最短路径问题专项练习题

1、范文范例学习参考最短路径问题专项练习共13页,全面复习与联系最短路径问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段(之和)最短问题；二、原理：两点之间,线段最短；垂线段最短.(构建“对称模型实现转化)1 .最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,与直线的交点即为所求.如下图,点A,B分别是直线l异侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时点C是直线l与AB的交点.(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,那么与该直线的交点即为所求.如

2、下图,点A,B分别是直线l同侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时先作点B关于直线l的对称点B,那么点C是直线l与AB的交点.B【例1】在图中直线l上找到一点M,使它到A,B两点的距离和最小.分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点,然后连接对称点和另一个点,与直线l的交点M即-为所求的点.解：如下图：(1)作点B关于直线l的对称点B;(2)连接AB交直线l于点M.(3)那么点M即为所求的点.点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上,然后用“两点之间线为了证实点C的位置即为所求,BC,证实AC+CBvAC+C证实：由作图可知,点所以直线l是线段BB由于

3、点C与C在直线所以BC=BC,BC在ABC中,ABB和B我们不妨在直线上另外任取一点C,连接AC,BC,B.如下：关于直线l对称,所以所以AC+BCvAC的垂直平分线.l上,=BC.vAC+BC,+BC,AC+BCvAC+CB.A段最短解决问题.精品资料整理范文范例学习参考2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质,将所求线段之和转化为一条线段的长,是解决距离之和最小问题的根本思路,不管题目如何变化,运用时要抓住直线同旁有两点,这两点,到直线上某点的距离和最小这个核心,所有作法都相同.警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要.求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系,通过

4、比拟来说明最值问题是常用的一种方法.解决这类最值问题时,要认真审题,不要只注意图形而忽略题意要求,审题不清导致答非所问.3 .利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.如果两点在一条直线的同侧时,过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大,如果两点在一条直线的异侧时,过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小,都可以用三角形三边关系来推理说明,通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决.解决连接河两岸,的两个点的最短路径问题时,可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零,转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.在解决最短路径问题时,我们

5、通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上,从而作出最短路径的方法来解决问题.【例2】如图,小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂向A村与B村供水.(1)假设要使厂部到A,B村的距离相等,那么应选择在哪建厂？(2)假设要使厂部到A,B两村的水管最短,应建在什么地方？分析：(1)到A,B两点距离相等,可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,又要在河边,所以作AB的垂直平分线,与EF的交点即为符合条件的点.(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短,可联想到“两点之间线段最短:作A(或B)点关于EF的对称点,连接对称点与B点,与EF的交点即为所求.解：(

6、1)如图1,取线段AB的中点G,过中点G画AB的垂线,交EF于P,那么P到A,B1的距离相等.也可分别以A、B为圆心,以大于2AB为半径回弧,两弧交于两点,过这两点作直线,与EF的交点P即为所求.(2)如图2,画出点A关于河岸EF的对称点A,连接AB交EF于R,那么P至UA,B的距离和最短.【例3】如图,从A地到B地经过一条小河(河岸平行),今欲在河上建一座与两岸垂直的桥,应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？思路导引：从A至ijB要走的路线是A-M-N-B,如下图,而MN是定值,于是要使路程最短,只要AM+BN最短即可.此时两线段应在同一平行方向上,平移MN到AC,从C到B应是余下

7、的路程,连接BC的线段即为最短的,此时不难说明点N即为建桥位置,MN即为所建的桥.精品资料整理范文范例学习参考解：1如图2,过点A作AC垂直于河岸,且使AC等于河宽.2r连接BC与河岸的一边交于点N.3过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点.M.那么MN为所建的桥的位置.思维拓展例新应用扪T力“,rif.t7刈：平nM4 .生活中的距离最短问题由两点之间线段最短或三角形两边之和大于第三边可知,求距离之和最小问题,就是运用等量代换的方式,把几条线段的和想方法转化在一条线段上,从而解决这个问题,运用轴对称性质,能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段,如图,AO+BO=AC的长.所以作点关于

8、某直线的对称点是解决这类问题的根本方法.【例4】实际应用题茅坪民族中学八2班举行文艺晚会,桌子摆成如图a所示两直排图中的AO,BO,AO桌面上摆满了橘子,OB桌面上摆满了糖果,站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短？解：如图b.1作C点关于OA的,对称点Ci,作D点关于OB的对称点Di,2连接CiDi,分别交OA,OB于P,Q,那么小明沿C-PQ-D的路线行走,所走的总路程最短.5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键.先做出其中一点关于对称轴的对称点,然后连接对称点和另一个点,

9、所得直线与对称轴的交点,即为所求.根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证实这就是最大值.破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法.【例5】如下图,A,B两点在直线l的两侧,在l上找一点C,使点C到点A、B的距离之差最大.公分析：此题的突破点是作点A或B关于直线l的对称点A或B,作直线ABAB与直线l交于点C,把问题转化为三角形任意两边之差小于第三.边来解决.解：如下图,以直线l为对称轴,作点A关于直线l的对称点A,AB的连线交l于点C,那么点C即为所求.理由：在直线l上任找一点C异于点C,连接CA,CA,CA,CB.由于点A,

10、A关于直线l对称,所以l为线段AA的垂直平分线,那么有CA=CA,所以CACB=CACB=AB.又由于点C在l上,所以CA=CA.在AABC中,CA-CB=CA-CBvAB,所以CA-CBCA-CB.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系,通过比拟来说明最值问题是常用的一种方法.BR图a图b精品资料整理三、例题:例1、如右图是一个棱长为4的正方体木块,一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处,那么它爬行的最短路径是如右图是一个长方体木块,AB=3,BC=4,CD=2假设一只蚂蚁在点A处,它例2、如图,要在河边修建一个水泵站,分别向张村、李庄送水,水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短

11、.李庄B张村AL如图,直线L同侧有两点AB,A、B到直线L的垂直距离分别为1和3,两点的水平距离为3,要在直线L上找一个点P,使PA+PB勺和最小.请在图中找出点P的位置,并计算PA+PB勺最小值.要在河边修建一个水泵站,向张村、李庄铺设管道送水,假设张村、李庄到河边的垂直距离分别为IKmffi3Km张村与李庄白水平距离为3Km那么所用水管最短长度为张村.四、练习题稳固提升一1、 如图是一个长方体木块,AB=5,BC=3,CD=4假设一只蚂蚁在点A处,它要沿着木块侧面爬到点D处,那么蚂蚁爬行的最短路径是.2、现要在如下图的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带金丝带的宽度忽略不计,圆柱体高为6c

12、m,底面圆周长为16cm,那么所缠金丝带长度的最小值为0范文范例学习参考要沿着木块侧面爬到点D处,那么蚂蚁爬行的最短路径是李庄D3、如图是一个圆柱体木块,一只蚂蚁要沿圆柱体的外表从A点爬到点B处吃到食精品资料整理范文范例学习参考物,知圆柱体的高为5cm,底面圆的周长为24cm,那么蚂蚁爬行的最短路径为o4、正方形ABCD勺边长为8,M在DC上,且DW2,N是AC上的一动点,DWMN5、 在菱形ABCm,AB=2/BAD=60,点E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,那么PE+PB勺最小值为.6、如图,在ABC,AOBO2,/AC氏90,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,那么EJED的

13、最小值为.7、AB是.的直径,AB=ZOC是.的半径,OCLAB,点D在AC上,AD=2c0点P是半径OC的一个动点,那么AP+PD勺最小值为.(二)8、 如图,点P关于OAOB的对称点分别为GD,连接CD交OA于M交OB于N,假设C518cm,那么PMN勺周长为.9、 ,如图DE是4ABC的边AB的垂直平分线,D为垂足,DEiBC于E,且AC=5,BO8,那么4AEC的周长为.10、 ,如图,在ABC中,ABACBC边上的垂直平分线DE交BC于点D,交AC于点E,AO8,ABE的周长为14,那么AB的长.MN分别是AD和AB上的动点,那么BM+MINJ最小值是.12、在平面直角坐标系中,有A

14、(3,2),B(4,2)两点,现另取一点C(1,n),当n=时,AC+BC的值最小.第14题第15题11、如图,在锐角ABC中,AB=4M2,ZBAC=45,/BAC的平分线交BC于点D,第11题精品资料整理范文范例学习参考13、ABC中,/C=90,AB=10,AC=6,BC=8过AB边上一点P作PELAC于E,PF,BC于F,E、F是垂足,那么EF的最小值等于.14、如图,菱形ABCE,AB=2,/BAD=60,点E、F、P分别是ABBCAC上的动点,那么PE+PFF勺最小值为15、如图,村庄A、B位于一条小河的两侧,假设河岸a、b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD问桥址应如何选择

15、,才能使A村到B村的路程最近？16、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).(1)求该函数的解析式；(2)O为坐标原点,设OAAB的中点分别为C、D,P为OB上一动点,求PC+PD(三)16、如图,/AO时有一点P,试分别在边OA?口OB上各找一点E、F,使得4PEF的周长最小.试画出图形,并说明理由.17、如图,直线l是第一、三象限的角平分线.实验与探究：(1)由图观察易知A(0,2)关于直线l的对称点A的坐标为(2,0),请在图中分别标明B(5,3)、C(2,5)关于直线l的对称点B、C的位置,并写出他们的坐标：B、C;归纳与发现：(2)结合以上三组点的坐

16、标,你会发现：坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P的坐标为;运用与拓广：(3)两点D(1,3)、E(-1,4),试在直线l上确定一点Q,使点Q到DE两点的距离之和最小,并求出Q点坐标.18、几何模型：条件：如图,A、B是直线L同旁的两个定点.问题：在直线L上确定一点P,使PA+PB勺值最小.方法：作点A关于直线l的对称点A,连结AB交l于点P,那么PAPBAB的值最小(不必证实).模型应用：(1)如图1,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点.连结BD,由正方形对称性可知,B与D关于直线AC对称.连结ED交AC于P,那么PBPE的最小值是；(2

17、)如图2,.的半径为2,点A、B、C在.上,OAOB,AOC60.,P是OB上一动点,求PAPC的最小值；精品资料整理的最小值,并求取得最小值时P点坐标.范文范例学习参考(3)如图3,/AOB=45,P是/AOEft一点,PO=1QQR分别是OAOB上的动点,求PQRH长的最小值.AB10cm,E为边BC的中点,P为BDAB10cm,ABC45,E为边BC上问题解决(3)如图,假设四边形ABCD矩形,AB10cm,BC20cm,E为边BC上的一个动点,P为BD上的一个动点,求PCPE的最小值；20.如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结0A,将线段OA绕原点O顺时针旋转120,得

18、到线段OB.(1)求点B的坐标；(2)求经过A、OB三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使BOC勺周长最小？假设存在,求出点C的坐标；假设不存在,请说明理由.(注意：此题中的结果均保存根号)解：(1)过点B作BDLx轴于点D,中,/ODB=90/OBD=30.OD=1DB=3点B的坐标是(1,褥).(2)设所求抛物线的解析式为 y知可得：c0abc34a2bc0解得：a,b70.33所求抛物线解析式为 y3x223x.33的一个动点,P为BD上的一个动点,求PCPE的最小值;2.axbx(1)如图,四边形ABCD是正方形,上的一个动点,求PCPE的最小值；(2)

19、如图,假设四边形ABCD是菱形,由可得：OB=OA=2/BOD=60.在RtAOBDc,精品资料整理范文范例学习参考(3)存在.由 y 理 x2述 x 配方后得：yY3x12巫3333,抛物线的对称轴为 x=-1.(也写用顶点坐标公式求出).OB=2要使BOC勺周长最小,必须BC+CCM小.点O与点A关于直线 x=1对称,有CO=CA.BOC勺周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA.当AGB三点共线,即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时,BC+CAft小,此时BOC勺周长最小.(列出方程组给1分,解出给2分)抛物线的解析式为 yx23设直线AB的解析式为 ykxb,那么有kb.32kb0解

20、得:k袅.直线AB的解析式为 yx店33当 x=1时,y；所求点C的坐标为(一1,虫321、如图,抛物线 yax2bxc 的顶点P的坐标为431,3,交x轴于A、B两点,交y轴于点 C(0,圾.(1)求抛物线的表达式.(2)把ABCggAB的中点E旋转180,得到四边形ADBC判断四边形ADBC勺形状,并说明理由.(3)试问在线段AC上是否存在一点F,使得FBD的周长最小,假设存在,请写出点F的坐标；假设不存在,请说明理由.解：(1)由题意知3分精品资料整理范文范例学习参考(2)设点A(xi,0),B(X2,0),那么史x2纪3xM0,33解得 Xi1,X235分IOAI=1,IOBI=3.又.tan/OC&tOBJ庭|OC|/OC比60,同理可求/OC号30.;/AC氏9006分由旋转性质可知A捻BD,BG=AD四边形ADB久平行四边形7分又/AC&900.四边形ADBC1矩形8分(3)延长BC至N,使CNCB.假设存在一点F,使