分方程二、特例二、特例三、非惯性系中的质点动力学三、非惯性系中的质点动力学saMsrr xzyOx z y O 惯性参考系（静系）惯性参考系（静系）Oxyz非惯性参考系（动系）非惯性参考系（动系）-Oxyz绝对运动轨迹绝对运动轨迹 s

14、a 相对运动轨迹相对运动轨迹 sr相对位矢相对位矢r 牵连运动：动系牵连运动：动系O x y z 相对相对于静系于静系Oxyz的运动的运动一、质点相对运动微分方程一、质点相对运动微分方程M点的绝对运动方程（在静系内的运动）点的绝对运动方程（在静系内的运动）牛顿第二定律：牛顿第二定律：amF式中：式中：aaaaa，为绝对加速度为绝对加速度根据运动学中的加速度合成定理，有根据运动学中的加速度合成定理，有Creaaaaa上式中，上式中， 称为称为科氏加速度，科氏加速度，Carcv2aeea为为牵连加速度牵连加速度, ,ra为为相对加速度。相对加速度。aerCaaaammmmF将加速度代入牛顿第二定律

15、，得将加速度代入牛顿第二定律，得由上式，可得由上式，可得CeraaammFm令令egeamFcgcamF牵连惯性力牵连惯性力科氏惯性力科氏惯性力gcgeFFFmra最后得：最后得：gcgeFFFmra上式称为质点相对运动微分方程。上式称为质点相对运动微分方程。质点的质量与质点的相对加速度的乘积等于作用质点的质量与质点的相对加速度的乘积等于作用在质点上的外力的合力与牵连惯性力以及科氏力在质点上的外力的合力与牵连惯性力以及科氏力的矢量和。的矢量和。egeamFcgcamF牵连惯性力牵连惯性力科氏惯性力科氏惯性力二、特例二、特例1、动系作平动、动系作平动00cg caF得到：得到：gerFFam2、

16、动系作匀速直线运动、动系作匀速直线运动0000cg ceg eaFaF得到：得到：Famr2、动系作匀速直线运动、动系作匀速直线运动Famr上式与牛顿第二定律相同，上式与牛顿第二定律相同，所有相对于惯性坐标系作所有相对于惯性坐标系作匀速直线运动匀速直线运动的参考的参考系都可以认为是系都可以认为是惯性坐标系惯性坐标系。0a如图所示单摆，摆长如图所示单摆，摆长l，小球质量为小球质量为m，其悬挂其悬挂点点O以加速度以加速度 向上运动。向上运动。0a求：此单摆做微振动的周期。求：此单摆做微振动的周期。例题例题geFm0aOxyP在悬挂点在悬挂点O上固接以平动参考系上固接以平动参考系Oxy，小球相对此动

17、系相当于小球相对此动系相当于悬挂点悬挂点固定的单摆振动固定的单摆振动。因为平动：因为平动：0gcF本问题的动力学基本方程为：本问题的动力学基本方程为：0rmaFPmagcgeFFFmraF解：解：向切向方向投影：向切向方向投影：202sinsind smmgmadt0()sinm ga 又又很小很小ls )(022agmdtdm 令令02ngal0222 ndtd)sin( nAaglT 20rmaFPma上式变为：上式变为：得到：得到：解得：解得：geFm0aOxyPF三、非惯性系中的质点动力学三、非惯性系中的质点动力学 飞机急速爬高时飞机急速爬高时飞行员的黑晕现象飞行员的黑晕现象爬升时：爬

18、升时：a 5g惯性参考系地球惯性参考系地球非惯性参考系飞机非惯性参考系飞机动点血流质点动点血流质点惯性力向下，从心脏流惯性力向下，从心脏流向头部的血流受阻，造向头部的血流受阻，造成大脑缺血，形成成大脑缺血，形成黑晕黑晕现象。现象。 飞行员的黑晕与红视现象飞行员的黑晕与红视现象 非惯性系中的质点动力学非惯性系中的质点动力学俯冲时：俯冲时：a22g g 飞机急速俯冲时飞机急速俯冲时飞行员的红视现象飞行员的红视现象惯性参考系地球惯性参考系地球非惯性参考系飞机非惯性参考系飞机动点血流质点动点血流质点牵连惯性力向上，使血牵连惯性力向上，使血流自下而上加速流动，流自下而上加速流动，造成大脑充血，形成造成大

19、脑充血，形成红红视现象视现象。 飞行员的黑晕与红视现象飞行员的黑晕与红视现象非惯性系中的质点动力学非惯性系中的质点动力学由于地球的由于地球的自转引起的自转引起的水流科氏惯水流科氏惯性力。性力。非惯性系中的质点动力学非惯性系中的质点动力学水流科氏惯水流科氏惯性力对右岸性力对右岸的冲刷。的冲刷。O例题例题Pkk已知：开有矩形槽的大盘以等已知：开有矩形槽的大盘以等角速度角速度绕绕O轴旋转。矩形槽内轴旋转。矩形槽内安置物块安置物块- -弹簧系统，物块弹簧系统，物块P的的质量为质量为m，弹簧的刚度系数为弹簧的刚度系数为k。初始状态下，物块处于大盘圆初始状态下，物块处于大盘圆心心O，这时弹簧不变形。这时弹

20、簧不变形。求：求：1 1、物块的相对运动微分、物块的相对运动微分方程；方程；2 2、物块对槽壁的侧压力。、物块对槽壁的侧压力。PkkkPx y Ox 1 1、非惯性参考系、非惯性参考系Ox y 动点物块动点物块P2 2、分析相对速度和各种加、分析相对速度和各种加速度：速度：相对速度相对速度vr 沿着沿着x 正向正向牵连加速度牵连加速度aen由大盘转动由大盘转动引起引起科氏加速度科氏加速度aIC =2m vr解：解：FIenFNFICkkPx vraenaICx y O3 3、分析质点、分析质点( (物块物块) )受力：受力：F 弹簧力弹簧力F2k x FN 槽对物块的约束力槽对物块的约束力FIC 科氏力科氏力FIen 法向牵连惯性力法向牵连惯性力 FIenm 2 x kkPx vraenaICx y O4 4、建立质点、建立质点( (物块物块) )的相对的相对运动微分方程：运动微分方程：FIenFFNFICxmxkFFxm2Ie2 ICNFFym 22()0kxxmN2Fm x5 5、计算结果分析与