高考数学常见题型解法归纳反馈训练第84讲二项式定理的应用

1、第84讲二项式定理的应用【知识要点】1、二项式定理：(a b)n C：an C：an1b C；an 2b2C；an rbrC；bn项数：展开式中总共有(n 1)项，而不是n项；顺序：注意正确选择a, b,其顺序不能更改.(a b)n与(b a)n是不同的；指数：a的指数从n逐项减到0,是降哥排列.b的指数从0逐项减到n,是升哥排 列.各项的次数和等于 n.2、二项式通项公式：Tr i Cnanrbr (r 0,1,2, ,n)(1)它表示的是二项式的展开式的第r 1项，而不是第r项；(2)其中C：叫二项式展开式第r 1项的二项式系数，而二项式展开式第r 1项的系数是字母哥前的常数；(3)注意

2、r 0,1,2, ,n.3、二项式展开式的二项式系数的性质(1)对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等.即Cm=Cnm.(2)增减性和最大值：在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，如果二项式的哥指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的哥指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大 .(3)所有二项式系数的和等于2n ,即Cn0C：CnCnn13奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即CnCn C：C1 C3 C；2n4、二项展开式的系数 a0,a1,a2,a3,an的性质:r 一一、2对于 f(x) a0 a1x a2xngo

3、g anX aoa1a2a3anf(1),a0a a2a3(1)nanf( 1)5、证明组合恒等式常用赋值法6、二项式系数展开式的系数最大项和二项式系数最大项(1)二项式系数的最大项：如果二项式的哥指数 n是偶数时,n则中间一项的二项式系数Cn2取得最大值.如果二项式的哥指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数c；, cn同时取得最大值（2）系数的最大项：求（a bx）n展开式中最大的项， 一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A1,A2, ,Ani,设第r 1项系数最大，应有Ar 1A 1A,从而解出r来.A 2【方法讲评】应用一利用通项公式求xn的系数解题方法直接代二项式展开式的通项，

4、再化简.【例1】在二项式（41 板2）n的展开式中倒数第 3项的系数为45,求含有X3的项的系数?【解析】由条件知CT工二45,即。；=45,，一网一9。=0,解得小二一9（舍去）或打二10,由（好）,=GA 4由题意一野： + ：=工解得1=6, 43则含有Y的项是第7项看= 210城，系数为210 .【点评】（1）要理解二项式的展开式的系数的定义，它指的是除去xn,剩下的所有部分，而二项式的系数则指的是通项里的组合数.（2）二项式的展开式的通项化简时，要注意指数运算的性质的准确运用.【反馈检测1】已知（JX VX）n的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512.（1）求展开式的所有有理项（指

5、数为整数）；（2）求（1 x）3 （1 X）4（1 x）n展开式中X2项的系数.应用二求二项式展开式的有理数项解题方法先求二项式的展开式的通项，再化简，再令x的指数为整数解答.【例2】求二项式（G 37）9展开式中的有理项【解析】二i=G(£产(-)(-iyc工-，令eZ, (0<r<9)fflr = 3或广=9 ,所以当产=3时，与工=4, r4=(-iyc?x4=-84x6当 =9 时，22sT = 3j 0 = (7)七次-上6【点评】有理项指的是 x的指数为整数，可以是正整数，也可以是负整数和零【反馈检测2】已知124 xn的展开式中的二项式系数之和为256 .(

6、D证明：展开式中没有常数项；(n)求展开式中所有有理项应用三求二项式展开式的系数最大的项和二项式系数最大的项解题方法(1)二项式系数的最大项：如果二项式的哥指数n是偶数时，则中间一项的二项式系n数cn2取得最大值.如果二项式的哥指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数n 1n 1cn2 , cn2同时取得最大值.(2)系数的最大项：求(a bx)展开式中最大的项， 一般采用待定系数法.设展开式中J 一一“八 r,、，Ar 1 Ar一 一各项系数分别为 A, A2, , An 1 ,设第r 1项系数最大，应有，从而解Ar 1 Ar 2出r来.n1【例3】已知二项式 一2x .2(1)若展开式中第5

7、项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项 的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.【解析】m。：+C： = 2C3解得斯=7或m = 14,当网=7时，展开式申二项式系数最大的项是4和月,当内=14时，展开式中二项式系数最大的项是笃, C° G Cn79,12-一 一，一一，1解得n 12,设Tk1项系数最大，由于1 2x2124x12C24kCk24kk 1C12k 1C124k4k19.410,k 10,第 11 项最大 16896x10.n【点评】（1）二项式系数的最大项：如果二项式的哥指数n是偶数时，则中间一项

8、的二项式系数Cn2取n 1 n 1得最大值.如果二项式的哥指数 n是奇数时，则中间两项的二项式系数Cn, q7同时取得最大值.（2）系数的最大项：求（a bx）n展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A,A2, ,An设第r 1项系数最大，应有Ar 1Ar 1A ，+,从而解出r来.Ar 2【反馈检测3】已知在（技 2）n的展开式中，第 x5项的系数与第3项的系数之比是14: 1.（1）求展开式中x6的系数；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；.（3）求 n 9c2 81c3 . 9n %：的值.应用四求（a b c）n展开式的系数.解题方法一般把三项式变成二项式，再代

9、二项式展开式的通项公式解答【例4】 求当(x2 3x 2)5的展开式中x的一次项的系数.【解析】解法+3x+2)5=(x2+2) + 3x t=C；(x: +2产。工)"当且仅当尸=1时"7 的展开式中才有工的一次项，此时:Cl d(x:+2)43x,所以工得一次项为盘煤¥3工，所以它的系 数为。(：/3 = 240.解法：(d + 3x+ 2了 = O + D“x+ 2)，= (C* + C# + +C；)«氏 + CK2+十以乃故展 开式中含X的项为强中+ CS = 240.V ,故展开式中H的系数为240.【点评】(1)对于三项式的展开式教材上没有

10、讲过，教材上只讲了二项式的展开式.所以我们可以想办法把三项式转化成二项式，再利用二项式的展开式的性质解答.(2)对于三项式的展开式的研究，一般转化成二项式的展开式研究，实际上就是数学的一个转化的思想的运用，把陌生的转化为熟悉的问题解答.1 -5【反馈检测4】(x 2)展开式中常数项为()xA. 252 B . - 252 C .160 D . 160应用五两个二项式相乘的系数问题解题方法一般先分别求两个二项式的展开式的通项，再对它们进行组合研究【例5】 在(1 x)3(1 x)10的展开式中，求x5的系数.【解析】(1 x)3(1 x)10 (1 3x 3x2 x3)(1 x)10,要得到x5

11、,当第一个因式取1时，(1 x)10展开式取5次项，x5项系数为C150当第一个因式取 3x时，(1 x)10展开式取4次项，x5项系数为 3C40当第一个因式取3x2时，(1 x)10展开式取3次项，x5项系数为3c10当第一个因式取-x3时，(1 x)10展开式取2次项，x5项系数为CM55432x 项系数为 C10 3C10 + 3C10 C10=-63【点评】两个二项式相乘的系数问题，一般先分别求两个二项式的展开式的通项，再对它们进行组合研究.1 “【反馈检测5】求(1 3x)6(1)10展开式中的常数项.1 2xa0a1x a2x<x（1） aia2a7 ；（2） ao a2a

12、4a62aa3 a5a7应用六二项式展开式的系数和与差的问题解题方法一般利用赋值法解答.【例6】已知7a7x7,求:2【解析】(1)当m = 1时，i1-2h) =(1-2| 二T,展开式变为%+ 为+%+ +g=T当M=0时，口口 =13一/ +0、-十日= =-1 1 =:（2）由展开式知：6> 口”与M G均为员,，%均为正?令"=1> %+ % +公=一1 0X 1 f CIj d + 口， 4Jj + 日4意二 + de. £7- -1 3041 ,/+打工+口$十0 一（q +o; +口3 +a= r= （* + £! + / + 兔 +&

13、amp;4 + q +- & I q + 一白：一口$ 一七 +角一白：）=-1x3 = -3【点评】二项式展开式的系数和与差的问题，一般利用赋值法解答，主要是给二项式的展开式的变量赋一些特殊值，如：1, -1 , 0等.1a0 11a1 11a2 1【反馈检测6】(1)设(2乂 1)n ao ax a2X2anxn展开式中只有第5项的二项式系数最大.则| an | =应用七整除性问题解题方法一般把指数的底数拆成与除数有美的数的和，再利用二项式定理展开研究【例7】证明：32n 2 8n 9(n N*)能被64整除 1 + 2C；04cl2Q10102 C10【证明】3"一工一

14、8鞭一9二9期1 g网-9=(£+l)M-g咫一9=。3器”+一苫+十C：+中+8冷一9=4苫7+C.潸 + +。源海+85+1) + 1 的一9 = C3/1 + C38”+。3噌由于各项均能被64整除,3-加- 95cT)能被6瑾除【点评】整除性的问题，一般把指数的底数拆成与除数有关的数的和，再利用二项式定理展开研究， 拆数是关键，本题中指数的底数是“3”，先变成“ 9”，再把“ 9”拆成“ 8+1”，再利用二项式定理研究就方便了 .【反馈检测7】求证：5151 1能被7整除.例8求证：2< (1 +1) nn<3 ( n【证明】(1+1) n=c0 +c； X n1

15、 +c2 n(-)2+cnx n(n 1)+2n13!n(n 1)(n 2) +3n111 + xn!+ 1+4!, + <2+ +n!+ 一 + +2 2312n 1nn (n 1)nn.(1)n1 =2+2_2(1) n=1 + 1+C2x 工 +cn x 口+1<2+ 2!n1 +3!+cn x n n n=2+1 2!111=3- ( 一 ) n 1<3.显然(1 + ) =1+1+c2 x -2nn2+cn应用八证明不等式等解题方法一般对二项式定理进行顺用或逆用.1x +-+cn x n【点评】看到(a bi)般要联想到是否能利用二项式定理解答，这是一个观察联想的能

16、力【反馈检测8】C： c2 6 Cn 62 L Cn 6n 1 .应用九利用二项式定理求近似值解题方法一般先把底数拆成“ 1”与某个小数的和与差，再利用二项式定理研究解答【例9】求0.9986的近似值，使误差小于 0.001 ；【解析】0.99即=(1 -0.。02)：1 + 6-(-0-。02"+15一(一0一002下十一.十(一09。2/丫石=C(-0-002)2 =15x(-0.002)2 = 0,00006 < 0.00b且第3项以后的绝对值都小于0.001, ，从第3项起，以后的项都可以密，略不计.0.99S' = (1 0 002” 7 6 乂 (-0.00

17、2)=1-0.012 = 0.988【点评】由(I x)n 1 Cnx C：x2 . clx1当x的绝对值与1相比很小且n很大时， x2,x3,.xn等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式： (1 x)n 1 nx,在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若 精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：(1 x)n 1 nx n(n 1)x2.2【反馈检测9】某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加 22%人均粮食占有量比现 在提高10%.如果人口年增加率为 1%那么耕地平均每年至多只能减少多少亩(精确到

18、 1亩)？高中数学常见题型解法D3纳及反馈检测第84讲:二项式定理的应用参考答案【反馈检测 1 答案】(1)TiCi0ox5x5,T7Ci6ox4210x4；(2)3-3.2【反愦检测1详细解析】吟或+.2r 512消，”1 = 9, h=10 10-r fr%=c【aS产5y7-1)七值工 必飞 < I =o, 1,10 )7 5二三 E, .r = Q, 66有理项为石=C*-7：=C4 = 210x4f nX . 尸产 z>r-l 尸r* jn-l 尸F c，=41 -5广项的系数为Cj+C：+ C* = （C） + （CC；） （管总卜出一虞=164【反馈检测2答案】（I）

19、证明见解析；（n）所有有理项为:35，-8 x1256x2【反馈检测2详细解析】（I）依题意得：2n厂 8 r 1Tr 1 C8x 4 -24 xr C；2r3r不令416展开式中没有常数项.(n)当 r 0,4,8时,Tr为有理项展开式中所有有理项为:35 x812 . 256x2【反馈检测3答案】（1）672；-109 15376x 2 ; (3) 19【反馈检测3详细解析】（1）由c4（ 2）4 : c；（22)14:1 ,解得 n因为通项:27 5rTr 1 C；( 2)rxy 万27 5r226,于是系数为c3( 2)3672.（2）设第r 1项系数绝对值最大,C；2rC；2rr9r

20、91212解得17 3r 20,于是r只能为所以系数绝对值最大的项为C6（ 2）6x27 302235376x -2(3)原式= 190C0 91C； 92c299C； 1 1 (1 9)9 1 二10【反馈检测4答案】B【反馈检测4详细解析】Qs+L-ny =五二)于二(&- yfx而(Vx-展开式的通项公式为:“ G式出产=(一y】=o=ii 2i jo,令5f = 0,得：吁5,常数项为：以=(T)说=752 5x4x3x2xl【反馈检测5答案】4246mn4 m 3n【反馈检测5详细解析】(1 双)6(1J)10展开式的通项为Cmx3 ClOxZ Cm C10 x卡4 xm 0

21、,m 3,m 6其中m 0,1,2, ,6,n 0,1,2, ,10，当且仅当4m 3n,即 或 或 n 0,n 4,n 8,时得展开式中的常数项为C； C1c0 C3 C10 C6 C80 4246.【反馈检测6答案】(1) 6561； (2) 59049.【反馈检测6详细解析】(1)由二项式系数的对称性，n 8(2) |a0 |,|a1Ma2 |,|a3|, |an|即为(2x 1)8展开式中各项的系数在(2x 1)8 中令 x 1 ,|a01 |a1 | |a21 | 38 656110(2)在(1 x)10=C：0xr 中，r 0令 x 2,得 1 + 2C；0 4C120210cl1(0310 59049【反馈检测