北京市通州区2020届高三一模考试数学试题

1、通州区高三年级一模考试数学试卷2020年4月考生须知1 .本试卷共4页，满分150分.考t时长120分钟.2 .本试卷分为第一部分和第二部分两部分.3 .考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.4 .考试结束后，将试卷和答题一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题：本大题共 10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A x0 x 2 , Bx1 x 3 ,则 AI BA. x 0 x 3B. x2 x 3C. x0 x 1D. x1 x 22.已知复数z=i(2 i)(i是虚数单位)，则|z12A. 1B. 2 C. 5 D.

2、33.函数f(x) sin2x cos2x的最小正周期是(A.c. 2冗D. 4冗4.已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f (1) 2,下列一定在函数f(x)图象上的点是A. (1,-2)B. (-1,-2)C. (-1, 2) D. (2, 1)5.已知a, 3, b, 9, c成等比数列，且a>0,则 10g3 b 10g 3 c 等于A. 1 B. 1 C. 1 D. 12226 .已知抛物线y2 2px(p 0)的焦点与双曲线 - y2 31的右焦点重合，则 pA. 、2 B. 2 C. 2 2 D. 417 .在(2x -)6的展开式中，常数项是 xA. -160 B. -2

3、0 C. 20 D. 1608 .在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(cos ,sin ), B(cos(-),sin(3uuu uunOA OBA.1B. 3C. 2D.与有关9 .若 a>0, b>0,则“ ab> 1” 是 “a+b >2” 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件10 .某同学在数学探究活动中确定研究主题是“ an(a 1,n N )是几位数"，他以2n (n N )为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如下表：N 2n(n 0)lg NN的位数21lg2一位数22lg4

4、一位数23lg8一位数241 lg1.6两位数251 lg3.2两位数261 lg6.4两位数272 lg1.28三位数282 lg2.56三位数292 lg5.12三位数2103 lg1.024四位数L LL LL L试用该同学的研究结论判断450是几位数(参考数据lg2 0.3010 )A. 101 B. 50 C. 31 D. 30第二部分(非选择题共110分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11 .已知向量a (1, 2) , b (3,m),其中m R.若a,b共线，则m等于,将上述问题的所有正整数答12 .圆x 12 y2 1的圆心到直线x底1 0的距离为.13

5、.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等14 .中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题：“今有 物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”案从小到大组成一个数列an ,则31 ； an .（注：三三数之余二是指此数被3除余2,例如“ 5”）15 .给出下列四个函数， y X2 1 ；y |x 1 x 2 ;y 2x 1；y x2 cosx 其中值域为1,）的函数的序号是.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题14分）已知 ABC,满足a J7, b 2, ,判断 ABC的面积S 2是否成立？说明理由.21从A 一,cos

6、B - 这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的 37空格处并做答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分17.（本小题14分）2019年1月1日，我国开始施行个人所得税专项附加扣除操 作办法，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、 赡养老人.某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20大；调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如下：员26'子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人老员工402203中年员工821518青年员工1

7、20121（I）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（II）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望18 .(本小题15分)如图，已知四边形ABCD为菱形，且 A 600 ,取AD中点为E.现将四边形EBCD沿BE折起至EBHG ,使得AEG 90o.(I)求证：AE 平面EBHG(H )求二面角A-GH-B的余弦值H19 .(本小题14分)已知椭圆C：2卷1(a b0)的离心率为，点A(0, 1)在椭圆C上.(I )求椭圆 C的方程;(n)设。为原点，过原点的直线(不与 x轴垂直)与椭圆 C交于M、N两点，直

8、线 AM、AN与x轴分别交于点 E、F.问：y轴上是否存在定点 G,使得/ OGE= / OFG ?若存在, 求点G的坐标；若不存在，说明理由.20 .(本小题 14 分)已知函数 f(x) (x a)ex x a ,设 g(x) f (x).(I)求g(x)的极小值；(n)若f (x) 0在(0,)上恒成立，求a的取值范围21 .(本小题14分)用x表示一个小于或等于x的最大整数.如：2=2, 4.1=4, -3.1=-4.已知实数列a。®,对于所有非负整数i满足an a (a a),其中a。是任意一个非零 实数.(I)若 a。2.6,写出 ai,a2,a3；(阴若a。0,求数歹I

9、 &的最小值；(m)证明：存在非负整数k,使得当i k时，2 ai2.通州区高三年级一模考试2020年4月11. 6 ；12. 1; 13.13. 3.,314. 8; 15n-7;（第一空2分，第二空3分）15. （答对一个给1分，答对两个给3分，全对给5分，出现一个错误不得分.)三、解答题：本大题共 6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. （本小题14分）解：选， ABC的面积S 2成立，理由如下当 A 一时，cos A - -c-, 322 2c所以c2 2c 3 0,所以c 3, 11则4ABC 的面积 S-bcsinA 2_22因为-y/3J442,

10、2 V 4所以S 2成立.分分63 sin -33 .分2曲分10选， ABC的面积S2不成立，理由如下:当 cosB21时'cosBa2 c2 b2.212ac 77 c2 42 7c-217、选择题：（每小题4分，共40分.）题号12345678910答案DCBBADABAC、填空题（每道小题 5分，共25分）整理得，c2 273c 3 0,所以c 石.分6222因 a 7,b c 43 7,分 8所以 ABC是A为直角的三角形，所以 ABC 的面积 S -bc 1 2 V3 33 2 , 22所以不成立17 .（本小题14分）解：（I）该单位员工共 140+180+80=400人

11、，20抽取的老年员工140 - 7人,400中年员工180里9人，400，,一20青年员工80 ' 4人分4400（n） X的可取值为0,1,2分5P(X=0)C2T3, P(X=1)C3gc515, P(X=0)C；10C82-2-22828C828C8分11所以的分布列为X012P32815281028分145E（X）；18 .（本小题15分）（I）证明：在左图中， ABD为等边三角形，E为AD中点所以BEXAD,分2所以BEXAE因为 AEG 900,所以GELAE.分3因为 GELAE, BEXAE, GEABE=E所以AE 平面EBHG .分4（II）设菱形ABCD的边长为2

12、,由（I ）可知 GELAE, BEXAE, GEXBE.所以以E为原点，EA,EB,EG所在直线分别为x,y,z轴, 建立如图空间坐标系可得 A(1,0,0), B(0,V3,0) , G(0,0,1) , H (0,石,2) 分 6ujirAG=( 1,0,1),uuir_AH =( 1,3,2)设平面AGH的法向量为n （x,y,z）r uuir n AG 所以 r uuurn AH0 x z 0 。,即x岛2z 03(1, 丁平面EBHG的法向量为EA (1,0,0)设二面角A-GH-B的大小为9( 990°)cos 0 | cos n, EA.21分11uuirunr_(田

13、)由 AF AB ,贝J F(1J3 ,0)所以EF (1入J3-0)因为EF 平面AGH，贝U n EF 0即1 20分141所以入一分15219.(本小题14分)解：(I)由题意得e 土旦, 分a 2b=1, P 222又a b c解得a 72, c 1分42所以椭圆方程为y2 1分52(n)设M(x0,y0),由题意及椭圆的对称性可知 N( x0, %)(丫01)则直线AM的方程为y Xx 1分7x0直线AN的方程为y Xx 1分8x0则E点坐标为( x ,0) , F点坐标为(一迎,0) 分101 y0 '1 y0 '假设存在定点 G (0, n)使得/ OGE = /

14、OFG,即tanZOGE=tanZOFG （也可以转化为斜率来求） 分1OEl OGI即-L 0G| |0F|2即 OG OE|OF分 122即 n221 y0所以n a分3所以存在点G坐标为(0, #)满足条件.州20.(本小题14分)解：(I) f (x) (x a 1)ex 1 1 分由题意可知g(x) (x a 1)ex 1 ,所以 g (x) (x a 2)ex吩当x a 2时g(x) 0 , g(x)在(a 2,)上单调递增； 3分当x a 2时g(x) 0 , §依)在(,a 2)上单调递减4分所以g(x)在x a 2处取得极小值，为g(a 2) ea 2 1 (H)由

15、(I )得 f (x) g(x) ea 2 1当 a 2 时 f (x) ea 2 1 0,吩所以f(x)在单调递增，所以f(x) f (0) 0 7分即a 2时f(x)。在(0,)恒成立. 8分当 a 2时 f(0) g(0) 2 a 0,9 分又 f (a) g(a) ea 1 0, 1 份又由于f(x)在(a 2,)上单调递增；在(0,a 2)上单调递减；所以在(0,a)上一定存在%使得f (%) 0 , 1份所以f(x)在(0,x°)递减，在(,)递增，所以 f(x0)f (0) 0所以在(0,)存在xo,使得f(xo) 0, 1吩所以当a 2时，f(x) 0在(0,)上不恒

16、成立所以a的取值范围为,2 . 14分21.(本小题14分)解：(I ) a11.2、 a21.6、a30.8.(n)因 a。 0,则a。 0, 所以 a1 a0( a0 a0)0 ,设aj 0,i 1 ,则 ai 1 ai(ai )0,所以a0, i 0.又因0 ai a1, 则a- a(ai ai) a,则ar ai, i 0.分 4假设i0,都有aj 0成立，则 a a(ai ai) ai, 则0 1 ai, i 0,即a 1 a/1, i 0,分5则an a0 n, n 1 , 则当 n a0时，a。 0, 这与假设矛盾，所以a/0, i0不成立，知即存在k N,aM 0.从而 ai 的最小值为0.(出)当a0 0时，由(2)知，存在k N,ak 0, 所以a-0,所以ak1 0,所以a 0, i k ,成立.分8当a° 0时，若存在k N,ak 0,则ai0, i k ,得证;若40, i 0,则a1,贝U ai 1 ai(ai ai) aj ,则a- ai, i 0,所以数列 aj单调不减.由于aj是负整数, 所以存在整数 m和负整数c,使得当i m时，aj所以，当i m时，a 1 c(a c),则ai1即b 1c 1cbi,ic2人c(ai-