特征值与特征向量的特点及应用

1、特征值与特征向量的特点及应用特征值与特征向量的特点及应用郑州大学毕业设计论文题目：特征值与特征向量的特点及应用指导老师：陈铁生职称:副教授学生姓名：洪天麟学号学112100311专业：数学与应用数学院系：数学与统计学院完成时间：2022年5月10日目录摘要11线性变换的特征值与特征向量,特征多项式和特征子空间的定义22特征值与特征向量的计算以及不变子空间的问题103矩阵的公共特征向量与同时三角化144特征值与特征向量的运用20参考文献23致谢24特征值与特征向量的特点及应用摘要： 这篇文章阐述了特征值与特征向量的特点及应用,给由了特征值与特征向量、特征多项式、特征子空间等的概念和性质定理.并且

2、给由了特征值与特征向量在物理学当中的应用,提供了一些经典习题的解答方法.还给生了特征值与特征向量在实际生产生活当中的应用.关键词：特征值,特征向量,特征多项式,不变子空间,特征子空间Abstract:thisarticleexpoundsthecharacteristicsoftheeigenvalueandeigenvectorandapplicationsofeigenvalueandeigenvectorisgiven,andcharacteristicpolynomial,suchasfeaturesubspaceconceptandnatureofthetheorem.Andeige

3、nvalueandeigenvectoraregivenintheapplicationofphysics,providessomeclassicalproblemsolutionmethod.Eigenvaluesandeigenvectorsarealsointheactualapplicationofproductionandliving.Keywords:eigenvalues,eigenvectorsandcharacteristicpolynomial,invariantsubspace,featuresubspace矩阵的特征值和特征向量在现实实际拥有广泛的应用,矩阵的特征值和特

4、征向量理论在经济分析、信息科学、天文物理学、生命科学和环境保护等领域都有联系.结合数学模型来研究等一系列问题,我们主要从三方面着手：线性变换的特征值与特征向量,特征多项式和特征子空间的定义；矩阵的公共特征向量与同时三角化；特征值与特征向量的运用.1线性变换的特征值与特征向量,特征多项式和特征子空间的定义假设存在非零向量七eV,使得对于某个人6K,有AE=入E,那么称E是A的属于特征值人的特征向量.从数学的直观解析几何角度来看,特征向量的方向线性变换后,还是在一条直线,要么方向不变(%)大于0)要么方向相反(心小于0),在Ag等于0时,特征向量被线性变换变成0.E是线性变换A的属于特征值%的特征

5、向量,那么七的任意一个非零背书k七也是A的属于加的特征向量.由于由AE=入.E推由A(kE)%(kE)特征向量不是被特征值所唯一决定的.相反,特征值确是被特征向量唯一决定,一个特征值向量只能属于一个特征值.数学上,线性变换的特征向量本征向量是一个非退化的向量,其方向在该变换下不变.该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值本征值.一个变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述.特征空间是相同特征值的特征向量的集合.这些概念在纯数学和应用数学的很多领域发挥着巨大的作用一在线性代数,泛函分析,甚至在一些非线性的情况中也有着显著的重要性.“特征一词来自德语的eigen.1904年希尔伯特首先在这个意义下使

6、用了这个词,更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词.eigen一词可译为“自身的,“特定于.的,“有特征的或者“个体的一这强调了特征值对于定义特定的变换有多重要.空间上的变换一如平移移动原点,旋转,反射,拉伸,压缩,或者这些变换的组合；以及其它变换一可以通过它们在向量上的作用来显示.向量可以用从一点指向另一点的箭头来表7K0例子随着地球的自转,每个从地心往外指的箭头都在旋转,除了在转轴上的那些箭头.考虑地球在一小时自转后的变换：地心指向地理南极的箭头是这个变换的一个特征向量,但是从地心指向赤道任何一处的箭头不会是一个特征向量.由于指向极点的箭头没有被地球的自转拉伸,它的特征值是1.另一个例子

7、是,薄金属板关于一个固定点均匀伸展,使得板上每一个点到该固定点的距离翻倍.这个伸展是一个有特征值2的变换.从该固定点到板上任何一点的向量是一个特征向量,而相应的特征空间是所有这些向量的集合.但是,三维几何空间不是唯一的向量空间.例如,考虑两端固定的拉紧的绳子,就像弦乐器的振动弦那样图2.振动弦的原子到它们在弦静止时的位置之间的带符号那些距离视为一个空间中的一个向量的分量,那个空间的维数就是弦上原子的个数.如果考虑绳子随着时间流逝发生的变换,它的特征向量,或者说特征函数如果将绳子假设为一个连续媒介,就是它的驻波一也就是那些通过空气的传播让人们听到弓弦和吉他的拨动声的振动.驻波对应于弦的特定振动,

8、它们使得弦的形状随着时间变化而伸缩一个因子特征值.和弦相关的该向量的每个分量乘上了一个依赖于时间的因子.驻波的振幅特征值在考虑到阻尼的情况下逐渐减弱.因此可以将每个特征向量对应于一个寿命,并将特征向量的概念和共振的概念联系起来.&1012aina21a22a2n上面的分析说明,如果.是线性变换人的特征值,那么福一定是矩阵A的特征多项式的一个根； 反过来,如果心是矩阵A的特征多项式在数域P中的一个根,即|oE-A|=.命题线性空间V中属于确定的特征值人的特征向量添加上零向量构成子空间.证实设耳,G是属于人的特征向量,任意k,lK,那么Ak昼+k/=kA短+lA七户k入1+l入&=

9、入k七+k&.证毕.定义线性空间V中属于确定的特征值人的特征向量添加上零向量构成子空间称为属于特征值人的特征子空间,记为 V,.设A是数域P上的一个n级矩阵,行列式是一个数字.矩阵EA的A|=ani0n2ann称为A的特征多项式,这是数域P上的一个n次多项式不变子空间：空间中的任何元素经过映射映射后,新的元素仍在这个空间里,这个空间叫做这个映射下的不变空间关于特征值,特征向量,特征向量与特征子空间的一些性质定理相似的矩阵有相同特征多项式证实设AsB,那么可逆矩阵X,有B=X1AX.于是|EB|=|EX1AX|=|X1EAX|=|X1|EA|X|=|EA|.此定理说明,线性变换的矩阵特征

10、多项式与基的选择无关,它是直接被线性变换所确定的.命题线性变换的属于不同特征值的特征向量线性无关.证实设A为V/K上的线性变换,1,2,t是两两不同的特征值,/it是属于特征子空间V,的特征向量,设kik,ktK,使得kiik22ktt.,两边用Aj作用 i1 ,于是得到方程组1j12j2tjt0,j0,1,t1其中i的方哥组成的矩阵为10两两不同,于是此矩阵的行列式非零,矩阵非退化,于是方程组只有零解,即k11k22ktt0又由于特征向量非零,那么k1k2K,那么1,2,t线性无关.证毕.推论n维空间的具有n个不同特征值的线性变换的矩阵相似于对角矩阵.证实取每个特征值的一个特征向量作为基即可

11、.tV推论设1,2,1为A的两两不同的特征值,那么为直和.证实只要证实零向量的表示法唯一即可.设012t,(iVJ,假假设某个i.,那么1,2,t线性相关,与上述命题矛盾.证毕.定理n维空间线性变换的矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件是该空间等于特征子空间的直和.证实必要性设V/K上的线性变换A在一组基1,2,n下成对角形,即,i)2(i1i)i1(i1i)i1(i2i)i2(ti)t0i两两不同,又属于不同特征值的特征向量线性无关,得j0(j1,2,i1,i1,t),即有iVi.“得证.于是VVi,必要性证毕.充分性假设K上的线性空间V可以分解成为特征子空间的直和,记号同上,那么VVVV12t

12、分别取个个特征子空间的基合并为V的一组基,那么在此组基下,A的矩阵成对角形.证毕.11diA(i,d2 r r 1I1I2,n1,2,n将d1,d2,dn中的不同的值分别记为1,2,t,相应的基向量记为j11,j12,j1s1,j21,j22,j2s2jt1,jt2%,记VLM修,G,易tVVi见,i1i1,2,tViV即可.易见,立；任取Vi,I11I22t(1),其中kljk1jk1IIiiVjk2jk2jkskjkskk两边用A作用,得到用1乘以与2相减,得到(1i)1(212这里参加代数重数与几何重数的概念：1)代数重数：假设|EA|=(Ei)ri(E2)r2(E3)r3.(En)rs

13、其中1,2,.s互不相同,并且iP, i0(i1,2,3, 123.rsn,那么称 为特征值的代数重数(12数2)几何重数：(iEA)x=0的根底解系所含的向量个数ni为特征值i的几何重数(i12.S),并且几何重数=n-秩(iEA).3)i为A的任意一个特征值,那么几何重数ni代数重数i(i1,2,.s)特征值与特征向量的计算以及不变子空间的问题例1：210B131(中国科学院)求矩阵012的本征值,本征矢量Xi,这些矢量Xi(i=1,2,3)是否为正交的？解：本征值就是特征值,本征矢量就是特征矢量.210131|EB|=012=(2)(1)(4)13B的三个特征值是12,21,34.当2时

14、,由(2EB)y得根底解系(是属于特征2的特征向量)为xi(1,0,1)(1)当1,由(EB)y0,得到属于特征值1的特征向量为X2(1,1,1).(2)当4,由(4EB)y.,得到属于特征值4的特征向量为X3(1,2,1).(3)由(1)(2)(3)可以得到X1,X2,X3是相互正交的(实际上BBR33,不同特征值之间一定是相互正交的)例2：(数学三,1993年)n阶方阵A具有n个不同特征值是A与对角矩阵相似的()(A)充分必要条件(B)充分而非必要条件(C)必要而非充分条件(D)既非充分也非必要条件答案B用排除法.比方令A=E,其中E是n阶单位阵,那么A相似于对角阵.但它的n个特征值全相同

15、.所以不是必要条件,从而否定(A),(C).再者,当A有n个不同特征值1,2.n时,它们相应的特征14向量1,n一定是线性无关,令P=n2,n,那么1P1AP.n,那么A相似于对角阵,所以是充分条件,选择B例3:中国人民大学,1992年设A,B都是n阶矩阵,E为n阶单位阵,那么下面的结论正确的选项是.一假设E-AB可逆,必有E-BA可逆例3:南开大学,2022年设V是数域P上的3维线性空间,线性变换f：VV在V的基.解2下的矩阵为2求线性变换f的特征值和特征向量：3线性变换f可否在V的奥组基下的矩阵为对角形,为什么？解2计算得到那么A有3个相同的特值123-1.代入特征方程,有11,所以A的属

16、于特征值1的线性无关特征向量为-1所以属于1的所有特征向量为k,kR.3线性变换f在V的任一组基下都不可能有对角阵,由于它只有一个线性无关的特征向量.15例4:(华中科技大学)设T是线性空间V上的线性变换,Z是V的非零向量.假设向量组Z,TZ,.Tm1z线性无关,而Tmz线性相关.证实：子空间W=L(Z,TZ,.Tm1z)是T的不变子空间,并求在该组基下的矩阵.证由于Z,TZ,.Tm1Z线性无关,而Z,TZ,.Tm1Z,TmZ线性相关,那么TmZ可由Z,TZ,.Tm1Z线性表由,是_m1TmZ=loZI1TZ.lm1TZ.那么证实W是T的不变子空间.矩阵的公共特征向量与同时三角化引理12假设

17、rank(ABBA)rank(ABBA)1,1,那么A,B至少有一个公共特征向量定理1设A,B,C分别是复数域n维线性空间V上的线性变换,A,B至少有一个公共特征向量充分必要条件是KerC,其中CABBA,A().证：必要性假设A,B至少有一个公共特征向量,不妨设A臼对应于特征向量的特征值分别是,即A(),B(),故AB()-BA()=0,又CAB-BA,所以C()0,KerC充分性假设KerC,即C()0,又由于A(),C()AB()-BA()=AB()-B(),故A(B()=B(),即16B()V,V是的B-子空间.现考虑B在V上限制的线性变换BV,那么其在复数域必存在特征值使得BV()B

18、().故是A,B一个公共特征向量.定理2设A,B,C分别是复数域n维线性空间V上的线性变换,CAB-BA,且满足KerBKerC或者ImBImC,那么A,B至少有一个公共特征向量.证：假设KerBKerC,KerB,从而KerC,即B()0,C()0那么BA()AB()C()0,从而A()KerB,即KerB是A-子空间.现考虑A在KerB上限制的线性变换AKerB,那么其在复数域必存在特征值使得AKerB()A().又B()=0,故是A,B一个公共特征向量.假设ImBImC,是特征值所对应的特征向量,即B(),从而ImB,那么V,使得B(),那么就有A()A(B()BA()C(),又BA()

19、ImB,C()ImC,那么A()ImB,即ImB是A-子空间.现考虑A在ImB上限制的线性变换AImB,那么其在复数域必存在特征值使得AImB()A().又B(),故是A,B一个公共特征向量.由上以证实的定理可以得到很多常见的结论,如下:17推论1假设CkA或者kBk为任意常数,那么A,B至少有一个公共特征向量.推论2假设C0,那么A,B至少有一个公共特征向量.唯论3假设C0,且A有r个互异的特征值,那么A,B至少有r个公共特征向量.唯论4假设n阶复数矩阵Ai1,2,m两两可交换,那么它们至少有一个公共特征向量.推论5假设A,B其中有一个是单纯矩阵,定理3设A,B均是n阶复数矩阵,那么A,B可

20、同时上三角化的充分必要条件是A,B至少有一个公共特征向量.证：充分性不妨设是一个公共特征向量,将其单位化记为扩充为复数域一组基1,2,n.设A,B关于的特征向量i特征值分别是1,1,那么有A111,B111.令P P1, ,2, , ,n,那么*.,*P11AP11,P11BP11_ABI由归纳法知,存在 n n1 1 阶矩阵 Q Q 使得*22Q1AQ,Q1B1Qnn*1,P P1BPBPnn必要性设存在可逆阵PC,使得设 P P 按列分块为 P P1, ,2, , ,n, ,上式即为那么有A111,B111,故设1是一个公共特征向量.例1北京大学1990年设A311试证实:（1）A在复数域

21、上可以对角化:（2）A在有理数域上不可对角化证1计算可得对角阵.2假设A在有理数域上可以对角化,那么A的特征值必须都是有理数,从而f的首项系数为一,从而f的有理根必定是整数根.由于f的常数项为负数八,如果f有整数根必定为正负一,正负二,正负四,正负八.用综合除法验算它们都不是f的根,所以f无有理根.从而证实了A在有理数域上是不可以对角化的.例2设A,B是实正定n阶矩阵,证实：AB是正定矩阵的充要条19181P P,贝UPUP1APAPQ用辗转相除法可以证得f,f1,在复数数域上A相似于件是AB=BA.证实必要性显然.充分性由AB是实正定n阶矩阵且AB=BA,由推论2及定理3知设存在可逆阵P,使

22、得11故P1ABP,且ii0(i1,2,n)nn即AB是正定矩阵.例3(数学一,2000年)某试验生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将六分之一熟练工支持其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐,新,老非熟练工经过培训及实践至年终考核有五分之二成为熟练工,设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为Xn和yn,记成向量XnynXn1XnXn1%(1)求1与外的关系式并且把它写成矩阵形式yn1=A%；4-11,2,一、一(2)验证11是A的两个线性无关的特征向量,并求由相应的特征值；解：由于此题的第一问与所要讨论的主题无关,故直接给由答20案,没有给由详细的解答过程,望

23、请谅解.9210513(1)A=w5是所求关系矩阵.41,1,1(2)A1对应的特征值为1=1.121对应的特征值为不同特征值的特征向量一定线性无关2对应的特征值1为2=2o由此题可以看由,特征向量在是实际的生产生活当中也有广泛的应用.特征值与特征向量的运用特征值与特征向量在物理学当中也有广泛的应用.特征值在物理学当中的应用：在方矢!阵A,其系数属于一个环的情况,入称为一个右特征值如果存在一个列向量x使得Ax=Xx,或者称为一个左特征值如果存在非零行向量y使得yA=y入.21假设环是可交换的,左特征值和右特征值相等,并简称为特征值.否那么的话,例如当环是四元数集合的时候,它们可能是不同的.假设

24、向量空间是无穷维的,特征值的概念可以推广到谱的概念.谱是标量入的集合,对于这些标量,没有定义,也就是说它们使得没有有界逆.很明显,如果人是T的特征值,入位于T的谱内.一般来讲,反过来并不成立.在希尔伯特空间或者巴拿赫空间上有一些算子完全没有特征向量.这可以从下面的例子中看到.在希尔伯特空间所有标量级数的空间,每个级数使得收敛上的双向平移没有特征向量却有谱值.在无穷维空间,有界算子的谱系总是非空的,这对无界自共辗算子也成立.通过检验谱测度,任何有界或无界的自共辗算子的谱可以分解为绝对连续,离散,和孤立局部.指数增长或者衰减是连续谱的例子,而振动弦驻波是离散谱例子.氢原子是两种谱都有由现的例子.氢原子的束缚态对应于谱的离散局部,而离子化状态用连续谱表示.特征向量-应用22特征向量-分子轨道在量子力学中,特别是在原子物理和分子物理中,在Hartree-Fock理论下,原子轨道和分子轨道可以定义为Fock算子的特征向量.相应的特征值通过Koopmans定理可以解释为电离势能.在这个情况下,特征向量一词可以用于更广泛的意义,由于Fock算子显式地依赖于轨道和它们的特征值.如果需要强调这个特点,可以称它为隐特征值方程.这样地方程通常采用迭代程序求解,在这个情况下称为自治场方法.在量子化学中,经常会把Hartree-Fock方程通过非正交基集合来表达.这个特定地表达是一个广义特征值