二项式定理知识点及跟踪典型例题

1、标准文档二项式定理知识点及典例跟踪练习含答案重点,难点解析1 .熟练掌握二项式定理和通项公式,掌握杨辉三角的结构规律二项式定理："止索心胃+疗后+ ,也/ + C 沟E加,图叫二项式系数0Wr硝n.通项用Tr+1表示,为展开式的第r+1项,且+1 =,注意项的系数和二项式系数的区别2 .掌握二项式系数的两条性质和几个常用的组合恒等式户._ 尸并 <rl _户M _ 广增减性和最大值 ！,£一；对称性：,： ；.',：先增后减.n为偶数时,中间一项的二项式系数最大,为； n为奇I Ml.数时,中间两项的二项式系数相等且最大,为、一.+小小.例题分析：、与通项有关

2、的一些问题例1.在0" 3的展开式中,指出1第4项的二项式系数2第4项的系数 3求常数项解:.吐曾,为展开式中的第r+1项.1)二项式系数为0； = 2° ；2)由1知项的系数为7=16°3)令 6-3r=0,r=2,常数项为2.假设的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中的有理项金产/ic；G中丁分析:通项为2 Vx2实用文案标准文档C*.C1 1前三项的系数为" 5'=2点,工,且成等差,221 0+用(附-1)=/ w2 -+ 8 = 0f即 8解得：n=8.14-r=4 (0<r <8, rcZ)从而2,要使Tr+1为有

3、理项,那么r能被4整除.4 4-0X = X35一x84-6-2=X256( + 42)例3. 1)求3的常数项；2求x2+3x+25的展开式中x的系数.解：1)Hl41XI 通项和尸一了6-处令6-2r=0,r=3,常数项为2 x2+3x+25=x+15x+25展开式中含x项由x+15中常数项乘x+25的一次项与x+15的一次项乘x+25的常数项相加得到.即为= 24k ,因而其系数为240.例4. a+b+c10的展开式中,含a5b3c2的系数为分析:根据多项式相乘的特点,从 a+b+c10的十个因式中选出 5个因式中的a,三个因式中的b,两个因式中的 c得到,从而a5b3c2的系数为 或

4、C滋= 2520.例5. (1+x)3+(1+x)4+(1+x) 5+(1+x)100的展开式中x3的系数为分析：法一展开式中x3项是由各二项展开式中含 x3项合并而形成.因而系数为实用文案标准文档法二不妨先化简多项式,由等比数列求和公式Q + 工,2 -(! += (1 +1 + x)*:原式='-I.-.；：:要求x3项只要求分子的x4项,因而它的系数为 C；.、有关二项式系数c；的问题.例6. 2x+x1gx8的展开式中,二项式系数最大的项为1120,那么x=分析:二项式系数最大的为第 5项,4 =?2x4户'=1120工4地收工二1 解得=i或J .例7.J兀的展开式中

5、系数最大的项为第 项.分析:展开式中项的系数不同于二项式系数,只能用数列的分析方法设第r+1项的系数最大,C-2r>C2喘2, 2甯.2T+1r=7, 因而第8项系数最大三、赋值法：例8.Q-2.=与+乎+= +“+51)求 比,2)求 ai+a2+a3+a4+a53)求(ao+a2+a4)2-(a1+a3+a5)24)求 a1+a3+a55) |%+冏|+|a|分析：1)可以把(1-2x)5用二项式定理展开求解.从另一个角度看,a.为x=0时右式的结果,因而令 x=0, (1-0)5=ao, /. ao=1.2)令 x=1,那么(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5 又 30

6、=1,. a+a2+a3+a4+a5=-2.实用文案标准文档3)令 x=1 ,得 a0+ai+a2+ +%=-1 (*) 令 x=-1,得 35=a0-ai+a2-a3+a4-as (*)因而 ,(a0+a2+a4)2-(ai+a3+a5)2=(0.+ 白+ + 仅口 仪3 +«4- %) = -lx35 = -243.4)联立(*),(*)两方程,解得 ai+a3+a5=-122.5因而 同|+冏|+|创即为(1+2x)5的展开式的所有系数和, |ao|+|a1|+ +|a|=(1+2) 5=35=243.小结:求展开式的系数和只需令 x=1可解；赋值法也需合情合理的转化.例9.Q

7、+x)+Q+Q+x"+Q+x-沌+*+-+次其中b0+b1+b2+席62 贝 U n=.分析:令x=1,那么2+22+23+2"二%+,+年+匕m由,2n+1-2=62,2n+1=64,n=5.例10.求 (2 +份 的展开式中有理项系数的和 .r分析:研究其通项 &=c;2r后y=C；2显然当r=2k(k C Z)时为有理项.因而它的有理项系数和即为 (2+t)n的奇数项的系数和.设(2+t) n=a°+a1t+a2t2+ +atn 令 t=1,即 3n=a0+a+a2+ +an令 t=-1 ,即 1=a0-a1+a2- +(-1) an一+1上两式相加

8、,解得奇数项系数和一.四、逆用公式例 11.求值 S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1解：'J例12.求值：一:J实用文案标准文档-(C!-2l + 2a+C|23+ C：2原式=2' ',11寸 _ 1工毗2.+以2】+.管 + C；2K)-l = -(H-2r-l = 乙乙乙五、应用问题例13.求证:32n+2-8n-9能被64整除.证实："=小：=二 + 僦 + $ / i + + 4网+4 8+ C-Sn-9=C+18n+1 +©篙8制 + + CC：£ +85 + D + L 恤9 二93夕+或1y+

9、喘)妒能被64整除.例14. 9192除以100的余数为.分析：9192=(90+1) 92=喘 90 我 + 4 90,】+ + C90a + a 90 + G二(得 9092 +490" + 902)+ 92x90+1二(片 90外+,90孔 + + 片 99 ) + 8281被9192100除的余数为81.小结:假设将9192整理成(100-9)92= C10(?2 +C10C?1(-9)1+党104一9产+第100(-9产+第(一9产 =Cl 城 + 410记(-9)1 + ,+* 00(-9)" +=10% + /随之而来又引出一新问题,即 992被100除的余数

10、是多少,所以运算量较大 .例15.求0.9983的近似值(精确到 0.001)解：#= l-3x0.002 + 3x0,002? -* 1-弥0002 = 0.9%实用文案标准文档选择题1. a+b+i 10的展开式中含ab的项的系数是2 .在1-xi 1+x 10的展开式中,x的系数是C A、-297 C B、-252C、2970D 2073 .如果展开式1+x 2 - 1-x+x 2卜中,x3的系数是0,那么自然数k的值是A 2' B、3C、4 i D 54 .假设 工 展开式中第6项系数最大,那么不含 x的项是A A 2100B、120 C、461D、416您x - &如

11、5 .在 V2 的展开式中,系数是有理数的项共有项LLrrA 4B、5C、6D 76 . f(x)=(1+x)+(1+x)2+(1+x) 3+(1+x) 10的展开式中各项系数之和等于()A A 211-20B、211-10C 211D 211+1答案与解析答案：1.C2.D3.C4.A5.A6.A解析：1.答案:C.解法:,s -.含ab的项为r=8的项,即第9项,系数为7 .答案D.8 .答案：C 解法：:1+x 2 1-x+x2k =1+2x+x2- 1+x2-xk,其中x2系数必与1+x2-x卜中x.,x1,x 2系数有关.又1-x+x黄的通项是：,广一1y,故xo的系数为C； ,x&

12、#39;的系数为一,； ,x2的系数为C； +C；, 即有 1 上 + 一 * k2-3k-4=0k 1=4, k 2=-1 舍.4.答案：A 解法：n=10,x3(10-x) - x-2r=1,r=6& =.：/210为不含x的项.实用文案标准文档5.答案：A解法:也 r2 3 , 2方为有理数,即40 1分6为整数,那么r为2,8,14,20,故有4项.6.答案：A.解法：取x=1,加 = 2 + 2F1-2厂子;2"-2实用文案标准文档1 .在S-Jyw展开式中常数项是.A. 28 B. -7 C, 7D. 282 .小包七-1,展开式中d的系数为A. -40 B. 1

13、0 C. 40 D. 45律3全国,理,文3 .在1-/1+工产的展开式中,口的系数是.A. - 297 B. -252 C. 297 D. 207195 全国现JU4 .在9 + 3/+ 2$的展开式中了的系数为 .A.60 B, 240 C. 360 D. 800工全国,里5 .由十/2牌展开所得的工的多项式中,系数为有理数的 共有.A. 50 项 B. 17 项 C 16 项 D. 15 «93 全国理文6 .1一1按的降界排列系数最大的孽是.A.第四项和第五项B.第五项C.第五项和第六项D.第六项193 上加7,假设21+ /3-=%+勾T+u力/ +叱1*那么供+4>

14、-Q+ %* 的值为.A* -1 B. 1 C. 0 D. 2ta文8> 假设27+ '/T'=A, + 讨产+牝/+%,+4/那么4+即+0,* ?出+可尸的值为f .A. 1B. 7 COD, 2加全国实用文案标准文档答案：I .答案：选C本小孩考查二项式定理的概念及应用.Ml Tr4i=G<y> v J=G 77一F工一叶令8-,-5=0.孵得,=6.丁产., -1尸=7.应选C. J22注：选D.本小修考玄二项式定理.KJ /T+lVCr-lP=丁+ 4丁 +山 + I10/- 10,+ 51I由多事式索法知工的系敷是I - 10 + 610 + 1

15、*-5 = 45.应选D.说明 本总总度系数是.,56.通过率较低看来僵多考生处理方法不M.用 二*式定理屋开,再作家法是最根本的作法.不要特别技巧,印是量蜉.最可嘉 的作法.3,答法必本小U考森二事式定是的有关知识.【H】欲求I-,1+工严的展升式中V的系数,只甯求出1+工厂展开 式中9和/的系数*而.+工=】+0./ +ct1y +,故什一丁竹+.史展开式 申*/的系数是盘一Ci1H207.所以逸D.说明 此题与上一题93迷题类似,得分率力085,有大II提升.某一年 的某类抗翻答的不好以后重复再号,也是高考命墨的特点.4、4Ft3 B4*小号*二项式定理的知识及运算懂力.«解法

16、I 3+沙+25+1汽¥+2户=+ Sr+1=+ +51r 2* +2“*工的系数是52 + i52,= 240.应选R.解法 2 ,+ 山 + 205寸3+2了=?*+2y +O+ 3 T + C； 2上式中只有CUG + 3卜2,中专含r的项,上的是故是C 3 21-21L说购 关于二次三项式展忏式的问题,或如解拉1,将二次三顼式分网因 式每个因式展开,然后求极.或如解法2,用姆括号的方法,再用项式定押概实用文案标准文档5.答：选B.嘛小肱考有二项式定理的知识和推理运算的水平N 7,+产Gm3年 一''2彳=Gh 33" T 2i * j1* 履开式系数

17、为有理数,只要r是6的倍数,且QMrS】.取1X6, 2 X6.16X6系数为有理数的现有17项应选B.6,答：选B.本小考查二项式定理及二项式系数的性质,【解】一1,的展开式共有10项.中间两项第五项第六项的二项式系 数相等并且最大.G 1了的及开式的备项系数的绝对值等于它二项式的系技, 同俄开式的奇数项系数为正,偶数项系数为负,所以第五项二项式系数大7,答微A.军小胭考森二项式定理的知1R.【解】解法】2j+ G V =3+12 /T/ + 18i+3 /T,所以小诲3 /T,山二】8由=12 /T.产丸:.Q*十由*一臼+小产=<3 '/T4-12 /1产一18 + 8尸=-1,应选人解法2令x= I 2+ / 3户=*+用+1+川* 1? 1二一 I. 2+ J 3 尸=加一山+耽:.M十四产一5 +如尹=Qu + U|十牝+./U.靖+"厂U1=2+ /T“-2+ /I *- J3 *- 2*了 = = .8 答；选A.本小题考直二项式定理的有关知识解】W法I由二项式定理,2,+/r> = 9 + 24 J7+72/ + 32 / 3 .r + 16,i1.那么 “ 4 山十山 9 + 72 + 16 = 97 必 + 口1 = 56 /