曲线积分曲面积分总结

1、第十三章曲线积分与曲面积分定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题.但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时， 还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分第一节对弧长的曲线积分一、 对弧长的曲线积分的概念与性质在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积 .由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样，因此，可以认为这构件的线密度（单位长度的质量）是变量，这样构件的质量就不能

2、直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算.下面考虑如何计算这构件的质量.设想构件为一条曲线 状的物体在平面上的曲线方程为y fx,x a,b ,其上每一点的密度为x,y .如图13-1我们可以将物体分为n段，分点为Ml,M2,.,Mn ,每一小弧段的长度分别是s1,S2,. ,Sn .取其中的一小段弧MrMi来分图13-1析.在线密度连续变化的情况下，只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点的密度 i, i来近似整个小段的密度.这样就可以得到这一小段的质量近似于Si .将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值.即用表示n个小弧段的最大长度 的极限，从而得到为了计算M的精确

3、值，取上式右端之和当nM lim ( i, i) Si.i 1即这个极限就是该物体的质量.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分.抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下 定义：定义设L是xoy面内的一条光滑曲线，函数f x,y在L上有界，用L上任意插入一点列M1,M2，,M n将曲线分为n个小段.设第i段的长度为si(i 1,2,L ,n),又i, i为n第i个小段上任意取定的一点，作乘积 f i, i Si ,并作和 f i, i s ,若当各小段 i 1的长度的最大值趋于零

4、时，此和式的极限存在，称此极限为函数f x,y在曲线L上对弧长的曲线积分，也称为第一类曲线积分，记作l f x,y ds,即nf (x, y)ds lim f( i, J，L0i i其中f x,y叫做被积函数，L称为积分弧段.当L是光滑封闭曲线时，记为 o f x,y ds. L类似地，对于三元函数f x, y,z在空间白曲线 L上光滑，也可以定义f x,y,z在曲线L上对弧长的曲线积分 l f x,y,zds.这样，本节一开始所要求的构件质量就可表示为M L (x, y)ds由对弧长的曲线积分的定义可以知道，第一类曲线积分具有下面的性质：性质1 (线性性)若f,g在曲线L上第一类曲线积分存在

5、，是常数，则f(x, y) g(x, y)在曲线L上第一类曲线积分也存在，且L f x, y g x, y ds L f x, y ds L g x, y ds；性质2 (对路径的可加性)设曲线L分成两段L1,L2.如果函数f在L上的第一类曲线积分存在，则函数分别在 和L2上的第一类曲线积分也存在 .反之，如果函数f在L1和L2上的第一类曲线积分存在，则函数f在L上的第一类曲线积分也存在 .并且下面等式成立,fds , fds , fds (Li L2 表示 L) L1 L2L1L2对于三元函数也有类似的性质，这里不再一一列出.二、第一类曲线积分的计算定理设有光滑曲线L:(t)(t),t .即

6、(t), (t)连续.若函数f(x, y)在L上连续，则它在L上的第一类曲线积分存在，且22l f x, y ds f t , t t t dt证明如前面定义一样，对L依次才t入Mi,M2,，Mn 1 ,并设Mo (),(),Mn (),().注意到 t0 t1 Ltn.记小弧段Mi1Mi的长度为si ,那么si: .Ft)一画出，i 1.2,L n.ti 1由.2(t)2(t)的连续性与微分中值定理，有Si:r国dt, (ti 1 iti).ti 1所以，当 x ( i),yi(*时，nn一.f(xi,yi) s f ( ( i), ( i)-, 2( i)2( i 2) ti,1 1i 1

7、这里 ti 1 i, i ti.设n -22:;22f( (i), (i).( i) (i) (i”) (i) tii 1则有 nnf(xi,yj Sif( ( i), (i),2( i)2( i) ti .i 1i 1令 t max t1, t2,L , tn,要证明的是 limo0.因为复合函数f( (t), (t)关于t连续，所以在闭区间,上有界，即存在 M ,对一切t ,有|f( (t), (t) | M.再由小2(t)至在,上连续，所以它在,上一致连续.即当任20,必存在 0,当t 时有|. 2( J)(V)、2( i)Y51 .从而tiM ().所以lim 0.t 0再从定积分定义

8、得nlitm0f( ( i), ( i)2( i)7)ti 1f( (t), (t) ；F一%dt.所以当nf(xi,yj Si i 1nf( (i), (i) i 12( i)(i) ti两边取极限后，即得所要证的结果.特别地，如果平面上的光滑曲线的方程为y y(x), ab,bL f x, y ds a f x, y例 计算曲线积分l Jyds,其中L是抛物线2 ._ _._、x上的点A 0,0与点B 1,1之间的一段弧.(如图)解：积分曲线由方程2y x , x 0,1给出，所以x2 1 x2 2 dxM 4x2dx12 111 4x =5 5 1.120 12例计算积分？ x2Lnds

9、,其中L为圆周：xasint, y a cost, 0 t 2 .解：由于L为圆周:asint, y acost,0 tnds22asint a costn .a2 cos21 a2 ( sint)2dt2a2ndt202n a对于三元函数的对弧长的曲线积分，可以类似地计算.例如：若曲线L由参数方程x xt,y yt,z zt,t 确定，则有 dsv-x2 t y2 tz2 t dt ,从而f x, y,z dsL_222f x t , y t , z t 寸 x t y t z t dt .例13.3 计算曲线积分x2 y2 z2 ds,其中是螺旋线 x acost, y asint,kt上

10、相应于t从0到2的一段弧.解：由上面的结论有2222 .2. 2x y z ds acost02,222,2,asint kt , asint a cost k dtk2dt22 2222 2一.a k 3a 4 k3例计算Lx2ds,其中L为球面x2 y2z2 a2被平面x y z 0所截得的圆周解：由对称性可知所以x2dsLL(x22 a2 -3y z )ds ds - a .3 L 3习题1 .计算半径为 R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I （设线密度1）.2 .计算曲线积分（x2 y2 z2）ds,其中 为螺旋线x acost , y asint , z kt上相应于t从

11、0到2的一段弧.3 .计算 ye xdS,其中 C 为曲线 x ln（1 t2）, y 2arctgt t 3 由 t 0到 t 1 间C的一段弧.224 .求 xydS,其中L是椭圆周 与 2r 1位于第一象限中的那部分。La2b25 .计算L6dS ,其中L为曲线X2 y22y.16 .求XdS,其中L为双曲线xy 1从点（1,2）到点（1,1）的一段弧。7 .计算 Jx y）ds其中L为连接（1,0）及（0,1）两点的直线段.8 .计算？Le*xkds其中l为圆周x2 y2 a2,直线y x及x轴在第一象限内所扇 形的整个边界.9 .计算x2yzds其中 为折线ABCD,这里A、B、C、

12、D依次为点（0,0,0）、（0,0,2）、（1,0,2）、（1,3,2）。、.，22、.10.计算 Jxy )ds其中L为曲线x a（costtsin t) , y a(sin t t cost)6. 1127 2t2 dt2 t 1(0 t 2 ).11 .设L为双纽线（x2 y2）22 / 2a (xy2）,计算积分IL|y|ds.2x12 .设L为椭圆一42y31,其周长为a,求？L (2xy223x2 4y2)ds.1. R3(sin cos(3a22k2)3. 2 11n 216 2ab(a2 ab4. 3(a b)b2)05. 4sin dsin d2t1ln421747. ,.2

13、a _8. e 2 a 2 49. 9_2 3_210. 2 a (1 2 )11. 2a2(2、12. 12a第二节 对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质在实际中还碰到另一种类型的曲线积分问题.例如一质点在空间中沿着一条光滑曲线L:x xt,y yt,z zt运动，当t a时，对应曲线上的一个端点 A ,当t b时, 对应曲线的另一个端点 B ,在外力F x,y,z Px,y,zi Qx, y,zj Rx,y,zk的作用下质点从 A移动到B,现在求力 F所作的功.由物理学的知识知道：若力与位移都是常量，则有 W F s.现在的是一个变量，位移s也是变量.为了求这个力所作的功我们可

14、以将曲线分为若干段，即插入n个分点M0 A,M1,M2,.,Mn B这些点对应的t分别是a t0,t1,.,tn b .在每一小段弧M i iM i上，可以认为位移就是 Mi iM i ,在小弧段 M i iM i上任意一点 i, i, i的力F i, i, i来近似质点在这一小弧段上移动所受到的力.于是当质点从Mi 1移到Mi时，力F所作的功近似为F i, i, i M i iM ；,将力在每一小段上所作的功相加， 就得到了在力F的作用下质点从 A移动到B所作的功的一个近似值.即n _W F i, i, i Mi 1Mi i 1注意 F x,y,z P x, y,z ,Q x,y,z , R

15、 x, y, z,而 M i 1Mi xi, yi, zi,所以W F i, i, i Mi iMi i 1 nP i , i , i xi Q i , i , i yi R i , i , i zi , i 1再对上面的式子在所有小弧段的长度的最大值趋于零时取极限，若此极限存在，则它就是变力F所作的功.即nw im P i, i, i xi Q i, i, i yi R i, i, i 4 0i i从上面的分析可以看出，这个极限和前面讲的定积分、重积分、第一类曲线积分有很多 的相似之处，它们都是一个乘积和式的极限.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二 类曲线积分.定义（对坐标的曲线积分或

16、第二类曲线积分）设L是空间中的一条有向光滑的曲线，两个端点分别为 A和B. P x, y, z,Q x, y,z,Rx, y,z为定义在曲线L上的函数.在 L内依次插入点 Mi,M2,.,Mn 1,并令 Mo(X0,yo,Z0) A, Mn(Xn,yn,zn) B.并且这些点是从A到B排列的.这样就将曲线L分为n个小的弧段Mi 1Mi （i 1,2,L ,n）,设xixi xi 1, yiyiyi 1,zizizi 1 .记各弧段长为si,max s.在小弧段Mi 1M i上任意取一点n则称之为函数，若 lim0P i, i, i xi 存在,i 1P x, y,z在有向曲线L上对坐标x的曲线

17、积分（或称第二类曲线积分）.记为P x, y, z dx.即LnP x, y,zdx= lim0P i, i, i xi .Li 1类似地，有nP x, y,z dy = lim0Q i, i, i yi ;Li 1nP x, y,zdz= lim0R i, i, i ziI i 1分别称为函数在有向曲线L上对坐标y和对坐标z的曲线积分.这些积分统称为第二类曲线积分.若 L 为封闭有向曲线,则记为? P x, y,z dx 、?L P x, y, zdy或？ P x, y,z dz .由对坐标的曲线积分的定义可以知道，第二类曲线积分具有下面的性质:1 . P x, y,z dx Q x,y,z

18、 dyL2 (线性性)：若两个向:(i 1,2,L ,k)存在，则kkci Pi dxciQi dyL i1i1Rx,y,zdz P x,y,z dxL值 函 数Pi (x, y, z)dxQx, y,z dy Rx,y,zdz；LLQi (x,y, z)dy Ri(x, y, z)dzkkci Ri dzcii1i1LQidyL Ridz ,其中c(i 1,2,l ,k)为常数.： 设定向分段光滑曲线 L 分成了两段L1 和 L2 ，它们与 L 的取向相同LL1L2 ) ，则向量函数 f (x, y, z) 在 L 上的第二类曲线积分的存在性等价于f(x,y,z)在Li和L2上的第二类曲线积

19、分的存在性.且有f x, y,z dx f x, y,z dx f x, y, z dx ；II L2L1L2： 如用 L 表示与 L 方向相反的曲线则有f x, y, z dx f x,y,z dx LL(第二类曲线积分)的计算x xt ， 起点为 A x , y ,z终点为设 L 的参数方程为y y t ,t z ztBx ,y ,zx t , y t ,z t 都具有连续导数在曲线弧上插入若干个点 M0,M 2,., Mn ，相应于 t 的取值分别是t0,t1,t2,.tn， M i xi ,yi,zi，tixix ti x ti 1 x t dt ， 而tititi 1 ， 于 是 由

20、 积 分 中 值 定 理 有ti 1xix iti 此时取i , i, i 分别为 x( i ), y( i ), z( i) ，则nP x, y, z dx lim P x i , y i ,z i tiL0i1P xt ,yt ,ztx t dt类似地可以求Q x, y, z dy和 R x, y, z dz .最后得到LLP x,y,zdx Q x, y, z dy R x, y,z dzPxt,yt,zt x t Qxt,yt,zt y t在这里的积分的上限下限分别对应的是终点和起点.求曲线积分的一般步骤是：1 .将x,y,z用各自的参数方程代替；2 .将曲线的终点和起点所对应的参数的

21、值作为定积分的上下限;3 .将曲线积分化为定积分，计算定积分，即得曲线积分的值.特别地，当L是平面xoy上的光滑曲线时，设曲线方程为y y xRz t dt起点和终点对应解:P x, y dx Q x, y dyLbP x,y xaQ x, y y计算曲线积分l xydx ,其中L为抛物线 y1,1的一段弧，如右图.2x2从点A 1,1将要计算的积分化为对 x的定积分，即以x为积分变量，曲线段的起点和终点对应的x的值分别是1和1,将曲线积分中的y用x2代替,到点图 13-3所以l xydx 1x x2 dx 1x 44I110.2x例 计算曲线积分0xdy ydx ,其中L为椭圆 La2 y

22、b21沿逆时针方向.解：椭圆的参数方程为x a cost, y bsin t,0 t2 ,所以可以将曲线积分化为对参数t的积分，起点和终点所对应的 t的值分别为0和2 , x,y分别用参数方程代替,由此得到2xdy ydx a costd bsin t bsintd acostL2ab 1dt 2 ab0注意，这个积夕刚好是椭圆面积啊两倍.的x的值分别是a,b,则有例 13-5 图例 13-4 图例 计算曲线积分xdy ydx 其中 L 分别是下面的曲线段(1) 抛物线 y2 x 上从点 O 0,0 到点 A 1,1 的一段弧；直线y x上从点O 0,0到点A 1,1的一段弧; 从点O 0,0

23、到沿x轴点B 1,0 ,再由B 1,0竖直向上至 A 1,1 .解：(1)将积分化为对y的定积分，起点和终点对应的y的值分别是0和1, x用y2代替，得到122L xdy ydx 0 y dy yd y1 23103y2dyy3 |10 1(2) 将积分化为对x 的定积分， 起点和终点对应的 y 的值分别是0和1 ， y 用 x 代替，得到1xdy ydx xdx xd x1212xdx x |0 1(3) 曲线可以分为两段， 其中一段的曲线方程为 y 0 ， 另一段的曲线方程为 x 1 ，所以xdy ydx xdy1xd 001ydx0dxxdyOA101dyydxyd 1从上面的例子可以看

24、出，尽管积分的路径不同，但是积分的值仍然有可能相同例计算Ly2dx,其中L为(1)半径为a、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周;2)从点A(a,0) 沿 x 轴到点 B( a,0) 的直线段解 ( 1)因为x acosL:， 0y asin那么222L y dx 0 a sin ( asin )d324 3a (1 cos )d(cos )-a .03(2)积分路径为L : y 0, x从a变到 a ,因此2ay dx 0dx 0.La从这个例子可以看出：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同 三、两类曲线积分的联系设有向光滑曲线段 L的参数方程为x ft,y gt,t ,

25、起点和终所对应的0 ,函数P x, y ,Q x, y在曲线段L上连续，则对坐标的曲线积分L P x, y dx Qx, ydyba P f t ,g t d f tba(P f t ,g t f tQ f t,g t d g tQ f t , g t g t )dt又有向曲线的切向量为Tft ,gt,它的方向余弦为cos t, cos,f2t g2t注意到ds Jf 2 t g 2 t dt,所以由对弧长的曲线积分公式,得到L P x,y cos bP f t ,g t aQ x,y cos dsf t Q f t ,g t gt dt由此得到两类曲线积分之间的联系:l P x, y dx

26、Q x, y dyl P x, y cos Q x, y cos ds .类似地，可以得到两类空间曲线积分之间的联系:L P x, y, z dx Q x, y, z dy Rx, y,zdzl P x, y cos Q x, y这种联系还可以用向量表示：cos R x, y, z cos dsdrA Tds.其中 A P,Q, R , T cos ,cos,cos为在曲线上点x, y, z处的单位切向量,dr dx,dy,dz称为有向曲线元.习题.2.22221 .求I?Lxydy xydx.其中曲线C为圆周x y a，积分方向为顺时针方向，a 0.2222 ,2 .求？lx(z y)dx

27、y(x z)dy z(y x)dz,其中 L 是由球面 x y z R 与 平面 x 0, y 0, z 0(x 0, y 0, z 0)的交线 Ab , ?C 和 Ca组成.3 .求IL(x2 sin2 y)dx Jx2_cos2 ydy .其中曲线L由折线AOB及曲线Ci：x sin y(y 2 )两段组成，起点为 A(1,0)，其中 O (0,0) , B (0,)4 .求L(x2y2)dy.其中L是由直线x 1, y 1,x3及y 5构成的正向矩形回路.5 .求L(x2y2)dx (x2y2)dy.其中L为曲线y1|1 x|上对应于x从0至U2的一段.6 .试将？L f (|x|,|

28、y |)dy表示成定积分.其中L是以A(1,2),B(1, 1)及C(2,0)为顶 点的三角形的正向.7 .求？Ldx dy ydz .其中L为有向闭曲线ABCA,这里A, B,C依次为点 (1,0,0) ,(0,1,0) ,(0,0,1).ur8 . 一力场由沿横轴正方向的常力F所构成.试求当一质量为m的质点沿圆周x2 y2 R2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所作的功9 . 一力场中的力的大小与作用点到z轴的距离成正比，方向垂直向着该轴.试求当质量为m的质点沿圆周x cost, y 1,z sin t由点M (1,1,0)依正向移动到点N(0,1,1)时,力场所作的功.10 .

29、求 Lxdx ydy (x y 1)dz. L是从点 A(1,1,1)到点 B(2,3,4)的一段直线.参考答案1. a422. 2R353.34. 325.6.430102 f (1,y)dy 0 f (1, y)dy 1f (y 2, y)dyf(2 ( y)dy7.8.12ur|F |R9.k I c ln 2210. 13第三节 Green公式及曲线积分与路径的无关性一 Green公式本节将建立对坐标的曲线积分与二重积分之间的联系.即要建立起平面区域 重积分与D的边界曲线L上的第二类曲线积分之间的联系.我们知道闭区域有两种，一种是单连通的，一种是多连通的.若区域D上的二封闭曲线的内部的

30、所有的点都属于D,则D是单连通的，否则是多连通的.如图中的任意一条13-6是单连通的，图 13-7是多连通的.例如区域D x,y |x2 y2 1是单连通的，而区域22D x, y |0 x2 y2 1是多连通的.通俗的说，多连通区域就是有“洞”的区域.对于区域的边界曲线，我们规定它的正方向如下:总是在他的左边.由此定义可以知道，当区域逆时针方向.当 D是多连通时，如其边界曲线为 部的曲线的方向是顺时针的.如图.当观察者沿着曲线移动时，区域D是单连通区域时，其边界曲线的正方向时L,则其外面的曲线的方向是逆时针的，内图 13-6图 13-7定理（Green公式）若有界I区域 D2的边界由分段光滑

31、的曲线L所围成，函数P x, y , Q x, y在区域D中具有一阶连续偏导数，则有其中L取正向.P八d q P x,y dx Q x, y dy y .L证明：(1).设区域D是有界单连通的闭区域，平行于坐标轴的直线与D的边界的交点不多于两个，即D既是型，又是型的区域.不妨设图 13-8D x, y |ax b,或 D (x,y)|1(y) x2(y),cQ dxdy D xdcdy2 y Qdx y x2(y),y Q 1(y),y dyQ(x, y)dyCBEQ(x,y)dyCAEQ(x, y)dyCBEQ(x,y)dyEAC同理可证2Q(x,y)dy)dxdy ? Pdx Qdy(2)

32、.若平行于坐标轴的直线与D的边界的交点多于两个，可以引入辅助曲线将区域划分为有 限个区域使得每个部分符合中所讨 论的形 式.如图13-9所示.将D分成三个既是 X -型区域又是Y -型区域D1 ,D2, D3.Q PQ P( )dxdy ( )dxdyD x yD1 D2 D3 x yQ PQ PQ( )dxdy ( )dxdy(D1 x yd2 x yd3 x蜒PdxQdyPdxL2Qdy ? Pdx QdyL3?l Pdx Qdy(Lj2,L3对D来说是正方向)(3).若区域D不止有一条闭曲线所围成，如图13-10.这时可适当添加直线段AB, CE ,则D的边界曲线由 AB , L2, B

33、A , AFC ,CE , L3, EC及CGA构成.这样就把区域转化为（2）的情形来处理.由（2）可知 图 13-10Q P（）dxdyd x yABL2BA AFC CEL3 EC CGA(Pdx Qdy)(Pdx Qdy)Li?LPdx Qdy （ Li,L2, L3对D来说为正方向）Green公式的实质：沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系.从而可应用它来简化某些曲线积分或二重积分的计算.为了便于记忆，Green公式也可写成下面形式y dxdy ?L Pdx QdyQ卜面介绍一个Green公式的简单应用.设P（x, y） y,Q x, y x ,则有格林公式，有L xdy ydxD

34、 ,1一 所以区域D的面积为A 1 Lxdy ydx,其中L是区域D的边界曲线.若取P 0,Q x,也有D的面积A ?xdy.若取Py,Q 0,也有D的面积A2 ydx.例计算星形线xacos3t,y bsin3t所围成的图形的面积.解：所成的面积为-Q xdy ydx2Lasin31 ( 3acos21sint)dt1232,一 acos t 3asin tcost2 03 2 2. 22 , a sin tcos tdt203 a2.从上面的例子可以看到，有时用公式S1-l xdy ydx计算面积相当谷易.下面利用Green公式计算一个对坐标的曲线积分.例计算3x y dyy dx,其中/

35、 2L是曲线x 1，2y 49,方向是逆时针方向.解：L是区域D x9的边界，所以有Green公式有L 3x y dyy dxD3x y x2d 2y18上面的例子中的曲线是封闭曲线,对于不是封闭曲线的曲线,也可以考虑用Green公式,不过这时要先将加一段曲线使得原来的曲线封闭.看下面的例子.计算曲线积分 Lx2ydx 2 xy2dy,其中L是半圆周AQ 1到B 0,1的曲线.解:为了能利用Green公式，连接 A, B ,得到封闭曲线BA.所以所以计算曲线积分解:令 P x, yx2ydxL BA2.x ydxBA2l x ydx 22 .x ydxL BA2 xy2dy2xD/2d/211

36、6rdr2xyydx xdy2 .xy dy112dydy2 .xy dy2 .x ydxBA2xydy其中L是条不经过原点的光滑闭曲线，方向为逆时,Q x,yP上 y x22 x2 2 y设L所围的区域为D ,若0,0 D ,ydx xdyl 22-L x y若0,0 D ,则函数Px, y ,Q x, y在点0,0不可微，所以不能直接用Green公式,取0,0的一个充分小的邻域D （其边界为，顺时针方向），使得D D .（如图x, y ,QD D中是可微的，所以ydx xdyL l 2L l x y0.所以ydx xdyL l 2L l x yydx xdy22l x yydx xdyl

37、2l x yx, y在区域图 13-112 r sin td r cost0r sintd r cost -嗔2rydx xdy2l x yydx xdyl 2l x y例计算抛物线（x、2,y) ax(a0）与x轴所围成的图形的面积.y0,曲线AMO由函数y Tax x,x 0,a表示，如图13-12.因此图 13-12解ONA为直线yA 1 _，A - ? xdy ydx1,1,xdy ydx xdy ydx2 ONA2 AMO1 xdy ydx2 AMO1 0 ax( 1)dx (., ax x) dx2 a 2、, axa a xxdx -a2.4 06二曲线积分与路径的无关性由上节例

38、可知起点与终点相同，尽管积分的路径不同，但是积分的值仍然有可能相同.而由例可知起点与终点相同，若沿的路径不同，则其积分值也不同.本部分将讨论曲线在什么 条件下，它的值与所沿的路径无关.下面先给出积分与路径无关的定义.定义 设D为平面区域，P(x, y),Q(x, y)为D上的连续函数.如果对于D内以A,B两点为起点和终点的逐段光滑曲线L,积分值l Pdx Qdy只与A,B两点有关，而同从A到B的路径L无关,就称曲线积分 Pdx Qdy与路径无关 否则称为与路径有关.由Green公式可以得到下面的定理。定理 设函数P x,y ,Q x,y在单连通区域上有连续的偏导数，则下面的四个条件是等价的：(

39、1)在区域D的任意逐段光滑的封闭曲线L上，有 Pdx Qdy 0 ；Qdy与从A到B的路径L(2)在区域D中的连接A, B的曲线段l上的曲线积分 Pdx l图 13-13无关，仅与起点和终点有关。(3) P x, y dx Q x, y dy是某个函数的全微分。P Q -(4)在区域D中有成立。 y y证明(1)(2):设A,B为D内任意两点，Li,L2是D中从A到B的任意两条路径，则C L1 ( L2)就是D内的一条闭曲线.如图13-13所示.因此0 CPdx Qdy LL Pdx QdyPdx Qdy Pdx Qdy,L1L2于是Pdx Qdy Pdx QdyL1，L2，因此曲线积分与路径

40、无关(2)(3)设A(x0,y0)D为一定点，B(x,y)为D内任意一点.由(2)可知，曲线积分Pdx Qdy与路径选择无关，所以当B(x, y)在D内变动时 淇积分值是点 B(x, y)的函AB数，记U (x, y)(x,y)(xo,y0)Pdx Qdy图 13-14取x充分性，使(x x,y) D ,则函数U对于x的偏增量U(x x, y) U (x, y) AC因为在D内对于曲线积分与路径无关，所以Pdx Qdy ABPdx Qdy.Pdx QdyACPdxABQdyPdxBCQdy.由于直线段BC平行于x轴，所以BC :t,tx, xx, yy (常数)，因而dy 0,且U U(x x

41、,y) U (x, y)Pdx QdyBCP(t,y)dt.对上式右端应用积分中值定理得U P(x x,y), 01.再因P在D上的连续性，推得11m0则P(xx, y) P(x, y).同理可证_U_ Q(x, y).于是有 yduPdx Qdy .(3)(4)设存在函数U使得dU Ux(x, y)dxy(x, y)dy Pdx Qdy,故 P(x, y) Ux(x, y), Q(x,y) U y(x, y).因此 2_2P2UQ 2U,y x y x y x2U因为P,Q在区域D内具有一阶连续偏导数，所以2U从而在D内每一点处都有(4)(1)设L为D中任一按段光滑闭曲线，记L所围成的区域为.由于D为单连通区域，所以区域含在D内.应用Green公式及在D内恒有一P,就得到y x?l Pdx QdyPdxdy y0.证毕.上面的证明还给出了当曲线积分与路径无关时,Pdx Qdy在D的原函数的构造方法，即下面的例-一一 ，、r P Q , 一例设P x, y dx Q x, y dy是某个区域 D的函数的全微分，即 .求此函数.y yp q ,解：设L是区域D中的从点A xo, yo到点B x, y的光滑曲线段.由于 ，由 y y前面的定理可知，曲线积分P x, y dx Q x,y dy与路径无