柯西不等式(原始版)题型分类

1、柯西不等式（原始版）的习题分类柯西不等式已经成为高考当中的新贵，去年全国卷 II的选修4-5不等式选讲，已经出 现了柯西不等式命题，因此对柯西不等式几种典型习题加以分类，有助于知识的掌握。一、柯西不等式（原始版）1、a12a2 b12b2a1bla2b2 2 ,当且仅当向量aa1,a2, bb1,b2同向时候成立，如果匕也0时，那么当且仅当亘乏时成立。 bi b22、a12a2a；b12b；b；a1bla2b2a3b3 2 ,当且仅当a1 ： a?: a3bi ： 2 ： b3 时等号成立。nnn23、 a2 b：akbk ,当且仅当 a ：a2 ：a3：an b1 ： d ： 4 ：bn 时

2、等号成立。k 1 k 1k 1由以上柯西不等式（原始版）来看，柯西不等式是齐次，不等式左右两边的式子的次数相等，因此做题的时候可以抓住这个关键进行应用。二、常见题型1、1次 1次常数。例1、已知a b 1,且a,b 0,求。1的最小值。a b解析：这道题的方法非常多，利用二元的均值定理可以求解，但是应用柯西不等式更加方便。考虑最后求解的形式一定是 11k, k为某个常数，那么不等式左边1次，a b右边为0次，并不相等，所以左边要乘以a b,这样左边变成了 a b I I ,次数就 a b成为了 0,就可以应用柯西不等式。11 11ab11a J1b 4,当且仅当a b 4:已知a b c,证明

3、- a b时等号成立，所以的最小 abab.a b2a b值为4。显然以上对例1的求解，柯西不等式比均值定理更为简单，有些优势，而且柯西不等式的应用范围更加广泛。例 2、若 a,b,c 0,求证 111abe 9。 a b c解析：可以直接应用柯西不等式 2111abe J1 a卜小 9,当且仅当a b c 1时等号成立。a b ca. b. c练习:1、已知 a,b,c 0,证明：111 9 a b c a b c2、已知a,b, c 0,证明:提示：2 a b c3、已知 a,b,c,并且a b1,求的最小值。b c c a2、2次常数1次提示：设x a b, y b c,且 x,y 0

4、o提示：1 ； a b a b b c2例3、已知士 y 1,求x y的取值范围。 4解析：这道题可以用椭圆求切线的方法，也可以利用参数方程，但是利用柯西不等式会更简单。2这类问题是转化形如 -y2 ki k2x y2 （MH为某两个常数）的柯西不等式进行求4解，关键是常数ki,k2的确定。观察柯西不等式a2a2b）2b2aibia2b22 ,有a：bi2ab22i 1,2 ,相应的kix2 , y2k2y2,易得k14,k21。42所以y2 4 1 x y2,即15 x y2,所以 J5 x y J5。 4例4、已知x2 y2 z2 1,求x 2y 3z的取值范围。分析：需要转化为形如x2y

5、2z2kik2k3x 2y 3z2的柯西不等式，有 x2kix2,y2k24y2 , z2k39z2,解得 kiIR 4人 9。解：x2 y2 z2 1 4 9 x 2y 3z 2 ,即 x 2y 3z2 13,所以 Ti3 x 2y 3z 布。例5、已知x y z 1,求x2 2y2 z2的最小值。角牛析：x y z 1 1 x 2y z,即1-x 2y z,所以 x 2y z 一， 225当且仅当W牛邑即x z 2,y1，或时等号成立，所以x2 2y2 z2的最小值为？111555解析：设a 口,b则a2 b2 3 （一定要是其平方和为常数），则y a”b ,由柯西不等式，a2 b2 1 2 a 72,即3 3 y2 ,所以y 3,当且仅当月 2,即x 01. 2时等号成立。练习：1、已知x y 2z 2,求x2 3y2 2