20142017高考真题选修45不等式选讲

1、选修4-5 不等式选讲考点 不等式选讲1.（2017新课标,23）已知函数f（x）=x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x1|（10分）(1)当a=1时，求不等式f（x）g（x）的解集；(2)若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围1.（1）解：当a=1时，f（x）=x2+x+4，是开口向下，对称轴为x= 的二次函数，g（x）=|x+1|+|x1|= ，当x（1，+）时，令x2+x+4=2x，解得x= ，g（x）在（1，+）上单调递增，f（x）在（1，+）上单调递减，此时f（x）g（x）的解集为（1，；当x1，1时，g（x）=2，f（x）f（1）=2当x（，1）时，g（x）

2、单调递减，f（x）单调递增，且g（1）=f（1）=2综上所述，f（x）g（x）的解集为1，；（2）依题意得：x2+ax+42在1，1恒成立，即x2ax20在1，1恒成立，则只需，解得1a1，故a的取值范围是1，12.（2017新课标,23）已知a0，b0，a3+b3=2，证明：（）（a+b）（a5+b5）4；（）a+b22.证明：（）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）（+ ）2=（a3+b3）24，当且仅当= ，即a=b=1时取等号，（）a3+b3=2，（a+b）（a2ab+b2）=2，（a+b）（a+b）23ab=2，（a+b）33ab（a+b）=2，=ab，由均值不等式可得：=ab（

3、）2，（a+b）32 ，（a+b）32，a+b2，当且仅当a=b=1时等号成立3.（2017新课标,23）已知函数f（x）=|x+1|x2|（）求不等式f（x）1的解集；（）若不等式f（x）x2x+m的解集非空，求m的取值范围3.（）f（x）=|x+1|x2|= ，f（x）1，当1x2时，2x11，解得1x2；当x2时，31恒成立，故x2；综上，不等式f（x）1的解集为x|x1（）原式等价于存在xR使得f（x）x2+xm成立，即mf（x）x2+xmax，设g（x）=f（x）x2+x由（1）知，g（x）= ，当x1时，g（x）=x2+x3，其开口向下，对称轴方程为x= 1，g（x）g（1）=11

4、3=5；当1x2时，g（x）=x2+3x1，其开口向下，对称轴方程为x= （1，2），g（x）g（）=+ 1= ；当x2时，g（x）=x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= 2，g（x）g（2）=4+2=3=1；综上，g（x）max= ，m的取值范围为（，4.（2017江苏,21D）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd84. 证明：a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cos，b=2sin，c=4cos，d=4sinac+bd=8（coscos+sinsin）=8cos（）8当且仅当cos（）=1时取等号因此ac+bd85.(2016·

5、全国，24)已知函数f(x)|x1|2x3|.(1)在图中画出yf(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集.5.解(1)f(x)yf(x)的图象如图所示.(2)当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5，故f(x)>1的解集为x|1<x<3；f(x)<1的解集为.所以|f(x)|>1的解集为.6.(2016·全国，24)已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时，求不等式f(x)6的解集；(2)设函数g(x)|2x1|.当xR时，f(x)g(x)3，求a的取值范围.6.解(1)当a2时，f(x)|2x2|2.解不等式|

6、2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集为x|1x3.(2)当xR时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a，所以当xR时，f(x)g(x)3等价于|1a|a3.当a1时，等价于1aa3，无解.当a1时，等价于a1a3，解得a2.所以a的取值范围是2，).7.(2016·全国，24)已知函数f(x)，M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|<|1ab|.7.(1)解f(x)当x时,由f(x)<2得2x<2，解得x>1,所以,-1<x-；当-<x<时，f(x)<2；当x

7、时，由f(x)<2得2x<2，解得x<1，所以，-<x<1.所以f(x)<2的解集Mx|1<x<1.(2)证明由(1)知，当a,bM时,-1<a<1,-1<b<1,从而(ab)2-(1ab)2a2b2-a2b2-1(a2-1)(1-b2)<0，即(ab)2<(1ab)2，因此|ab|<|1ab|.8.(2015·重庆，16)若函数f(x)|x1|2|xa|的最小值为5，则实数a_.8.4或6由绝对值的性质知f(x)的最小值在x-1或xa时取得,若f(-1)2|1-a|5,a或a，经检验均不合适；

8、若f(a)5，则|x1|5，a4或a6，经检验合题意，因此a4或a6.9.(2015·陕西，24)已知关于x的不等式|xa|b的解集为x|2x4.(1)求实数a，b的值；(2)求的最大值.9.解(1)由|xa|b，得baxba，则解得a3，b1.(2)24，当且仅当，即t1时等号成立，故()max4.10.(2015·新课标全国，24)已知函数f(x)|x1|2|xa|，a>0.(1)当a1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.10.解(1)当a1时，f(x)>1化为|x1|2|x1|1>

9、0.当x1时，不等式化为x4>0，无解；当1<x<1时，不等式化为3x2>0，解得<x<1；当x1时，不等式化为x2>0，解得1x<2.所以f(x)>1的解集为.(2)由题设可得，f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a1,0),C(a,a+1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，).11.(2015·新课标全国，24)设a、b、c、d均为正数，且abcd，证明：(1)若abcd，则；(2)是|ab|cd|的充要条件.11.证明(1)

10、因为()2ab2，()2cd2，由题设abcd，abcd得()2()2.因此.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24ab(cd)24cd.因为abcd，所以abcd.由(1)得.若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.综上，是|ab|cd|的充要条件.12.(2014·广东，9)不等式|x1|x2|5的解集为_.12.x|x3或x2原不等式等价于或或解得x2或x3.故原不等式的解集为x|x3或x2.13.(2014·湖南，13)若关于x的不等式|ax

11、2|<3的解集为，则a_.13.3依题意，知a0.|ax2|<33<ax2<31<ax<5，当a>0时，不等式的解集为，从而有此方程组无解.当a<0时，不等式的解集为，从而有解得a3.14.(2014·重庆，16)若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_.14.令f(x)|2x-1|x+2|,易求得f(x)min,依题意得a2+a+2-1a.15.(2014·新课标全国，24)设函数f(x)|x|xa|(a>0).(1)证明：f(x)2；(2)若f(3)<5，求a的取值范围.15.

12、(1)证明由a>0，有f(x)|x|xa|x(xa)|a2.所以f(x)2.(2)解f(3)|3|3a|.当a>3时，f(3)a，由f(3)<5得3<a<.当0<a3时，f(3)6a，由f(3)<5得a3.综上，a的取值范围是16.(2014·天津，19)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M0,1,2，q1，集合Ax|xx1x2qxnqn1，xiM，i1,2，n.(1)当q2，n3时，用列举法表示集合A；(2)设s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，其中ai，biM，i1,2，n.证明：若an<bn，则s<t.16.(1)解当q2,n3时,M0,1,Ax|xx1x2