高中数学北师大版选修4-4：第一章 坐标系

1、第一章 坐标系§1平面直角坐标系11平面直角坐标系与曲线方程12平面直角坐标轴中的伸缩变换课标解读1.理解平面直角坐标系的作用2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况3.了解平面直角坐标系中直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等各种图形的代数表示.1平面直角坐标系与点的坐标在平面直角坐标系中，对于任意一点，都有唯一的有序实数对(x，y)与之对应；反之，对于任意的一个有序实数对(x，y)，都有唯一的点与之对应即在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的2平面直角坐标系与曲线方程曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，由此我们可借助平面直角坐标系，研究曲线与方程间的关系在

2、平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解；(2)以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上那么，方程f(x，y)0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x，y)0的曲线这样，我们就可以通过建立适当的平面直角坐标系，应用方程来表示许多常见的曲线，如直线的方程、圆的方程、椭圆的方程等. 3平面直角坐标系中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度，将会对图形产生影响1ABC的三个顶点是A(3,0)，B(3,0)，C(0,3)，则中线CO(O为坐标原点)的方程是x0吗？【提

3、示】因为中线CO是一条线段，而并非一条直线，所以其方程为x0(0y3)，而非x0.2如何建立适当的平面直角坐标系？【提示】如果图形有对称中心，选对称中心为坐标原点；如果图形有对称轴，选对称轴为坐标轴；使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴上；如果是圆锥曲线，所建立的平面直角坐标系应使曲线方程为标准方程3如果x轴的单位长度保持不变，y轴的单位长度缩小为原来的，圆x2y24的图形变为什么图形？伸缩变换可以改变图形的形状吗？那平移变换呢？【提示】x2y24的图形变为椭圆：y21.伸缩变换可以改变图形的形状，但平移变换仅改变位置，不改变它的形状.利用平面直角坐标系确定位置由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙

4、综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航某日，甲舰在乙舰正东6千米处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4千米某时刻甲舰发现商船的某种求救信号由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？【思路探究】本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A、B、C表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解【自主解答】设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3,0

5、)，B(3,0)，C(5,2)|PB|PC|，点P在线段BC的垂直平分线上kBC，线段BC的中点D(4，)，直线PD的方程为y(x4)又|PB|PA|4，点P在以A、B为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为1(x2)联立，解得P点坐标为(8,5)kPA.因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.1由于A、B、C的相对位置一定，解决问题的关键是：如何建系，将几何位置量化，根据直线与双曲线方程求解2运用坐标法解决实际问题的步骤：建系设点列关系式(或方程)求解数学结果回答实际问题已知某荒漠上有两个定点A、B，它们相距2 km，现准备在荒漠上开垦一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照

6、规划，围墙总长为8 km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少？(2)该荒漠上有一条水沟l恰好经过点A，且与AB成30°的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问：暂不加固的部分有多长？【解】(1)设平行四边形的另两个顶点为C、D，由围墙总长为8 km得|CA|CB|4>|AB|2，由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长2a4，焦距2c2的椭圆(去除落在直线AB上的两点)以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点C的轨迹方程为1(y0)易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形A

7、BCD的面积最大，则C、D为此椭圆短轴的端点，此时，面积S2(km2)(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆1(y0)内，故暂不需要加固水沟的长就是直线l：y(x1)被椭圆截得的弦长，如图因此，由13x28x320，那么弦长|x1x2|·，故暂不加固的部分长 km.建立适当平面直角坐标系 求曲线方程图111如图111，四边形MNPQ是圆C的内接等腰梯形，向量与的夹角为120°，·2.(1)求圆C的方程；(2)求以M、N为焦点，过点P、Q的椭圆方程【思路探究】建立适当的平面直角坐标系，准确确定定点坐标，分别用待定系数法求圆C和椭圆方程【自主解答】(1)建立如图所示的平

8、面直角坐标系，由题意得：CQM为正三角形·r2·cos 60°2，圆C的半径为2.又圆心为(0,0)，圆C的方程为：x2y24.(2)由(1)知M(2,0)，N(2,0)，Q(1，)，2a|QN|QM|22，a1，c2，b2a2c22，椭圆方程为：1.解决此类问题的关键是根据题目条件，充分利用其中垂直、对称等关系建立适当的平面直角坐标系，然后再根据轨迹(曲线)条件选用求曲线方程的待定系数法或定义法或直接法或相关点(代入)法或参数法求解如图112所示，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得|

9、PM|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程图112【解】如下图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O1(2,0)，O2(2,0)设P(x，y)，则|PM|2|PO1|2|MO1|2(x2)2y21.同理，|PN|2(x2)2y21.|PM|PN|，即|PM|22|PN|2，即(x2)2y212(x2)2y21，即x212xy230，即动点P的轨迹方程为(x6)2y233.平面直角坐标系中的伸缩变换 及其应用在下列平面直角坐标系中，分别作出1的图形(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2

10、倍；(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍【思路探究】先按要求改变x轴或y轴的单位长度，建立平面直角坐标系，再在新坐标系中作出图形【自主解答】(1)建立平面直角坐标系使x轴与y轴具有相同的单位长度，则1的图形如图.(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，则1的图形如图.(3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，则1的图形如图.1在平面直角坐标系中，改变x轴或y轴的单位长度会对图形产生影响，本题(2)中即为的伸缩变换，本题(3)中即为的伸缩变换2一般地，在平面直角坐标系中，经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线，双曲线伸缩后仍为双曲线，抛物线伸缩后

11、仍为抛物线，而椭圆伸缩后可能是椭圆或圆本例中，1不变，试在下列平面直角坐标系中，分别作出其图形(1)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍【解】(1)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，则1的图形如图.(2)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，则1的图形如图.(教材第7页习题11A组第3题)已知ABC的顶点坐标是A(2,3)，B(5,3)，C(2,7)，求A的平分线长及其所在直线的方程(2012·陕西高考)已知椭圆C1：y21，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率(1)求椭圆C2的

12、方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，2，求直线AB的方程【命题意图】本题考查椭圆的简单性质及向量在直线与椭圆综合题中的应用，考查转化化归能力及运算求解能力【解】(1)由已知可设椭圆C2的方程为1(a>2)，其离心率为，故，解得a4.故椭圆C2的方程为1.(2)法一A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x.将ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x.又由2，得x4x，即，解得k±1.故直线AB的方程为

13、yx或yx.法二A、B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A、B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x.由2，得x，y.将x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k±1.故直线AB的方程为yx或yx.1曲线C的方程为yx(1x5)，则下列四点中在曲线C上的是()A(0,0)B(，)C(1,5) D(4,4)【解析】将答案代入验证知D正确【答案】D2直角坐标系中到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是()A|x|y|1 B|xy|1C|x|y|1 D|x±y|1【解

14、析】由题知C正确【答案】C3将圆x2y21经过伸缩变换后的曲线方程为_【解析】由得代入到x2y21，得1.变换后的曲线方程为1.【答案】14(2013·陕西高考改编)已知动点M(x，y)到直线l：x4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍求动点M的轨迹C的方程；【解析】如图，设点M到直线l的距离为d，根据题意，d2|MN|，由此得|4x|2，化简得1，动点M的轨迹C的方程为1.一、选择题1ABCD中三个顶点A，B，C的坐标分别是(1,2)，(3,0)，(5,1)，则顶点D的坐标是()A(9，1)B(3,1)C(1,3) D(2,2)【解析】由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出

15、D点坐标设D点坐标为(x，y)，则即故D点坐标为(1,3)故应选C.【答案】C2方程(x24)2(y24)20表示的图形是()A两条直线 B四条直线C两个点 D四个点【解析】由方程得：解得或或或故选D.【答案】D3(2013·南阳模拟)在同一平面直角坐标系中，将曲线ycos 2x按伸缩变换后为()Aycos x By3cosxCy2cosx Dycos 3x【解析】由得代入ycos 2x，得cos x.ycos x，即曲线ycos x.【答案】A4(2012·辽宁高考)将圆x2y22x4y10平分的直线是()Axy10 Bxy30Cxy10 Dxy30【解析】因为圆心是(1

16、,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.【答案】C二、填空题5x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍的平面直角坐标系中，以原点为圆心，4为半径的圆的图形变为_【解析】如果x轴的单位长度不变，y轴的单位长度缩小为原来的，圆x2y216的图形变为中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆【答案】椭圆6如图113所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AMAB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是_图113【解析】过P作PQAD于Q，再过Q作QHA1D1于H，连结PH、PM，可证PHA1

17、D1，设P(x，y)，由|PH|2|PM|21，得x21(x)2y21，化简得y2x.【答案】y2x三、解答题7台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，求城市B处于危险区内的时间【解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B点坐标为(40,0)，以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x40)2y2302，台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线yx，与圆B相交于点M，N，点B到直线yx的距离d20.求得|MN|220(km)所以1，所以城市B处于危险区内的时间为1 h.

18、8A为定点，线段BC在定直线l上滑动已知|BC|4，A到l的距离为3，求ABC的外心的轨迹方程【解】建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，A点在y轴上(如右图)，则A点的坐标为(0,3)设外心P点的坐标为(x，y)P在BC的垂直平分线上，B(x2,0)，C(x2,0)P也在AB的垂直平分线上，|PA|PB|，即.化简得x26y50.这就是所求的轨迹方程9学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验设计方案如图114，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M(0，)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8,0)观测点A(4,

19、0)，B(6,0)图114(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x轴上方时，航天器离观测点A，B分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？【解】(1)设曲线方程为yax2， 点D(8,0)在抛物线上，a，曲线方程为yx2.(2)设变轨点为C(x，y)，根据题意可知得4y27y360.y4或y(舍去)，y4.得x6或x6(舍去)C点的坐标为(6,4)，|AC|2，|BC|4.所以当航天器离观测点A，B的距离分别为2，4时，应向航天器发出变轨指令教师备选10已知A(1,0)，B(1,0)，圆C：(x3)2(y4)24，在圆C上是否分别存在一点P，使|PA|2|PB|2取得

20、最小值与最大值？若存在，求出点P的坐标及相应的最值；若不存在，请说明理由【解】假设圆C上分别存在一点P使|PA|2|PB|2取得最小值和最大值，则由三角形的中线与边长的关系式得|PA|2|PB|22(|PO|2|AO|2)2|PO|22，可见，当|PO|分别取得最小值和最大值时，相应地|PA|2|PB|2分别取得最小值与最大值设直线OC分别交圆C于P1，P2，则|P1O|最小，|P2O|最大，如图所示由已知条件得|OC|5，r2，于是|P1O|OC|r523，|P2O|OC|r527，所以|PA|2|PB|2的最小值为2×32220，最大值为2×722100.下面求P1，P

21、2的坐标：直线OC的方程为yx，由消去y并整理得25x2150x9×210，(5x9)(5x21)0，解得x1，x2，或P1(，)，P2(，)为所求§2极坐标系21极坐标系的概念课标解读1.了解极坐标系的概念2.理解点的极坐标的不唯一性3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置.1极坐标系的概念图121如图121所示，在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)这样就确定了一个平面极坐标系，简称极坐标系2极坐标的概念对于平面内任意一点M，用表示线段OM的长，表示以Ox为始边、OM为终边的角度，叫作点M的极径，叫

22、作点M的极角，有序实数对(，)叫作点M的极坐标，记作M(，). 特别地：当点M在极点时，它的极径0，极角可以取任意值3点与极坐标的关系一般地，极坐标(，)与(，2k)(kZ)表示同一个点，特别地：极点O的坐标为(0，)(R)和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示如果规定0，02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(，)表示；同时，极坐标(，)表示的点也是唯一确定的1建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】建立极坐标系的要素是(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角的始

23、边是极轴，它的终边随着的大小和正负而取得各个位置；的正方向通常取逆时针方向，的值一般是以弧度为单位的量数；点M的极径表示点M与极点O的距离|OM|，因此0.但必要时，允许0.2为什么点的极坐标不唯一？【提示】根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2的整数倍，所以点(，)还可以写成(，2k)(kZ)；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(，)的坐标还可以写成(，2k)(kZ)3试探究M(，)关于极轴、极点及过极点且垂直于极轴的直线的对称点坐标【提示】(，)关于极轴的对称点为(，2)，关于极点的对称点为(，)，关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为(，)

24、.根据点的位置确定点的极坐标设点A(2，)，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直线l，极点的对称点的极坐标(限定>0,0<2)【思路探究】欲写出点的极坐标，首先应确定和的值【自主解答】如图所示，关于极轴的对称点为B(2，)关于直线l的对称点为C(2，)关于极点O的对称点为D(2，)四个点A，B，C，D都在以极点为圆心，2为半径的圆上1点的极坐标不是唯一的，但若限制>0,0<2，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的2写点的极坐标要注意顺序：极径在前，极角在后，不能颠倒顺序若使正六边形的一个顶点为极点，极轴通过它的一边，试求正六边形各顶点的坐标【解】建立如

25、图所示的极坐标系，则正六边形各顶点的坐标为：A(0,0)，B(a,0)，C(a，)，D(2a，)，E(a，)，F(a，).由极坐标确定点的位置在极坐标系中，作出以下各点：A(4,0)，B(3，)，C(2，)，D(3，)【思路探究】建立极坐标系作出极角的终边以极点O为圆心，以极径为半径分别画弧点的位置【自主解答】如图，A，B，C，D四个点分别是唯一确定的由极坐标确定点的位置的步骤：取定极点O；作方向为水平向右的射线Ox为极轴；以极点O为顶点，以极轴Ox为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox确定出极角的终边；以极点O为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置在同一个极坐标系中，画出

26、以下各点：A(1，)，B(2，)，C(3，)，D(4，)【解】如图所示极坐标系的实际应用某大学校园的部分平面示意图如图122所示图122用点O、A、B、C、D、E、F分别表示校门、器材室、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标(限定0,02且极点为(0,0)【思路探究】解答本题先选定极点作极轴，建立极坐标系，再求出各点的极径和极角，即可得出各点的极坐标【自主解答】以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示由|OB|600 m，AOB30°，OAB90°，得|AB|300 m，|OA|300 m，同样求得

27、|OD|2|OF|300m，所以各点的极坐标分别为O(0,0)，A(300，0)，B(600，)，C(300，)，D(300，)，E(300，)，F(150，)在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范围的不同，点的极坐标的表示也会不同，只有在0，0,2)的限定条件下，点的极坐标才是唯一的(1)若A(3，)，B(5，)，O为极点，求AOB的面积；(2)在极坐标系中，A(2，)与B(3，)，求A、B两点间的距离【解】(1)SAOB×|3×5×sin()|.(2)A、B在极坐标系中的位置如图：则|AB|5.(教材第18页习题12A组第2题)在极坐标系中，已知A(

28、，)，B(，)，C(，)，D(，)，则点A和B、C和D分别有怎样的相互位置关系？(2013·福州模拟)如图123，如果对点的极坐标定义如下：点M(，)(0，R)，关于极点O的对称点M(，)例如，M(3，)关于极点O的对称点M(3，)，也就是说(3，)与(3，)表示同一点图123已知点A的极坐标是(6，)，分别在下列给定条件下，写出点A关于极点O的对称点A的极坐标：(1)0，；(2)0,02；(3)0，20.【命题意图】本题以极坐标系中点的对称为载体，主要考查极坐标系中点的极坐标的确定，同时考查应用极坐标系解决问题的能力【解】如图所示，|OA|OA|6，xOA，xOA，即A与A关于极点

29、O对称，由极坐标的定义知(1)当0，时，A点的坐标为(6，)；(2)当0,02时，A点的坐标为(6，)；(3)当0，20时，A点的坐标为(6，).1在极坐标系中与点P(2，)表示同一点的是()A(2，)B(2，)C(2, ) D(2，)【解析】在极坐标系中将点P确定，再逐个验证知C正确【答案】C2点P(2，)关于极轴的对称点的极坐标为()A(2，) B(2，)C(2，) D(2，)【解析】在极坐标系中确定点P位置，再作出其关于极轴的对称点P知D正确【答案】D3(2013·南阳模拟)关于极坐标系的下列叙述：极轴是一条射线；极点的极坐标是(0,0)；点(0,0)表示极点；点M(4，)与点

30、N(4，)表示同一个点其中，叙述正确的序号是_【解析】设极点为O，极轴就是射线Ox，正确；极点O的极径0，极角是任意实数，极点的极坐标应为(0，)，错误；给定极坐标(0,0)，可以在极坐标平面内确定唯一的一点，即极点，正确；点M与点N的极角分别是1，2，二者的终边互为反向延长线，错误【答案】4已知边长为2的正方形ABCD的中心在极点，且一组对边与极轴Ox平行，求正方形的顶点的极坐标(限定0,02)【解】如图所示，由题意知|OA|OB|OC|OD|，xOA，xOB，xOC，xOD.正方形的顶点坐标分别为A(，)，B(，)，C(，)，D(，)一、选择题1在极坐标系中，点M(2，)的位置 ，可按如下

31、规则确定()A作射线OP，使xOP，再在射线OP上取点M，使|OM|2B作射线OP，使xOP，再在射线OP上取点M，使|OM|2C作射线OP，使xOP，再在射线OP的反向延长线上取点M，使|OM|2D作射线OP，使xOP，再在射线OP上取点M，使|OM|2【解析】当0时，点M(，)的位置按下列规定确定：作射线OP，使xOP，在OP的反向延长线上取|OM|，则点M就是坐标(，)的点，故选B.【答案】B2若120，12，则点M1(1，1)与点M2(2，2)的位置关系是()A关于极轴所在直线对称B关于极点对称C关于过极点垂直于极轴的直线对称D关于过极点与极轴成角的直线对称【解析】因为点(，)关于极轴

32、所在直线对称的点为(，)，由此可知点(1，1)和(2，2)满足120，12，是关于极轴所在直线对称，故选A.【答案】A3(2013·商丘模拟)在极坐标系中，已知A(2，)、B(6，)，则OA、OB的夹角为()A.B0C. D.【解析】如图所示，夹角为.【答案】C4在极坐标系中，若等边ABC的两个顶点是A(2，)，B(2，)，那么顶点C的坐标可能是()A(4，) B(2，)C(2，) D(3，)【解析】如图，由题设，可知A，B两点关于极点O对称，即O是AB的中点又|AB|4，AOC，C对应的极角为或，即C点的极坐标可能为(2，)或(2，)，故应选B.【答案】B二、填空题5点M(6，)到

33、极轴所在直线的距离为_【解析】依题意，点M(6，)到极轴所在的直线的距离为d6×sin3.【答案】36已知极坐标系中，极点为O,02，M(3，)，在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为_【解析】如图所示，|OM|3，xOM，在直线OM上取点P，Q，使|OP|7，|OQ|1，显然有|PM|OP|OM|734，|QM|OM|OQ|314.点P，Q都满足条件且xOP，xOQ.【答案】(7，)或(1，)三、解答题7在极坐标系中作下列各点，并说明每组中各点的位置关系(1)A(2,0)、B(2，)、C(2，)、D(2，)、E(2，)、F(2，)、G(2，)；(2)A(0，)、B(1，)、C(

34、2，)、D(3，)、E(3，)【解】(1)所有点都在以极点为圆心，半径为2的圆上(2)所有点都在与极轴的倾斜角为，且过极点的直线上8已知A、B两点的极坐标分别是(2，)、(4，)，求A、B两点间的距离和AOB的面积【解】求两点间的距离可用如下公式：|AB| 2.SAOB|12sin(12)|2×4×sin()|×2×44.9已知ABC三个顶点的极坐标分别是A(5，)，B(5，)，C(4，)，试判断ABC的形状，并求出它的面积【解】C(4，)，AOB，且|AO|BO|，所以AOB是等边三角形，|AB|5，|BC| ，|AC| ，|AC|BC|，ABC为等腰

35、三角形，AB边上的高为45×，SABC×5×.教师备选10在极坐标系中，B(3，)，D(3，)，试判断点B，D的位置是否具有对称性，并求出B，D关于极点的对称点的极坐标(限定>0，0,2)【解】由B(3，)，D(3，)，知|OB|OD|3，极角与的终边关于极轴对称所以点B，D关于极轴对称设点B(3，)，D(3，)关于极点的对称点分别为E(1，1)，F(2，2)，且123.当0,2)时，1，2，E(3，)，F(3，)为所求.2.2点的极坐标与直角坐标的互化课标解读1.了解极坐标系与直角坐标系的联系2.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别3.能进行

36、极坐标和直角坐标的互化.1互化的前提条件图124把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图124所示2互化公式设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)(0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M直角坐标(x，y)极坐标(，)互化公式2x2y2 tan (x0)在一般情况下，由tan 确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角1联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么？【提示】任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带事实上，若0，sin ，cos ，所以xcos ，ysin ，

37、2|OM|2x2y2，tan (x0)2将直角坐标化为极坐标时如何确定和的值？【提示】由2x2y2求时，不取负值；由tan (x0)确定时，根据点(x，y)所在的象限取得最小正角当x0时，角才能由tan 按上述方法确定当x0时，tan 没有意义，这时又分三种情况：(1)当x0，y0时，可取任何值；(2)当 x0，y0时，可取；(3)当x0，y0时，可取.化极坐标为直角坐标分别把下列点的极坐标化为直角坐标：(1)(2，)；(2)(3，)；(3)(4，)；(4)(4，)【思路探究】点的极坐标(，)xcos ，ysin 点的直角坐标(x，y)【自主解答】(1)xcos 2cos，ysin 2sin1

38、.点的极坐标(2，)化为直角坐标为(，1)(2)xcos 3cos0，ysin 3sin3.点的极坐标(3，)化为直角坐标为(0,3)(3)xcos 4cos2，ysin 4sin2.点的极坐标(4，)化为直角坐标为(2,2)(4)cos ，sin ，xcos 4cos()4cos，ysin 4sin()4sin.点的极坐标(4，)化为直角坐标为( ，)1点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：极点与直角坐标系的原点重合；极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；两种坐标系的长度单位相同2将点的极坐标(，)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵

39、活运用三角恒等变换公式是关键(2013·洛阳质检)把下列各点的极坐标化为直角坐标，并判断所表示的点在第几象限(1)(2，)；(2)(2，)；(3)(2，)；(4)(2，2)【解】(1)由题意知x2cos2×()1，y2sin2×().点(2，)的直角坐标为(1，)，是第三象限内的点(2)x2cos 1，y2sin ，点(2，)的直角坐标为(1，)，是第二象限内的点(3)x2cos()1，y2sin()，点(2，)的直角坐标为(1，)，是第四象限内的点(4)x2cos (2)2cos 2，y2sin(2)2sin 2.点(2，2)的直角坐标为(2cos 2，2sin

40、 2)，是第三象限内的点.化直角坐标为极坐标分别将下列点的直角坐标化为极坐标(0,02)(1)(1,1)；(2)(，1)【思路探究】直角坐标(x，y)极坐标(，)【自主解答】(1)，tan 1，0,2)，点(1,1)在第二象限，直角坐标(1,1)化为极坐标为(，)(2)2，tan ，0,2)，点(，1)在第三象限，直角坐标(，1)化为极坐标为(2，)将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(，)时，运用公式，tan (x0)即可在0,2)范围内，由tan (x0)求时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限如果允许R，再根据终边相同的角的意义，表示为2k，kZ即可分别将下列点的直角坐标化为极坐标

41、，(0，R)(1)(2,2)；(2)(，)【解】(1)4，tan ，R，由于点(2,2)在第二象限，2k，(kZ)点(2,2)化为极坐标为(4，2k)，(kZ)(2)2，tan ，R.由于点(，)在第四象限，所以2k，(kZ)点的直角坐标(，)化为极坐标为(2，2k)，(kZ).互化公式的综合应用在极坐标系中，如果A(2，)，B(2，)为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标(>0，02)【思路探究】解答本题可以先利用极坐标化为直角坐标，再根据等边三角形的定义建立方程组求解；也可以直接利用极坐标根据余弦定理求解【自主解答】法一利用坐标转化对于点A(2，)，有2，xcos 2cos，

42、ysin 2sin，点A的坐标为(，)对于B(2，)，有2，x2cos，y2sin.点B的坐标为(，)设点C的直角坐标为(x，y)，由于ABC为等边三角形，故有|BC|AC|AB|.(x)2(y)2(x)2(y)2()2()2.即得yx. 代入化简得x26，x±，解得或点C的直角坐标为(，)或(， )2，tan 1，或.点C的极坐标为(2，)或(2，)法二设点C的极坐标为(，)(0<2，>0)则有|AB|BC|AC|.由余弦定理得即并化简得212，由于>0，解得2，再代入得cos()0，k，kZ，k，kZ，由于0<2，令k0,1分别得或，点C的极坐标为(2，)

43、或(2，)本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等边三角形的意义和性质结合几何图形可知，点C的坐标有两解，设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键本题运用了坐标平面内两点间的距离公式：(1)如果已知点的直角坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么|AB|；(2)如果已知点的极坐标A(1，1)，B(2，2)，那么|AB|本例中，如果点的极坐标仍为A(2，)，B(2，)，且ABC为等腰直角三角形，如何求直角顶点C的极坐标与该三角形的面积？【解】法一利用坐标转化对于点A(2，)，直角坐标为(，)，点B(2，)的直角坐标为(，)设点C的直角坐标为(x，y)，由题意得ACBC，且|AC

44、|BC|，A·B0，即(x，y)·(x，y)0，(x)(x)(y)(y)0，x2y24.又|AC|2|BC|2，于是(x)2(y)2(x)2(y)2，即yx，代入得x22，解得x±，或点C的直角坐标为(，)或(，)2，tan 1，或，点C的极坐标为(2，)或(2，)SABC|AC|BC|AC|2×84.法二设点C的极坐标为(，)(0,02)，|AB|2|OA|4，C，|AC|BC|，|AC|BC|2，即化简得24，由0得2，代入得cos()0，k，kZ，即k，kZ，又02，令k0,1，得或，点C的极坐标为(2，)或(2，)，SABC|AC|BC|AC|2

45、×84.(教材第12页练习第2题)把下列点的直角坐标化成极径是正值，极角在0到2之间的极坐标：A(1，1)，B(4，4)，C(，1)，D(0,4)(2013·宝鸡质检)已知点P在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，则当>0，0,2)时，点P的极坐标为_【命题意图】主要考查直角坐标与极坐标的互化【解析】点P(x，y)在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2.x2，且y2.2.又tan 1，且0,2).因此，点P的极坐标为(2，)【答案】(2，)1点A的极坐标是(2，)，则点A的直角坐标为()A(1，)B(，1)C(，1) D(，1)【解析】xcos 2cos2c

46、os2×，ysin 2sin2sin2×1，A(，1)为所求【答案】C2(2013·周口质检)点M的直角坐标为(0，)，则点M的极坐标可以为()A(，0) B(0，)C(，) D(，)【解析】，且，M的极坐标为(，)【答案】C3极坐标为(3,3)的点在直角坐标系的()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【解析】因为3，3(，)，xcos 0，ysin 0，所以极坐标为(3,3)的点在直角坐标系的第二象限【答案】B4将直角坐标P(1，)化为极坐标(0,02)【解】2，tan ，由于点P(1，)在第三象限，所以，直角坐标P(1，)化为极坐标为(2，).一、选择

47、题1将极坐标(2，)化为直角坐标为()A(0,2)B(0，2)C(2,0) D(2,0)【解析】xcos 2cos0，ysin 2sin2，(2，)化为直角坐标为(0，2)故应选B.【答案】B2(2013·新乡模拟)在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，)若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是()A(2，) B(2，)C(1，) D(2，)【解析】极径2，极角满足tan ，点(1，)在第四象限，所以.【答案】A3设点P对应的复数为33i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为()A(3，) B(3，)C(3，) D(3，)【解析】复数33i对应的点P的坐标为P(3,3)，3，tan 1.又点(3,3)在第二象限，故其极坐标为(3，)【答案】A4在极坐标系中，两点P(2，)和Q(2，)，则PQ的中点的极坐标是()A(2，) B(2，)C(1，) D(1，)【解析】先化直角坐标，再化为极坐标P(2，)，P(1，)Q(2，)，Q(3，)中点M的直角坐标为(1，)2(1)2()24，2.tan ，.中点M的