第3讲多边形及其内角和知识点

1、第 3 讲多边形及其内角和(11.3)图1n条边就叫做n边形.三角形、四边形都属于多边形,其中三角实用文档、知识点总结(定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形.分类2:多边形凸多边形凹多边形正多边形：各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.非正多边形： 1、n边形的内角和等于180(n-2).2、任意凸形多边形的外角和等于360.3、n边形的对角线条数等于1/2n(n-3)只用一种正多边形：3、4、6/.I镶嵌(,拼成360度的角I只用一种非正多边形(全等)：3、4.,知识点一：多边形及有关概念1 1、多边形的定义：在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多

2、边形(1)多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.顶点内角外角每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角,一个n边形有n个内角.多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角o(2)在定义中应注意：一些线段(多边形的边数是大于等于3的正整数)；首尾顺次相连,二者缺一不可理解时要特别注意“在同一平面内这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.2 2、多边形的分类：(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形,画出多边形的任何一条边所在的直线,如果整个多边形都在这条直线的同一侧,那么此多边形为凸多边形,反之为凹多边形(见图多边形.

3、1).本章所讲的多边形都是指凸凸多边形(2)多边形通常还以边数命名,多边形有形是边数最少的多边形.知识点二：正多边形标准文案角都相等的四边形也不一定是正方形,只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线一条对角线.要点诠释：1从n边形一个顶点可以引n-3条对角线,将多边形分成n2个三角形.摘-32n边形共有2条对角线.证实：过一个顶点有n3条对角线n3的正整数,又共有n个顶点,共有nn-3i i.公式：R边形的内角和为用 21181,21181,之3.2 2.公式的证实:实用文档各个角都相等、各

4、个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边正三角形要点诠释:正五边形正六边形正十二边形各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件,二者缺一不可.如四条边都相等的四边形不一定是正方形,四个条对角线,但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次,线.知识点四：多边形的内角和公式工加-3,凸n边形,共有2条对角BD为四边形ABCD的证法1:1:在在边形内任取一点,并把这点与各个顶点连接起来,共构成界个三角形,这出个三角形的内角和为证法再减去一个周角,即得到前边形的内角和为(2)侬.2：从 R 边形一个顶点作对角线,可以作冷-与条对角线,并且衣边形被分成用-2个三角形,这例-2个三角形内角和恰好

5、是 R 边形的内角和,等于再-248.证法 3:3:在并边形的一边上取一点与各个顶点相连,得伊-1个三角形,力边形内角和等于这例一1个三角形的内角和减去所取的一点处的一个平角的度数,即1联-陶,-2y儆.要点诠释：i注意：以上各推导方法表达出将多边形问题转化为三角形问题来解决的根底思想.2内角和定理的应用：多边形的边数,求其内角和；多边形内角和,求其边数.知识点五：多边形的外角和公式1 1.公式：多边形的外角和等于360.2 2.多边形外角和公式的证实：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角,所以用边形的内角和加外角和为标准文案实用文档加即,外角和等于丹48-(用-2)8=36Q*.注意：

6、n边形的外角和恒等于360.,它与边数的多少无关.要点诠释：(i)外角和公式的应用：外角度数,求正多边形边数；正多边形边数,求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：n边形的内角和等于(n-2)-180(n3,n是正整数),可见多边形内角和与边数n有关,每增加1条边,内角和增加180.多边形的外角和等于360,与边数的多少无关.知识点六：镶嵌的概念和特征1 1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一局部完全覆盖,通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌).这里的多边形可以形状相同,也可以形状不相同.2 2、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360.；相邻的多边

7、形有公共边.3 3、常见的一些正多边形的镶嵌问题：(1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360.(2)只用一种正多边形镶嵌地面对于给定的某种正多边形,怎样判断它能否拼成一个平面图形,且不留一点空隙？解决问题的关键在于正多边形的内角特点.当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360时,就能铺成一个平面图形.(2)以口事实上,正n边形的每一个内角为n,要求k个正n边形各有一个内角拼于一点,恰好覆盖地面,这样1802线43600=用,由此导出k=疗-2=2+疗-2,而k是正整数,所以n只能取3,4,6.因而,用相同的正多边形地砖

8、铺地面,只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.注意：任意四边形的内角和都等于360.所以用一批形状、大小完全相同但不规那么的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板,用任意相同的三角形也可以铺满地面.(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形,关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角的问题.例如,用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌,见以下图：又如,用一个正三角形、 两个正方形、 一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面,由于它们的交接处各角之和恰好为一个周角360.规律方法指导1

9、.内角和与边数成正比：边数增加,内角和增加；边数减少,内角和减少.每增加一条边,内角的和就增加180(反过来也成立),且多边形的内角和必须是180的整数倍.2.多边形外角和恒等于360,与边数的多少无关3.多边形最多有三个内角为锐角,最少没有锐角(如矩形)；多边形的外角中最多有三个钝角,最少没有钝角.4.在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时,问题的常用方法.标准文案,运用方程思想是解决本节实用文档5.在解决多边形的内角和问题时,通常转化为与三角形相关的角来解决.三角形是一种根本图形,是研究复杂图形的根底,同时注意转化思想在数学中的应用二、经典例题透析类型一：多边形内角和及外角和定理应用1

10、 .一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍,它是几边形？总结升华：此题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用.只要设出边数片,根据条件列出关于丹的方程,求出火的值即可,这是一种常用的解题思路.举一反三：【变式 1 1】假设一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800.,求这个多边形的边数.【变式 22一个多边形除了一个内角外,其余各内角和为27500,求这个多边形的内角和是多少？【答案】设这个多边形的边数为耳,这个内角为/,【变式 3 3】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350.,求这个多边形的边数.类型二：多边形对角线公式的运用【变式 1 1】一个多边形共有20条对角线,那么

11、多边形的边数是.A.6B.7C.8D.9【变式 22一个十二边形有几条对角线.赤-3总结升华：对于一个n边形的对角线的条数,我们可以总结出规律2 2 一条,牢记这个公式,以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数,要记住这个公式只有在理解的根底之上才能记得牢.类型四：实际应用题类型三：可转化为多边形内用和问题【艾式 1 1】如图所不,/1+/2+/3+【艾式 2 2】如下图,求/A+ZB+./C+/D+/E+/F的度数.,小E E一一2乂小汽车从P市出发,先到B市,再到C市,再到A市,最后返回P市,标准文案4.如图,一辆这辆小汽车共转了实用文档多少度角？思路点拨：根据多边形的外角和定理解决

12、举一反三：【变式1 1】 如下图,小亮从A点出发前进10m,向右转15,再前进10m,又向右转15,这样一直走下去,当他第一次回到出发点时,一共走了m.【变式 2 2小华从点A出发向前走10米,向右转36.,然后继续向前走10米,再向右转36.,他以同样的方法继续走下去,他能回到点A吗？假设能,当他走回点A时共走了多少米？假设不能,写出理由.【变式 3 3如下图是某厂生产的一块模板,该模板的边AB/CF,CD/AE.按规定AB、CD的延长线相交成80.角,因交点不在模板上,不便测量.这时师傅告诉徒弟只需测一个角,便知道AB、CD的延长线的夹角是否符合规定,你知道需测哪一个角吗？说明理由思路点拨

13、：此题中将AB、CD延长后会得到一个五边形,根据五边形内角和为540,又由AB/CF,CD/AE,可知/BAE+/AEF+/EFC=360,从540中减去80.再减去360.,剩下/C的度数为100.,所以只需测/C的度数即可,同理还可直接测/A的度数.总结升华：此题实际上是多边形内角和的逆运算,关键在于正确添加辅助线类型五：镶嵌问题5.分别画出用相同边长的以下正多边形组合铺满地面的设计图.(1)正方形和正八边形；(2)正三角形和正十二边形；(3)正三角形、正方形和正六边形.思路点拨：只要在拼接处各多边形的内角的和能构成一个周角,那么这些多边形就能作平面镶嵌.解析：正三角形、正方形、正六边形、

14、正八边形、正十二边形的每一个内角分别是60、90、120、135、150.(1)由于90+2X135=360,所以一个顶点处有1个正方形、2个正八边形,如图(1)所示.(2)由于60+2X150=360,所以一个顶点处有1个正三角形、2个正十二边形,如图(2)所示.(3)由于60+2X90+120=360,所以一个顶点处有1个正三角形、1个正六边形和2个正方形,如图(3)所示.总结升华：用两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形,实质上是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角的问题.举一反三：【变式 1 1】分别用形状、大小完全相同的三角形木板；四边形木板；正五边形木板；正六边形木板作平

15、面镶嵌,其中不能镶嵌成地板的是()A、B、C、D、解析：用同一种多边形木板铺地面,只有正三角形、四边形、正六边形的木板可以用,不能用正五边形木板,故【变式 2 2用三块正多边形的木板铺地,拼在一起并相交于一点的各边完全吻合,其中两块木板的边数都是那么第三块木板的边数应是()8,标准文案实用文档A、4B、5C、6D、8【答案】A提示：先算出正八边形一个内角的度数,再乘以2,然后用360减去刚刚得到的积,便得到第三块木板一个内角的度数,进而得到第三块木板的边数三、综合练习、选择题:1.一个多边形的内角和是720,那么这个多边形是A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形2.一个多边形的内角和比它的外

16、角和的3倍少180,这个多边形的边数是A.5B.6C.7D.83.假设正n边形的一个外角为60,那么n的值是A.4B.5C.6D.84.以下角度中,不能成为多边形内角和的是A.600B.720C.900D.10805.假设一个多边形的内角和与外角和之和是1800,那么此多边形是A.八边形B.十边形C.十二边形D.十四边形6.以下命题：多边形的外角和小于内角和,三角形的内角和等于外角和,多边形的外角和是指这个多边形所有外角之和,四边形的内角和等于它的外角和.其中正确的有A.0个B.1个C.2个D.3个7.一个多边形的边数增加2条,那么它的内角和增加A.180B.90C.360D.5408.过多边

17、形的一个顶点可以作7条对角线,那么此多边形的内角和是外角和的A.4倍B.5倍C.6倍D.3倍9 .在四边形ABCD中,NA、NB、/C、/D的度数之比为2：3：4：3,那么ND的外角等于A.60B.75C.90D.12.110 .在各个内角都相等的多边形中,一个内角是与它相邻的一个外角的3倍,那么这个多边形的边数是A.4B.6C.8D.1011.如图,AB/CD/EF,那么以下各式中正确的选项是A.Z1+Z2+Z3=180B.Z1+Z2-Z3=90C.Z1-Z2+Z3=90D.Z2+Z3-Z1=18012 .在以下条件中：/A+/B=/C/A：/B：/C=1:2:3/A=90/B/A=/B=/

18、C中,能确定AABC是直角三角形的条件有A.B.C.D.二、填空题1 .五边形的内角和等于度.2.假设一凸多边形的内角和等于它的外角和,那么它的边数是.3 .正十五边形的每一个内角等于度.4.十边形的对角线有条.5 .内角和是1620的多边形的边数是.6.一个多边形的每一个外角都等于36,那么这个多边形的内角和是.7.一个多边形的内角和是外角和的4倍,那么这个多边形是边形.1.8 .等腰梯形ABCM,AD/BC,假设/B=-ZD,那么/A的外角是.939.如图在ABC中,D是/ACB/ABC的角平分线的交点,BD的延长线交AC于E,且/EDC=50,那么/A的度数为.标准文案实用文档10.如图

19、,在六边形ABCDE冲,AF/CDAB/DE且/A=120,/B=80,那么/C的度数是,/D的度数是.10题图三、计算题1.一个多边形的每一个外角都等于450,求这个多边形的内角和.2.一个多边形的每一个内角都等于144,求它的边数3.如果四边形有一个角是直角,另外三个角的度数之比为2：3：4,那么这三个内角的度数分别是多少?4.一个正多边形的一个内角比相邻外角大360,求这个正多边形的边数5 .多边形的内角和等于1440,求1这个多边形的边数,2过一个顶点有几条对角线,3总对角线条数26.一个多边形的外角和是内角和的一,求这个多边形的边数;727.一多边形的每一个内角都相等,它的外角等于内

20、角的一,求这个多边形的边数;38.一多边形内角和为23400,假设每一个内角都相等,求每个外角的度数9.四边形ABCD43,/A:/B=7:5,/A-/C=/B,/C=/D-40,求各内角的度数10.一个多边形,除一个内角外,其余各内角之和等于1000.,求这个内角及多边形的边数标准文案实用文档11.如图,一个六边形的六个内角都是120,AB=1,BC=CD=3,DE=2,求该六边形的周长四、拓展练习1.探究：(1)如图/1+/2与NB+NC有什么关系？为什么?(2)把图AABC沿DE折叠,得到图,填空：Z1+Z2ZB+ZC(填“=),当/人=401时,ZB+/C+/1+/2=.(3)如图,是由图的AABC沿DE折叠得到的,如果2A=30.那么x+y=360(ZB+ZC+Z1+Z2)=360-从而猜测x+