概率论与数理统计课后习题及答案-高等教育出版社

1、概率论与数理统计课后习题答案高等教育出版社习题解答1.1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件A,B,C分别表示“第一次岀现正面”，“两次岀现同一面”，“至少有一次岀现正面”。试写岀样本空间及事件AB,C中的样本点。解：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）A（正，正），（正，反）；B（正，正），（反，反）C（正，正），（正，反），（反，正）2.2. 在掷两颗骰子的试验中，事件A, B,C, D分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于 5 5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3 3”。试写岀样本空间及事件AB, A B, AC,BC , A B C D中的样本点。解：(1,1),(

2、1,2),(1,6),(2,1),(2,2),(2,6),(6,1),(6,2),(6,6)；AB (1,1),(1,3),(2,2),(3,1);A B (1,1),(1,3),(1,5),(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)；AC;BC (1,1),(2,2);A B C D (1,5), (2,4),(2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4)下列事件所表示的结果：A2, ,A2A3, ,A1A2, ,A1A2, ,A1A2A3, ,解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有 一人未击中；甲和乙都未击中；

3、甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有 两人击中。5.5.设事件A, B,C满足ABC，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和:3.3.以A, B,C分别表示某城市居民订阅日报、 晚报和体育报。 试用 事件：（1 1）（3 3）（5 5）（7 7）（9 9）A, B,C表示以下只订阅日报； 只订一种报； 至少订阅一种报； 至多订阅一种报； 三种报纸不全订阅（2 2）只订日报和晚报；（4 4）正好订两种报；（6 6）不订阅任何报；（8 8） 三种报纸都订阅;解：(1)ABC；(2)ABC；(3)ABC ABCABC；(4)ABC ABCABC;(5)A BC；(6)ABC；(7)ABCAB

4、C ABCABC或ABAC(8)ABC；(9)A BC4.4.甲、 乙、丙三人各射击 次，事件A1, A2, A3分别表示甲、乙、丙射中。试说明BCA1A2A2A3A1A3. .ABC，AB C，B AC. .解：如图:ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC;ABCABC C;BACABC ABC ABCBA ABCBC ABC6.6. 若事件A,B,C满足A C B C，试问A B是否成立举例说明。解：不一定成立。例如：A 3,4,5,B 3,C 4,5,那么，A C B C，但A B。7.7. 对于事件 代B,C，试问A (B C) (A B) C是否成立举例说明

5、解：不一定成立。 例如：A3,4,5，B 4,5,6，C 6,7， 那么A (B C) 3，但是(A B) C 3,6,7。8.8. 设P(A)1，P(B)1，试就以下三种情况分别求P(BA):32(1 1)AB，(2 2)A B，(3 3)P(AB)1. .解：1(1)P( BA) P(B AB) P(B) P(AB)21(2)P(BA) P(B A) P(B) P(A)6113(3)P(BA) P(B AB) P(B) P(AB)2 8 89.9.已知P(A) P(B) P(C)1,P(AC) P(BC) 16,P(AB) 0求事件A, B,C全不发生的概率。解：P(ABC) P A B

6、C 1 P(A B C)P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC)P(ABC)假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑每次拿 1 1 件，取后放回拿 3 3 次；每次拿 1 1 件，取后不放回拿 3 3次)，试求:“无红”；E“无绿”；F“三次颜色相“颜色不全相同”解：P(A)P(B) P(C)P(F)1 11272727P(H)1 P(F)111.11.设一批产品共“ 颜 色 全 不 相同”C“全黄”；“全绿”；同”；G127；P(D)；P(G)3!3 3 3P(E)8；27100100 件，其中 9898 件正品，2 2 件次品，从中任意抽取3 3 件(分三(1)(1)取

7、岀的 3 3 件中恰有 1 1 件是次品的概率;(2 2)解： 一次拿取岀的 3 3 件中至少有 1 1 件是次品的概率。3件：C8C20.0588；C100每次拿一件，取后放回，拿3次:(1)P啤31003每次拿一件，取后不放回，2 98 97100 99 98(1)P0.0576-3次:(1)(2)98 97 961100 99 98(2)(2)0.0588-0.0594C2C98C2C98C；000.0594；笙0.0588；1003111c11门30044416168A“三个都是红灯”= =“全红”；B种情况：一次拿 3 3 件;110.10.每个路口有红、绿、黄三色指示灯,车经过三个

8、路口，试求下列事件的概率:从0,1,2,9中任意选岀A三个数字中不含 0 与 5，解：3 3 个不同的数字，试求下列事件的概率:A2三个数字中不含 0 或 5。12.12.P(A):C102C；C30P(A2)7.15；C83曙或P（A2）1C10曙13.13.从0,1,2,9中任意选岀 4 4 个不同的数字，计算它们能组成一个4 4 位偶数的概率。解：P5F934P82419014.14. 一个宿舍中住有6 6 人中至少有(1)(1)6 6 位同学，计算下列事件的概率:1 1 人生日在 1010 月份；(2(2)6 6 人中恰有 4 4 人生日在 1010 月份;（3 3）解：6 6 人中恰

9、有 4 4 人生日在同一月份;(1)(3)1161 r0.41；(2)12142C12C6 110.0073士0.000611212615.15.从一副扑克牌（5252 张）任取 3 3 张（不重复），计算取岀的 张花色相同的概率。解：13121P C4C13C4C13C39PCC523 3 张牌中至少有 2 20.602或P 13111C4C13C13C13C520.602习题解答1.1.假设一批产品中一、二、三等品各占60%60%,30%30%、10%10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。解：令Ai“取到的是i等品”，i 1,2,32.2. 设 1010 件产品中有

10、 4 4 件不合格品，从中任取 合格品，求另一件也是不合格品的概率。解：令A“两件中至少有一件不合格”3.3.为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统时，系统 I I 和 IIII 有效的概率分别和，在系统 I I 失灵的条件下，系统 为，求（1 1）两种报警系统 I I 和 IIII 都有效的概率；（2 2）系统 IIII 失灵而系统 I I 有效的概率；3 3）在系统 IIII 失灵的条件下，系统I I 仍有效的概率。P(B| A) P(B | A)证:A与B独立，A与B也独立。P(B| A) P(B), P(B | A) P(B)P(B| A) P(B| A)0 P(A) 10 P(A)

11、 1即1 P(A)P(AB) P(A)P(B) P(AB)P(AB) P(A)P(B)，故A与B独立。(1)P(AB)P(BAB)P(B)P(AB)P(B)P(A)P(B | A)0.93(10.92) 0.850.862(2)P(BA)P(AAB)P(A)P(AB)0.920.8620.058(3)P(A|B)P(AB)0.0580.8286P(B)1 0.93解：令A“系统（I）有效” ，B“系统（n）有效”则P(A) 0.92, P(B)0.93, P(B| A) 0.854.4.设0 P（A） 1,证明事件A与B独立的充要条件是2 2 件，已知所取 2 2 件产品中有 1 1 件不“两

12、件都不合格”P（B|A）鵲I I 和 IIII。 两种报警系统单独使用IIII 仍有效的概率15P(B)_1P(A)5.5. 设事件A与B相互独立，两个事件只有A发生的概率与只有B发生的概率都是1，求P(A)和P(B). .41解：P(AB) P(AB)，又A与B独立41P(AB) P(A)P(B) 1P(A)P(B)-41P(AB) P(A)P(B) P(A)1P(B)421P(A) P(B),P(A) P (A)-41即P(A) P(B)26.6. 证明若P( A)00，P( B)00，则有(1)当A与B独立时，A与B相容；(2)当A与B不相容时，A与B不独立。证明：P(A) 0,P(B)

13、0(1) 因为A与B独立，所以P(AB) P(A)P(B) 0，A与B相容。(2) 因为P(AB) 0,而P(A)P(B) 0，P(AB) P(A)P(B)，A与B不独立。7.7. 已知事件A, B, C相互独立，求证A B与C也独立。 证明：因为A、B、C相互独立，P( A B) C P(AC BC)P(AC) P(BC) P(ABC)P(A)P(C) P(B)P(C) P(A)P(B)P(C)P(A) P(B) P(AB)P(C) P(A B)P(C)A B与C独立。8.8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为，和，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工

14、人照顾的概率。解：令人，民，人人，民，人3分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，那么P(A1)0.7,P(A2)0.8, P(A3)0.9令B表示最多有一台机床需要工人照顾，又P(B | A)鴛,P(B|A)篇而由题设P(B| A) P(B| A)P(AB)P(AB)P(A) P(A)那么P(B) P(A1A2A3A,A2A3AiA2A3A1A2A3)p(AAA3)PCAAAB)P(AA2AJ P(AA2A3)0.7 0.8 0.9 0.3 0.8 0.9 0.7 0.2 0.8 0.7 0.8 0.10.9029.9.如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为p(0 p 1),(称为元件的可

15、靠性)，假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。P(A An i)P(A) P(An i) P(A)P(Ani)2P P2 Pn(2 P)n注：利用第 7 7 题的方法可以证明(AiAn i)与(AjAn j)i j时独立。10.10. 1010 张奖券中含有 4 4 张中奖的奖券，每人购买(1)前三人中恰有一人中奖的概率；(2)第二人中奖的概率。解：令Ai“第i个人中奖”，i 1,2,3系统 I I1 12 2| | n+1n+1n+2n+2n n2n2n系统 IIIIr r| |n nr rn+1n+1 | |n+2n+2 - -2n-2n 解：令AA仏仏P(A)那么P

16、(A)“系统(i)正常工作”B“系统(n)正常工作” 第i个元件正常工作”，i 1,2, ,2nP, A,A2, A?.相互独立。P (A1A2An)(An 1An 2A2n)(A1A2nP(A)i 12pnp2nAn)2nP(A)i n 1Pn(2P(B) P(A1An 1)(A2(An 1An 2A2n)P(AlA2A2n)2nP(A)i 1Pn)An 2)(AnA2n)1 1 张，求(1)P( A1A2A3A|A2A3AA2A3)P(A1A2A3) P(AA2A3)卩卩(人人人人2入入3)P(A)P(A2|A)P(A3|AA) P(A)P(A2|A)P(A I AA2) p(A)P(A

17、IAJP(A31AA2)46 56546451109 81098109821或PC3C102(2)P(A2)P(AJP(A2| A1)P(AJP(A2|AJ43642109109 511.11.在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查岀95%95%的真实患者，但也有可能将 10%10%的人误诊。根据以往的记录，每1010 000000 人中有 4 4 人患有肝癌,试求：(1 1)某人经此检验法诊断患有肝癌的概率;(2 2)已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。解：令B“被检验者患有肝癌”，A“用该检验法诊断被检验者患有肝癌”那么，P(A| B) 0.95, P(A

18、| B) 0.10,P(B)0.0004(1)P(A) P(B)P(A| B) P(B)P(A| B)0.0004 0.95 0.9996 0.10.10034(2)P(B| A)P(B)P(A| B)P(B)P(A| B) P(B)P(A| B)0.0004 0.950.0004 0.95 0.9996 0.10.003812.12. 一大批产品的优质品率为30%30%，每次任取 1 1 件，连续抽取 5 5 次，计算下列事件的概率:(1(1)取到的 5 5 件产品中恰有 2 2 件是优质品;(2 2)在取到的 5 5 件产品中已发现有 1 1 件是优质品，这 5 5 件中恰有 2 2 件是

19、优质品。 解：令Bi(1)卩(2)P(B2|“5件中有i件优质品”，i0,1,2,345C；(0.3)2(0.7)30.30875Bi) P(B2|B0)P(B2B0)i 1P(B2)1 P(B。)1 (0.7)P(B。)哼0.37113.13.每箱产品有 1010 件，其次品数从 0 0 到 2 2 是等可能的。开箱检验时，从中任取1 1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，1 1 件正品被误检是次品的概率是 2%2%，1 1 件次品被误判是正品的概率是5%5%，试计算:(1) 抽取的 1 1 件产品为正品的概率；(2) 该箱产品通过验收的概率。解：令A“抽取一件

20、产品为正品”Ai“箱中有i件次品”，i 0,1,2B“该箱产品通过验收”22110 i(1)P(A)P(Ai)P(A| Ai)0.9i 0 i 03 10(2)P(B) P(A)P(B | A) P(A)P(B|A)0.9 0.98 0.1 0.05 0.8871414 . .假设一厂家生产的仪器，以概率可以直接出厂，以概率需进一步调试，经调试后以概率可以岀厂，并以概率定为不合格品不能岀厂。现该厂新生产了n(n 2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)，求：(1 1)全部能出厂的概率；(2)其中恰有 2 2 件不能出厂的概率；(3)其中至少有 2 2 件不能出厂的概率。解：令A“仪器需进一

21、步调试”；B“仪器能出厂”A“仪器能直接出厂”；AB“仪器经调试后能出厂显然B AAB，那么P(A)0.3, P(B | A) 0.8P(AB)PA)P(B | A) 0.30.80.24所以P(B)P(A) P(AB) 0.70.240.94令Bi“n件中恰有i件仪器能出厂”，i 0,1, ,n(1)P(Bn)(0.94)n(2)P(Bn 2；|2Cn2(0.94)n 2(0.06)2C：(0.94)n 2(0.06)21n 1(3)P(Bk) 1 P(Bn1)P(Bn) 1 Cn0.06(0.94)(0.94)15.15.进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为p，试求以下事件的概率：(

22、1) 直到第r次才成功；(2) 第r次成功之前恰失败k次；(3)在n次中取得r(1 r n)次成功;(4 4)直到第n次才取得r(1 rn)次成功。解：(1)PP(1p)r1(2)PCr 1Cr k1pr(1 p)k(3)PrCnPr ：r(1 p)(4)PC：1p (1 p)16.16.对飞机进行3 3次独立射击，第一次射击命中率为，第二次为，第三次为. .击中飞机一次而飞机被击落的概率为，击中飞机二次而飞机被击落的概率为，若被击中三 次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。解：令Ai“恰有i次击中飞机”，i 0,1,2,3B“飞机被击落”显然：P(A。)(10.4)(10.5)(

23、10.7)0.09P(A)0.4(1 0.5)(1 0.7) (1 0.4) 0.5 (10.7)(1 0.4) (1 0.5) 0.70.36P(A2)0.40.5(1 0.7)0.4 (10.5) 0.7(10.4) 0.5 0.70.41Pf)0.40.50.70.14而P(B| A。)0，P(B | A1)0.2，P(B | A2)0.6，P(BA)1所以3_P(B) P(A )P(B | Ai) 0.458；P(B) 1 P(B) 1 0.458 0.542i 0习题解答1.1.设X为随机变量，且P(X k)*(*(k 1,2,),),则(1 1)判断上面的式子是否为X的概率分布；P

24、(X为偶数)和P(X 5). .1S 1,2, 2k且12142,k2k(2(2)若是，试求解：令P(X(1)显然0Pkk 1k)PkPk所以P(Xk)1,2,为一概率分布。(2)P(X为偶数)p2kP(X 5)k 5Pk2 2. .设随机变量 X X 的概率分布为P(X解:kc ek 1k!0c 1 e0!kek!(11尹112Ck)116kkPe)1( (k 1,2,),),且0,求常(1 1)X的概率分布；(2 2)P(X 5)。解：(1)P(Xk) (1 p)kp (0.9)k0.1,k0,1,2,(2)P(X5)P(Xk 5k)(0.9)k0.1(0.9)5k 53.3.设一次试验成

25、功的概率为p(0 p 1)，不断进行重复试验，直到首次成功为止。用随机变量X表示试验的次数，求X的概率分布。解：P(X k) p(1 p)k 1,k 1,2,4.4.设自动生产线在调整以后岀现废品的概率为p=p=，当生产过程中岀现废品时立即进行调整，X X 代表在两次调整之间生产的合格品数，试求5.5. 一张考卷上有 5 5 道选择题，每道题列出4 4 个可能答案，其中有 1 1 个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4 4 道题的概率是多少解：因为学生靠猜测答对每道题的概率为p丄丄，所以这是一个n 5,p144的独立重复试验。4143515304)C5(4 C5(4)(4)6.6.为了保证

26、设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发 生故障的概率为，各台设备工作情况相互独立。（1 1）若由 1 1 人负责维修 2020 台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；（2 2 ）设有设备 100100 台，1 1 台发生故障由 1 1 人处理，问至少需配备多少维修人 员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过解：(1)1 (0.99)2020 0.01 (0.99)190.0175(按Poisson(泊松)分布近似)(2)n 100, np 100 0.011(按Poisson(泊松)分布近似)查表得N8.8.设书籍上每页的印刷错误的个数X X 服从 Poi

27、ssonPoisson（泊松）分布。经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4 4 页，每页上都没有印刷错误的概率。12解：P（X 1)P（X 2），即一ee ,21!2!P(X0）2eP (e2、48)e9.9.在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的PoissonPoisson 分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求（1 1）某一天从中午 1212 时至下午 3 3 时没有收到紧急呼救的概率；（2 2）某一天从中午 1212 时至下午 5 5 时收到 1 1 次紧急呼救的概率；9.9.在长度为 t t 的时间间隔内，某急救中

28、心收到紧急呼救的次数X X 服从参数为 占的PoissoPoisso n n（泊松）分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）. .求（1 1 ）某（2 2 ）某天从中午天从中午1212 时至下午1212 时至下午3 3 时没有收到紧急呼救的概率；5 5 时收到 1 1 次紧急呼救的概率;解：33(1)t3J2P(X0)e255P(Xi64P(X N1)100C1o0(0.01)k(0.99)100 kk N 11001ke1-一0.01k N 1k!7.7.设随机变量X服从参数为的 PoissonPoisson（泊松）分布，且P（X 0） 1，求（1）；解：P（XP(X 1)1(2 2)P

29、(X00) e0!P(X 1)1 1 ln22 21). .12In 2P(X 0) P(X 1)1(1 ln 2)212.12.设连续型随机变量X的概率密度为(2)t5JP(X1)1 P(X 0)1 e2210.10.已知X的概率分布为:X-2-2-1-10 01 12 23 3P2a2a1TQ-3a3aa aa a2a2a试求（1 1）a；（2 2）Y X21的 概 率 分布。解：1(1)2a3a a a 2 a 1101a10(2)Y1038P31色1105105试求：（1 1）解：(1)2(tt)0.50.5(2)f(x)1x21x601,0)0,3)其它(3)P ( 2 X 2)（2

30、x1乙-)dx21)dx21112t的值;（2 2）X的概率密度;(3)P( 2 X 2). .12.12.设连续型随机变量X的概率密度为试确定常数a并求P(X-). .a1，即sin xdx0(x$e4dx解:15.15.设连续型随机变量X的概率密度为2x,0,f(x)sinx,0,其他以Y表示对X的三次独立重复试验中“X1”出现的次数，试求概率P(Y 2). .解：令f(x)dxcosx1,即cosa0,a2sin xdxcosx |2613.13.乘以什么常数将使e变成概率密度函数解：令x2xcedx 1试求14.14.随机变量XN(,f(x)1c e2)，其概率密度函数为2x 4x 4

31、1厂Cf(x)dxf (x) dx，求C. .f(x)1.6ex24x 4(x 2)22( 3)2e若c可知f (x)dxf(x)dx，由正态分布的对称性2.f(x)其他16.16.设随机变量X服从1,51,5上的均匀分布，试求(1(1)x11 x25;(2 2)1 x15 x2. .117.17.设顾客排队等待服务的时间X(以分计)服从1的指数分布。某顾客等待5服务，若超过 1010 分钟，他就离开。他一个月要去等待服务5 5 次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求Y的概率分布和P(Y 1)解：17 102e5 e2P(X10)1 P(X10) 1 1P(Yk) Cf(e2)k(

32、1e ) ,k0,1,2,3,4,525P(Y 1)1(1 e )0.5167习题解答1.1.已知随机变量X的概率分布为P(X 1)0.2，P(X 2)0.3，P(X解:3) 0.5，试求X的分布函数；P(0.5 X 2)；画岀F(x)的曲线。解：P(X2xdxoP(Y 2)2123C32(4)27964解：X的概率密度为f(x)1，1 x 50,其他x211X2)-dx(x211445一11x2)dx-(5xjx144(1)P(x1X(2)P(x1XP(xiXX2). .如果0.2F(x)0.5,1,2P(0.52)0.51F(x)曲线：2.2.设连续型随机变量的分布函数为试求：( (1 1

33、)X的概率分布; 解：(1)0,0.4,0.8,1,(2(2)P(XF(x)(2)0.40.40.2P(X 2 |X1)P(Xx2| X31). .1) 2P(X 1)33 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立1 1)X的概率分布；(2 2)3.3.从家到学校的途中有的，且概率均是，设X为途中遇到红灯的次数，试求(X的分布函数。解：(1)P(X k) C3k(2)k(3)3 k,k 0,1,2,355X0123p2754368125125125125列成表格4.4.试求习题中第1111 题X的分布函数，并画岀F（x）的曲线 解：F(x)(2)F(x)027125811251171251x 00 x11x22x3x 3试求：（1 1）A, B的值；（2 2）P（ 1X1)；（3 3）概率密度函数f（x）解：（1）F( ) lim (A Be2xx)1A 1又lim (A Be2x)F(0)x 00BA1（2）P( 1 X 1)F(1) F(1)12e（3）2e2x,x0f(x) F(x)0 ,x0111203一xxx1224x2x0ABexF(x)00,x6.6.设X为连续型随机变量，其分布函数为x1；d,1xe;a .2dx (1 x1 2)aarctan x |X服从