概率论与数理统计模拟试题

1、模拟13t题A.单项选择题(每小题3分，共9分)2, 3。那么事件* =1.打靶3发，事件4表示“击中i发"，i = 0,1 表不()。(A )全部击中；(C )必然击中；(B )至少有一发击中;2.设离散型随机变量x的分布律为则常数A应为()。1(D)(A )十；(B ) e3.设随机变量;，服从二项分布 B ( n, p ),其中n = 1, 2,，那么，对)olim.于任一实数 x ,有1二、填空题(每小题3分,1.设A , B为两个随机事件，且(B )-1(D )：12分)P(B)>0,则由乘法公式知P(AB)= 2.%(2)= 0.97/ =n 97725 昂式4)

2、= 1/=0.8413，则非“或=。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概 率为 3，则4人中至多1人需用台秤的概率为 ： 。4.从1, 2,，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不 相同的事件的概率等于 。三、(10分)已知X70 ,求证炉一kQx)四、(10分)5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查到次品时为止，用x表示检查次数，求占的分布函数：F(x)二 P：<行五、(11分)设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82%，瘦者占8%，又知肥胖者患高血压的概率为20%,

3、不胖不瘦者患高血压病的概率为10%，瘦者患高血压病的概率为5%,试求：（1 ）该地区居民患高血压病的概率 ；（2 ）若知某人患高血压，则他属于肥胖者的概率有多大?六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量占和取，其概率密度分别是 ：°' x<°o, ”0如果 岁与"相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率：（1 ）到时刻 名两家的元件都失效（记为A）,（2 ）到时刻两家的元件都未失效（记为B）,（3 ）在时刻%至少有一家元件还在工作 （记为D）。2七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过 4

4、。八、（10分）设和"是相互独立的随机变量，其概率密度分别为孰仁”（卫>010, 工 M0口 3W "又知随机变量0，自”,试求w的分布律及其分布函数。九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为7.5 kg且 强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取 25件作强力试验，算总工工£ （三一 刀了三9元目得 125 Ml,问新产品的强力标准差是否有显著变化？（分别取。三0Q5和0.01,已知收/几）二宕,“（24）= 36.415迅忘4）7298 点/2心一06孤居朔（24” 46.92日）100ml的水中十、（11分）在考查硝酸钠的可溶

5、性程度时，对一系列不同的温度观察它在 溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下：温度Xj04101521293651能重量A6677L076 38043J.792.939.4113.6125.1从经验和理论知M与玛之间有关系式必="婀+0J = Lf9?且各与独立同分布于“(°卬)。试用最小二乘法估计a , b.概率论与数理统计模拟试题A解答一、单项选择题1. (B) ；2. (B);3.(D)二、填空题1891. P(B)P(A|B) ;2. 0.3174;3.二 5 二；4.-1 '=0.3024三、解：因丫5，故可取 吊加其中uN ( 0, 1),耳/(用)，且u与

6、y相互独立。从而与y也相互独立。又由于 工2=贮=唯fQ,典)于是 .：四、岁的分布律如下表：1<<22 <33 < x <44 <z ,5 k > 5五、4(i= 1,2, 3 )分别表示居民为肥胖者，不胖不瘦者，瘦者B : “居民患高血压病 ”则产二0.1, P叱。 F二山兜网同4)二0.2尸缶区)二0 1尸(£包)二0.05， ，由全概率公式=） = 0106菱-i由贝叶斯公式六、（x , h）联合概率密度M五）二付（幻啊（» ='o,其他(。4 ¥*： = ”e 以-" (1 ) P(A)=P(B

7、)3F» =P(A) = 1- PQA)=产 +/铲访-稣七、证一：设事件A在一次试验中发生的概率为 p，又设随机变量则 p( = 0) = l-p ,D；=l) = pD(£) = Ef -(EG，= F-F)ma2j 口二1 故一 八、因为%，班=广£-O叫M从田曲 dx = 1 -=且十总月十S所以w的分布律为WQ1PBAABw的分布函数为0 ,x< 0B月二-0-011 tx >九、要检验的假设为 为：,"；=7兀 心次I%'%4=乂f=4。.口在 & = 0.。5 时，了=40.11死.415必（24）=% 仍一1）

8、 故在 以二0.05时，拒绝 过口认为新产品的强力的标准差较原来的有显著增大 当4 = 0.01 时，K -72考二砥（24故在口二0.01下接受直o ,认为新产品的强力的标准差与原来的显著差异、/士 H. CF冏 Q.87. & = 7-乐总 67.51 > 疗；-7 5口 仇 4 Hl 仃'H - J.52 , r汪：。："改为。：也可示=占£舄= 26,十、九-1= 101442-12=76218.179£玛=24628.6i-i模拟t式题C（A.B.D）一.填空题（王而3分，共15分）汽月）二产5） = PC、） = -t 产（AS）

9、 =PBC） = O,产（月二 L1.设A,B,C是随机事件，4S则A, B, C三个事件恰好出现一个的概率为 。1 ,2.设X,Y是两个相互独立同服从正态分布的随机变量，则E（|X-Y|）=，3.是总体X服从正态分布N（°，”），而工1，工2、工 15是来自总体X的简单随机样本,Y =则随机变量若十,丁昂2四+屋服从4 . 设随机变量，=:X的密度函数3工,0V工 1。，其他,Y表示对X的5次独立观察终事1件L 2J出现的次数，则DY=5 .设总体X的密度函数为口工工”是来自X的简单随机样本，则X的最大似然估计量e_二.选择题（每小题3分，共15分)、八尸【躯”（躯=11 ，则下列

10、结论成立的是（）（A） 事件A和B互不相容；（B） 事件A和B互相对立；（C） 事件A和B互不独立；（D） 事件A和B互相独立。2 .将一枚硬币重复郑 n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X与Y的相关系数等于（(A) -1(B) 0(C) 1/2(D) 13 .设斗和居分别为随机变量与和匕的分布函数，为使正二喇-此（力是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组值中应取（）。3222（AM 二巳力二一士年）口 二士 力二士5533-13-13©口:-r =-）修=-22223.设是来自正态总体“（从仃）的简单随机样本，支是样本均值，记障£阳-闺"&#

11、163;囱-幻”典gUi1 溜1_蹬二一=一（其 - 2y4-1方弗一1n则服从自由度为n-1的t分布随机变量为（）。 X 一线小 X一3二7,£ 二邑/VT（加 x-J ”"J 品 / 4普 _ 1& 14 -15.设二维随机变量（X, Y）服从二维正态分布，则随机变量 。=X + F与"=JT-y不相 关的充分必要条件为（）。（矶二百（门（5）或£口）卫（X）二凯夙门产（C汨【才之）=夙）（。）耿*。+£（©=闿7+双门三、（本题满分10分）假设有两箱同种零件，第一箱内装 50件，其中10件一等品，第二箱 内装30件，其中

12、18件一等品。现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取出的零件是一等品的下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率。四、（本题满分10分）假设在单位时间内分子运动速度X的分布密度为6x(1-x)? C) cx<k 其他r = -a求该单位时间内分子运动的动能2的分布密度，平均动能和方差。五、（本题满分10分）设随机变量 X与Y独立，同服从0,1上的均匀分布。试求：（1）Z=|X-Y|的分布函薮与蹙度函数；（2）P| Z-EZ|<27dZ）.六、（本题满分10分）某箱装有100件产品，其中一、二和三

13、等品分别为80件、10件、10江L若抽到工等品6 = 12,33X1二：4件，现从中随机抽取，记3 % 其它，试求：（1）随机变量 凡与匕的联合分布；（2）随机变量 笈1与*2的相关系数。“人=之七、（本题满分15分）设总体X的密度函数为2g是来自X的简单随机样本，试求：醺最大似然估计（2）提否是四有效估计，为什么？G）娓否是徽相和估计，为什么？八、（本题满分15分）某化工厂为了提高某种化学药品的得率，提出了两种工艺方案，为了研究哪一种方案好，分别对两种工艺各进行了 10次试验，计算得法=65.96,品=3351&=69.43,氏=2246,假设得率均服从正态分布，问方案乙是否能比方案

14、甲显著提高得率（口=0.01） ?附：班(93) = 6乂瓯©9) =5/411M(18) = 2 27S,£om(18> 2.5524,(1?) = 2.8609,01(19) = 2.5395概率论与数理统计模拟试题C解答一，CC- 值 (31FCia5)C4)DY = (5)皿为2 R84片出二、 D AH)£三、设昆=被挑出的是第箱=L24 =隔次取出的零件是一等品J = 12 那么由题设知户电）=尸（=1#=（由金概率公式得1113 2尸但卜尸陷）尸（当IHH尸）F（4 |/=万乂= Mmm4人 产阳耳）产出）产但4|%）十户（区）产同区|兄）FI

15、出=（47 =西乂不上+里乂马W-4.2 50 49 30 292EY =:梅1/ 6x(1 -总公-3喀卜，(1 - x)办=DY = EY2 - (EY)2 =6- - 0-万灿嘿> =40084-40028000, z < 0五、 F2 （j） = ' 2x-x2,0 < r<l l,x > 12（1- A）,0 < A < 10,其它（2）EZ = -9DZ = 318（1（上亘3+4、泛PZ- SZ |< 2jDZ = Jo 3 2（1 -x）dx = 六、（1）设事件4 = 抽到等品（3 = 123）曲题意知4,4,4两两互不

16、 相容，尸=08尸=尸（4）=0.L则（即当藤合分布律为 产（W 二 0,工2 二 0）二（血）二。1 产（居二0,名二1）二产（4）二。1 户® 二 1,左二0）二产=0.8产（彳=1,占=1）=尸（防=0（2）.% = 08% =0.1DX、= 0,8 x 0.2 = 0.16, DX2 = 01x0.9 = 0,09£（jr2） = 0x0x0.1 + 0x1x0.1 + 1x0x0.84-1x1x0=0=5（3工2）-SXrSX2 =-0.8x01 = -0.08_ 一。，（几名）_-0.08_ _2口 - yjDX1 . DX2 70.16x0.09 3七、（D似

17、然函数为 £0）=）,7.见2”In L&) = -win 2- win 日一£| 演 |G J-1令等 =十'力片I:0,得物最大似然估计为 2-1a 1 n斤一£11Wi-lr +s-1 r-t-iD (2)S9= EX= xQ 编一私网町（勺十的一 2）M - 1隔十（町一 1）d V不1 +e查人分布表得仇0508） = 2.5524,因！ <-2,5524,故拒绝原假设之:分之心,即认为方案乙比方案甲显著提高得率。 dX =9dx = 9即提热无偏估计。EX2 = 2dX=- x2& =26 J-gQ J。-J3+2办=26

18、DX= 2&2-G2 =G29D& = -YDxi = - 同21nX,e)因为26竺-卷+豺G冷1®n二口所以辞谢有效估计. 因£0= 0,0（0）="tQm T8,所以旄第湘台估计。 n八、CO检验假设为 ： £ =用，%：用H因，因为</? = * = =1.51耳 oo 式 9,9） = 6.54 6.542.2246'所以要接受假设当：8：=%=-4.6469（2）检蜡假设H。：丛甲N幺乙，H；: 甲乙模拟t戈题D（A.B.C）1 、 填空题一（茴题3分，共15分）1 .甲、乙二人独立地向同一目标射击一次，其命中率

19、分别为0.6和0.5,现已知目标被命中，则它是甲命中的概率是 。式耳之 o,r>=p（y>o）= -2 .设X和Y为两个随机变量，且77,则（匕力 <0）=。3 .设随机变量X与Y独立，XE2,p）， yE（3,p）,且1） 9，则 /X” = 1） =。4 .设',及八"'、"11是来自正态总体N （0, 1）的简单随机样本，令 小仪W +豆+Xj +V+ *）2飙为使工服从炉分布， 贝 U a=,b=.5 .设由来自正态总体的一个容量为9的简单随机样本计算得样本均值为5,则未知数 月的置信度为0.95的置信区间为 。2 .选择题（每小题

20、3分，共15分）1 .当事件A与事件B同时发生时，事件 C必发生，则（）。（a F© < P（A） +- 1（B ）尸（。> 尸缶）+ P（_B） - 1（C）P（C） = P（AB）10尸）=尸0 U 汾2 .设随机变量X服从指数分布，则随机变量 Y = min （X, 2）的分布函数（）。（A）是连续函数；（B）至少有两个间断点；（C）是阶梯函数；（D）恰好有一个间断点。3 .设随机变量 X和Y独立同分布，记 U = X-Y, V = X +Y,则随机变量 U与丫也（）。 （A）不独立；（B）独立；（C）相关系数不为零；（D）相关系数为零。4 .设总体X服从正态加（M

21、）分布，（对苟，工）是来自X的简单随机样本，为使仃=月XI为口是仃的无偏估计量，则 a的值为（）。 j 二 （c）_L=,<n）J T5 .对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平以二0.05下，接受假设五。"二餐，则在显著水平s = 0.Ol下，下列结论中正确的是（）。(A)必接受过口；(B)可能接受，也可能有拒绝丹口 ；(C)必拒绝 外 ,(D)不接受，也不拒绝 为。三、(本题满分10分)三架飞机：已架长机两架僚机，一同飞往某目的地进行轰炸，但要到达目的地，一定要有无线电导航。而只有长机有此设备。一旦到达目的地，各机将独立进行轰炸，且每架飞机炸毁目标的概率均为0.3

22、。在到达目的地之前， 必须经过高射炮阵地上空。此时任一飞机被击落的概率为0.2,求目标被炸毁的概率。四、(本题满分10分)使用了 七小时的电子管在以后的£小时内损坏的概率等于力空+ 口杜£),其中之是不依赖于片的数，求电子管在T小时内损坏的概率。/与五、(本题满分10分)设随机变量X与Y独立同服从参数为1的指数分布。证明T相互独立。六、(本题满分10分)设二维随机变量(X, Y)的联合密度函数为山川小汾为其它p(x > 11 r > 0)(1) 计算2；(2) 求X与Y的密度函数；(3) 求2 = * + 丫的密度和函数。七、(本题满分15分)设总体X服从正态卿

23、口卬二)分布，冗是来自x的一个样本，疗是未知参数。(1) 区域仃。的最大似然估计量 台° ；(2) 是否是 仃。的有效估计？为什么？八、(本题满分15分)设有线性模型£ 二 0十呵= 2石+与乙20 6 +七* ,几=口 + 2占+ e4取二口 +白斗工其中可，与,三，5,邑，相互独立，同服从正态 丛(0,叮)分布：(1) 试求系数 C 的最小二乘估计；(2) 求b21的无偏估计量；(3) 求构造检验假设出鼻二瓦巴1 "HE的统计量。概率论与数理统计模拟试题D解答1、 1.0,752.-34m二力二二一5.4,412,5,5£87243m n-m2、 1

24、 分2.D 3D 4D 5.B三、设坨=微有飞机到达目的地3=忸有长机到达目的地;旦二张机和一架僚机到达目的地 与二心架飞机到达目的地;，”由标被炸毁见 U 汽时 片也%咒编)=QAxOlxaa = 01031(*2)=2x ® 哥二 Mx 03=*25卷/%»0=0_»a=在41入与11星1!821)曷=34声二口才=J= QJUU -丰 j且产7艮 j=03rP) = 03+03-03/ =01511¥>=03 +03+03-3> C0 3): i 0=0交，故由全慨率公式得3尸YI二三9B 巧一半 =_ 00.032 X0.30.256

25、A 0.51 + 一0.512x0.657 -0.48四.设障机变量工表示电子管损坏前已使用的时数卸寿命）并设产e由 工的分布函数，根据题给条件得尸& <X<t+ Jr|AF <t= 但由条件概率公式有班平小士聋/LPr<Xrf Jx_F(r + Jx)-F(r)-PX> i-=1 一产= zlr+a(dr)F(r + Jr) - F(fy = 21 - F(f)Jjr+ o(Jr)典早产二印一产d(l-F )1 一斤©注意到初始条件尸（0） = 0：于是积分后得叩-尸哪=-玮产（。二1一516>0）于是油分布函数为F(0 =£&

26、gt;0r <0因而所求概率为 f（f）= i-厂,义的密度函数1一厂，t>Q af <oA即八艘从指数分布。五、（MF那联合密度函数为七式”）=在鸿G）=x> 0,j >0, 其他由于函数& = K4兄产=二4A 00满足条件;J（1语在唯一反函数x =J = >0Bv>01 + v1 + v(2)有一阶连续偏导数dx _ v £x uSu 1+v i5V (1 + v)2 _ I £y _ uSu 1-t-v(1+ m)2£x故 J=?lirv1-S-vu(1+v)2_ _ uu (1+v)2一碎所叫4=从而QJ.的联合密度函数为私3a=同=，&u= u> O2v> 0io:其他故（二。关于U=刀S的密度函数为« > 0Q:u <0关于哼的密度函数为1c-A-, V > 0丹包=1（1+m2|0ay«0从而隼町血回二