北京市西城区高二数学下学期期末试卷理(含解析)

1、2016-2017学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科）、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有-19 -项是符合要求的.1.复数A. 1+iB. -17C. 1+iD.2.已知函数f (x) =e x则 f (T)A.B.C. eeD. - e3.甲射击命中目标的概率为,乙射击命中目标的概率为己.现在两人同时射击目标，则目标被击中的概率是（A.B.4.已知函数确的是（A. avfD.2-1=a,则下列不等式正（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设(1) vf (2) B. f (1) v avf (2) C.(2) v f (1) v a D

2、. f (1)<f 5 .直线y=x与抛物线y=x2所围成的封闭图形的面积是（A.12B.6.用 1, 2A. 16 个 B.D.3, 4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比12个C. 9个D. 8个2000大的偶数共有（7 .函数在区间0 ,兀上的最大、最小值分别为（兀A.兀,0 B. - 一匹，a C.冗，一1 D. 0 ，8 . 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（A.总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多B.总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多C.总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D.总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题：本大题共

3、 6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9 .曲线y=1在x=2处的切线的斜率为 X10 . (2k§)4展开式中的常数项是 .11 .离散型随机变量 E的分布列为：E123ppiP2土4且 EE =2,贝U p产; p2=.12 .某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下：节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有 种.13 .若函数f (x) =ax3-ax2+x在区间(-1, 0)上恰有一个极值点，则a的取值范围是 14,已知，对于任意 xCR, ex>ax+b均成立.若a=e,则b的最大值为 在所有

4、符合题意的 a, b中，a-b的最小值为三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 .在数列an中，a1=1, %十二；J 0n十L 其中 n=1，2, 3,.(I) 计算 a2, a3, a4, a5的值；(n) 根据计算结果，猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明.16 .甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为2与p,且乙投球2次均未命中的概率为 上T.16(I )求甲投球2次，至少命中1次的概率；(n)若甲、乙两人各投球 2次，求两人共命中3次的概率.17 .已知函数 f (x) =x3+3ax2.(1) 若a= - 1,

5、求f (x)的极值点和极值;(n) 求f (x)在0 , 2上的最大值.18. 一个袋中装有黑球，白球和红球共n (nCN*)个，这些球除颜色外完全相同.已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是.现从袋中任意摸出2个球.n的值.(直接(I ) 用含n的代数式表示摸出的 2球都是黑球的概率，并写出概率最小时写出n的值)A(n) 若n=15,且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是一，设X表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量 X的分布列和数学期望.19 .已知函数 f (x) =ax2+bx 和 g (x) =lnx .(1) 若a=b=1,求证：f (x)的图象在g (x)图象的上方；(n)

6、 若f (x)和g (x)的图象有公共点 P,且在点P处的切线相同，求 a的取值范围.20 .已知函数 f (x) = (x 1) ex.(I )求f (x)的单调区间；(n)证明：当 a>0时，方程f (x) =a在区间(1, +8)上只有一个解；(出)设h(x)=f (x) - aln (x-1) - ax,其中a>0.若h(x) >0恒成立，求 a的取值2016-2017学年北京市西城区高二(下)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合要求的.1 复数f等于()A. - 1+i B.

7、 - 1 - iC. 1+i D. 1 - i【考点】A7:复数代数形式的混合运算.【分析】化简复数为a+bi (a、bCR)的形式即可.【解答】解：复数普*广一1十)故选A.2 .已知函数 f (x) =e-x,则 f ( - 1)=()A.二 B -二C. eD. - e【考点】63:导数的运算.【分析】根据题意，由函数 f (x)的解析式可得其导数 f' (x),将x=-1代入计算即可得 答案.【解答】解：根据题意，函数 f (x) =e x,则 f' (x) =- e x,贝Uf' (- 1) =-e ( "=-e;故选：D.3.甲射击命中目标的概率为

8、,乙射击命中目标的概率为.现在两人同时射击目标,则目标被击中的概率是(A.B.D.【考点】C5:互斥事件的概率加法公式.【分析】目标被击中的对立事件是甲、乙二人都没有击中，由此利用对立事件概率计算公式能求出目标被击中的概率.【解答】解：设事件A表示“甲射击命中目标”，事件B表示“乙射击命中目标”，则 P (A) =- , P (B)， 也R-J目标被击中的对立事件是甲、乙二人都没有击中，目标被击中的概率：p=1 1 P (A) 1 - P (B)_1 _ 1 x 2=1 2巴,2，目标被击中的概率是故选：C.4.已知函数f (x)在R上可导，其部分图象如图所示，设f三2-1-a则下列不等式正确

9、的是()A. avf (1) vf(2)B. f (1) vavf (2) C. f (2) vf (1) < a D. f (1)vf (2) v a【考点】6A:函数的单调性与导数的关系.【分析】根据图象和导数的几何意义即可判断.【解答】解：由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越开越大,2-17， f' ( 1) v avf' ( 2),故选：B.5 .直线y=x与抛物线y=x2所围成的封闭图形的面积是()A.12D.【考点】6G:定积分在求面积中的应用.【分析】先求曲线的交点的坐标，确定积分区间，再用定积分表示面积即可得到结论.，所求的封闭图形的面积为

10、,可得交点的坐标为（0, 0）, A （1,1）,(x-gdx吗 x2i x3)| M O故选：C6 .用1, 2, 3, 4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比 2000大的偶数共有（）A. 16 个 B. 12 个 C. 9 个 D. 8 个【考点】D8:排列、组合的实际应用.【分析】根据题意，分析可得要求四位数的首位数字必须是2、3、4中一个，据此按首位数字的不同分3种情况讨论，求出每一种情况的四位数数目，由加法原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，要求的四位数比2000大，则其首位数字必须是 2、3、4中一个，则分3种情况讨论：、首位数字为2时，其个位数字必须为 4,将1、3全排列

11、，安排在中间两个数位，有A22=2种情况，即此时有 2个比2000大的偶数，、首位数字为3时，其个位数字必须为 2或4,有2种情况，将剩下的2个数字全排列，安 排在中间两个数位，有 A22=2种情况，即此时有 2X2=4个比2000大的偶数，、首位数字为4时，其个位数字必须为 2,将1、3全排列，安排在中间两个数位，有A22=2种情况，即此时有 2个比2000大的偶数，则一共有2+4+2=8个比2000大的偶数，故选：D.7.函数,- sini在区间0 ,兀上的最大、最小值分别为（兀A.兀,0 B. -.1D. Q【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用.【分析】对函数f (x)求导数，利用导数

12、判断 f (x)的单调性，并求 f (x)在区间0 , 上的最大、最小值.【解答】解：函数f (k)二工二伍号f' (x) =1-72cosx ；令 f ' (x) =0,解得cosx= 2又 xC 0兀 x=4 .xC 0 ,)时，f'(x) V 0f (x)单调递减;xC (7U77t时，f'(x)>0,(x)单调递增;JU7sin7U7f (0) =0,(兀)=兀；一1.二函数f (x)在区间0 ,上的最大、最小值分别为故选：C.8. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是()A.总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多8 .总存在

13、一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多C.总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D.总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个【考点】F4:进行简单的合情推理.【分析】5个黑球和4个白球，5为奇数，4为偶数，分析即可得到答案.【解答】解：5为奇数，4为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多, 故选：B二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上9 .曲线y=在x=2处的切线的斜率为.【考点】62:导数的几何意义.【分析】要求函数在x=2处切线的斜率，即求在 x=2处的导数值. .J- y =，曲线在x=2处的切线的斜率为-故答案为:展开式中的常数项是24【考点

14、】DC二项式定理的应用.在二项展开式的通项公式中，令x的哥指数等于0,求出解：-二)展开式的通项公式为 Tr+i=:r的值，即可求得常数项.?24 r? (- 1) r?x"2r,令 4 - 2r=0 ,求得 r=2 ,可得常数项是24,故答案为：24 .11.离散型随机变量的分布列为:piP2且 EE =2,贝U pi =1P2= -CG离散型随机变量及其分布列.由此能求出解得仍，P2.由EE =2,利用离散型随机变量 W的分布列，列出方程组, 解：.E =2,.由离散型随机变量W的分布列，得:p1+2p2+3X2解得1P2=2故答案为:12.某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演

15、出顺序要求如下：节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有42种.【考点】D8:排列、组合的实际应用.【分析】根据题意，分析可得甲必须排在第二、三、四、五的位置，对甲的位置分种情况讨论：、若甲排在第二、三、四的位置，、若甲排在第五的位置，分别求出每一种情况下的编排方案数目，由加法原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，节目甲不能排在第一个，则甲必须排在第二、三、四、五的位置，分2种情况讨论：、若甲排在第二、三、四的位置，甲的排法有3种，由于节目甲必须和节目乙相邻，乙可以排在甲之前或之后，有2种情况，对于剩下的3个节目，进行全排列，安排在剩余的3个空

16、位中，有A33=6种情况，则此时有3 X 2 X 6=36种编排方案；、若甲排在第五的位置，甲的排法只有1种，由于节目甲必须和节目乙相邻，乙只能排在甲之前，即第四个位置，有 1种情况，对于剩下的3个节目，进行全排列，安排在前面3个空位中，有 A33=6种情况，则此时有1X 1X6=6种编排方案；则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有36+6=42种；故答案为：42 .则a的取值范围是13.若函数f (x) =ax3-ax2+x在区间(-1, 0)上恰有一个极值点,OO【考点】6D:利用导数研究函数的极值.【分析】由于函数f (x) =ax3 - ax2+x在区间(-1,0)上恰有一个极值点，所

17、以 f' ( - 1)f' (0) < 0,进而验证a= - 1与a=0时是否符合题意，即可求答案.【解答】解：由题意，f' ( x) =3ax2- 2ax+1,aw0 时，当 f' ( 1) f' ( 0) v 0即 5a+1v0 时，函数f (x)在区间(-1,0)上恰有一个极值点，解得：a< -,当 a=-1 时，f ' ( x) = - 3x2+2x+1=0,在(-1, 0)上恰有一根 x=- ,3当a=0时，f' (x) >0,函数无极值点，综上，a C ( - 0°, - g)或 a= - 1,5故

18、答案为：二)或1.514,已知，对于任意 xCR, ex>ax+b均成立.若a=e,则b的最大值为 0 ;在所有符合题意的 a, b中，a-b的最小值为 -工 .Fl【考点】3H:函数的最值及其几何意义.【分析】若a=e,可得bwex-ex恒成立，由y=ex - ex求出导数和单调区间，可得最小值，即可得到b的最大值；对于任意xC R, ex>ax+b均成立，即有bw ex-ax恒成立，由y=ex- ax求出导数和单调区 间，可得 b< a - alna ,即a - b> alna ,由f (a) =alna求出导数和单调区间， 可得最小值，即可得到a-b的最小值. 【

19、解答】解：若a=e,则对于任意xCR, ex>ex+b均成立，即为b<ex- ex恒成立，由丫=3、- ex的导数为 y' =ex - e,当x> 1时，y' > 0,函数y递增；当xv 1时，y' < 0,函数y递减.可得x=1处，函数y取得最小值，且为 0,则bW0,即b的最大值为0；对于任意xC R ex>ax+b均成立，即有b<ex- ax恒成立，由丫=3、- ax的导数为 y' =ex - a,当aw 0时，v' >0恒成立，函数y递增，无最小值；当a>0时，当x>lna时，y'

20、; >0,函数y递增；当xvlna时，y' < 0,函数y递减.可得x=lna处，函数y取得最小值，且为 a - alna ,贝U b< a- alna即 a b> alna ,由 f (a) =alna 的导数为 f' (a) =lna+1 ,可得a>上时，f' ( a) >0, f (a)递增;e0<a<时，f' ( a) <0, f (a)递减.e可得a=1-时，f (a)取得最小值-则a - b的最小值为-e故答案为：0, .e三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步

21、骤15.在数列a n中,ai=1，,其中 n=1, 2, 3,(I) 计算 a2, a3, a4, a5的值;(n) 根据计算结果，猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明.【考点】RG数学归纳法；8H：数列递推式.【分析】(I)根据题意，由数列的递推公式依次计算可得答案;(n )有(I )可以猜测：an=n2,利用数学归纳法证明可得答案.【解答】解：(I)根据题意，数列an中，ai=1则a2=1+21x ai+1=4,2+2 a3= 23+2a4= 34+2 a5=x a2+1=9,x a3+1=16,x a4+1=25,(n)有(I)可以猜测：an=n2,用数学归纳法证明:、当 n=1

22、时，ai=12=1,即n=1时，an=n2成立,、假设n=k ( k> 1)时，结论成立，即 ak=k2,n=k+1 时，ak+ixak+1= (k+1)即n=1时，结论也成立,根据可得：an=n2成立.16.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p,且乙投球次均未命中的概率为116(I )求甲投球2次，至少命中1次的概率;(n)若甲、乙两人各投球 2次，求两人共命中3次的概率.【考点】C9:相互独立事件的I率乘法公式；C5:互斥事件的概率加法公式.【分析】(I)求出甲投球 2次都没有命中的概率，再用 1减去此概率，即为所求.(n)求出甲只有一次没有命中、乙2次全部

23、命中的概率，再求出乙只有一次没有命中、甲次全部命中的概率，把这两个概率相加，即为所求.【解答】解：(I)由题意，甲投球 2次，都没有命中的概率为2故甲至少命中1次的概率为1 -(n);乙投球2次均未命中的概率为(.p)?,p)飞若甲、乙两人各投球 2次，求两人共命中 3次,则甲只有一次没有命中、乙 2次全部命中，或乙只有一次没有命中、甲2次全部命中.而甲只有一次没有命中、乙2次全部命中的概率为C?932而乙只有一次没有命中、甲2次全部命中的概率为 C；故两人共命中3次的概率为3217.已知函数 f (x) =x3+3ax2.(I) 若a= - 1,求f (x)的极值点和极值;(n) 求f (x

24、)在0 , 2上的最大值.6D：利用导数研究函数的极值.【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;【分析】(I)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可；(n)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可.【解答】解：(I) a=1 时，f (x) =x33x2,f' ( x) =3x2-6x=3x (x-2),令 f' (x) >0,解得：x>2 或 x<0,令 f ' (x) v 0,解得：0vxv2,故f (x)在(-8, 0)递增，在(0, 2)递减，在(2, +8)递增；故x=0是

25、极大值点，极大值是f (0) =0,x=2是极小值点，极小值是 f (2) =-4;(n ) f ' ( x) =3x2+6ax=3x (x+2a),a>0 时，f' ( x) >0, f (x)在0, 2递增，故 f (x) max=f (2) =12a+8;-1vav 0 时，-2v2av0,令 f' (x) >0,解得：x> - 2a,令 f ' ( x) v 0,解得：0Vx< - 2a,故f (x)在0 , - 2a)递减，在(-2a, 2递增，故 f (x) max=f (0) =0或 f (2) =12a+8;aw -

26、 1 时，2a< - 2, f (x)在0 , 2递减，故 f (x) max=f (0) =0.n (nC N*)个，这些球除颜色外完全相同.已知从袋.现从袋中任意摸出 2个球.18. 一个袋中装有黑球，白球和红球共中任意摸出1个球，得到黑球的概率是(I) 用含n的代数式表示摸出的 2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n的值.(直接写出n的值)4(n) 若n=15,且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是一，设X表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量 X的分布列和数学期望.【考点】CH4离散型随机变量白期望与方差；CG离散型随机变量及其分布列.【分析】(I)依题意有 三口5个黑球，记“

27、摸出的 2球都是黑球”为事件 A,利用排列组合知识求出P (A)=4n-l 02M-25,从而求出P (A)最小时n=5.9(n)依题意有5=6个黑球，设袋中白球的个数为 x个，记“从袋中任意摸出两个球到少得到一个白球”为事件B,由对立事件概率计算公式求出袋中红球的个数为4个，机变量X的取值为01, 2,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和EX【解答】解：(I)依题意有个黑球，记“摸出的 2球都是黑球”为事件 A,贝U P (A) =C 2=>,!< 11n(nT)4n-l 025n-25P (A)最小时 n=5.(n)依题意有=6个黑球,设袋中白球的个数为 x个,记“从袋中

28、任意摸出两个球到少得到一个白球”为事件B,贝 U P ( B) =1 母，整理，得:x2- 29x+120=0,解得x=5或x=24 (舍)，袋中红球的个数为4个，机变量X的取值为2,(X=0)11(X=1)L 15C4C11(X=2)C21 244105二市"X的分布列为:1121105235EX=L19.已知函数 f (x) =ax2+bx 和 g (x) =lnx .(I) 若a=b=1,求证：f (x)的图象在g (x)图象的上方；(n) 若f (x)和g (x)的图象有公共点 P,且在点P处的切线相同，求 a的取值范围.【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E:利

29、用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(I)令h (x) =f (x) - g (x) =x2+x - Inx ,求出导数和单调区间，可得极小值，且为最小值，判断最小值大于 0,即可得证;(n)设P的坐标为(m, n),分别求出f (x), g (x)的导数，可得切线的斜率，即有2am+b=且 n=am2+bm=lnm,消去 b, 可得IT nma二 m(m> 0),令 u ( m).1心门m(m> 0),求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求范围.【解答】解：(I)证明：若a=b=1,即有f (x) =x2+x,令 h (x) =f (x) - g (x) =x2+x - I

30、nx , hz ( x) =2x+1 - y=(2/叶1), x>0,当 x>上 时，h' (x) >0, h (x)递增；当 0vxv 时, 可得h (x)在x± 处取得极小值，且为最小值，且 h (士=h' ( x) v 0, h (x)递减.，普普-lnf >0，即有h (x) >0恒成立，则f (x)的图象在g (x)图象的上方;(n)设P的坐标为(m, n),f (x) =ax2+bx 的导数为 f' ( x) =2ax+b,g(x)=lnx 的导数为 g' (x)+可得2am+b,且 n=am2+bm=lnmx

31、2 2消去 b,可得 am+1 - 2am=lnm,1-lnra可得 a= j (m> 0),Hl1Tlim令 u (m) =2 (m> 0),-5+2Lm贝U u' ( m) =3,m当 m>e 2 时，u' ( m) > 0, u (m) 递增；当3 31可得u(nj)在m=e 了 处取得极小值，且为最小值，且u(e - )一皿 1 I贝U a ) 一子 ,2/故a的取值范围是-20.已知函数 f (x) = (x- 1)(I )求f (x)的单调区间；(n)证明：当 a>0时，方程(出)设 h (x) =f (x) aln,+°°).ex.f (x) =a在区间(1, +8)上只有一个解；(x - 1) - ax,其中a>0.若h (x) > 0恒成立，求a的取值范围.【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值；6B:利用导数研究函数的单调性.【分析】