高一数学均值不等式人教实验B版知识精讲

1、高一数学均值不等式人教实验B版【本讲教育信息】一、教学内容：均值不等式二、学习目标1. 掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，并会简单运用；2. 利用不等式求最值时要注意到“一正”“二定”“三相等”. 三、知识要点1、算术平均数：如果，那么叫做这两个正数的算术平均数。2、几何平均数：如果，那么叫做这两个正数的几何平均数。3、定理：如果，那么（当且仅当a=b时取“=”号）4、均值定理：如果，那么（当且仅当a=b时取“=”号）5、基本不等式：若，则当且仅当a=b时取“=”号【典型例题】例1、若，试比较P，Q，R的大小。解：，即Q又，即例2、已知且a+b=1求证：证一：证二：因为且a+b=

2、1，所以，例3、已知a，b为实常数，求函数的最小值。解：另解： 当且仅当x-a=b-x，即时，例4、（1）设，求的最大值。（2）已知，求函数的最大值。解：（1） 当即时，（2）当且仅当，即x=1时“=”成立当x=1时例5、已知为正数，若，求的最小值；（2）若，求证：。解：（1） 当且仅当时，上式取等号，所以的最小值为（2）当且仅当时，上式取等号例6、某客运公司买了每辆万元的大客车投入运营，根据调查得知，每辆客车每年客运收入约为万元，且每辆客车第年的油料费、维修费及其他各种管理费用总和（万元）与年数成正比，又知第3年每辆客车的上述费用是该年客运收入的48%。（1）写出每辆客车运营的总利润y（万元

3、）与n的函数表达式；（2）每辆客车运营多少年可使其运营的年平均利润最大？解：（1）根据第n年的各种费用总和P（n）与年数n成正比，设P（n）=kn，k为常数 第3年费用是该年客运收入的48%，则 ，得 运营的总利润 ，（2）运营的年平均利润为当且仅当时成立，即时取等号 运营5年可使其运营的年平均利润最大且最大值为本讲涉及的主要数学思想方法1、注意均值定理的应用条件，在解决问题的过程中注重分类讨论的使用。2、于实际问题中，要建立好数学模型，注重等价转化思想的运用，在实际问题中注意各个量的取值范围。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1、设则下列各式中正确的是 （ ）A. B. C. D.

4、 2、下列不等式的证明过程正确的是 （ ）A. 若则 B. 若，则C. 若则 D. 若则3、设实数满足且则下列四数中最大的是 （ ）A. B. C. D. *4、已知那么的最大值为 （ ）A. B. C. D. *5、设为实数且则的最小值是 （ ）A. B. C. D. 6、设，则在 ； （2） （3）； （4）这四个不等式中，不正确的有 （ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个二、填空题*7、若，且，则的最大值为 。 8、函数（）的最小值为 。*9、设，且，则取最小值时，的值是 。三、解答题*10、已知a，b，c为不等的正数，且abc=1，求证：11、求的最小值。12、某食品厂

5、定期购买面粉。已知该厂每天需用面粉6t，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元。（1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？（2）若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210t时，其价格可享受9折优惠（即原价的90%），问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由。【试题答案】1、A 2、D 3、A 4、B 5、B 6、B 7、 8、 9、210、证明： a，b，c为不等的正数，且abc=1所以11、解： 设（） 当时，即时，12、解：（1）设该厂应每隔天购买一次面粉，其购买量为由题意知，面粉的保管等其他费用为设平均每天所支付的总费用为元，则当且仅当，即时取等号，即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少。（2）若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉设