高中数学探究性试题汇编（四）新人教A版

1、高中数学探究性试题汇编（四）课堂教学改革的目的，一是要打破传统教学束缚学生手脚的陈旧做法；二是要遵循现代教育以人为本的的观念，给学生发展以最大的空间；三是能根据教材提供的基本知识，把培养学生创新精神和实践能力作为教学的重点。数学探究性学习是以学生探究为基本牲的一种教学活动形式。具体是指在教师的启发诱导下，以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以学生已有知识经验和生活经验为基础，以现行教材为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的一种教学活动形式。它可使学生学会学习和掌握科学方法

2、，为学生终身学习和发展奠定基础。探究性试题有助于数学思维的提高。31在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点、，若点满足（），点的轨迹与抛物线：交于 、两点.（）求证：；（）在轴上是否存在一点，使得过点直线交抛物线于D、E两点，并以该弦DE为直径的圆都过原点。若存在，请求出的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.解：1）解：由（）知点的轨迹是、两点所在的直线，故 点的轨迹方程是：即 .2分由 故 . 6分 2）解：存在点，使得过点任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点 由题意知：弦所在的直线的斜率不为零 7分故 设弦所在的直线方程为： 代入 得 故以为直径的圆都过原点 .10分设弦的

3、中点为 则 弦的中点的轨迹方程为： 消去得 . 14分32设函数R.（I）求函数的最值；（）给出定理：如果函数在区间上连续，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在.运用上述定理判断，当时，函数在区间内是否存在零点.解：（I）令2分由知f（x）无最大值.6分（）函数f（x）在m，2m上连续.上递增.8分由10分又根据定理，可判断函数f（x）在区间（m，2m）上存在零点.12分33已知数列an有a1=a，a2=p (常数p>0)，对任意的正整数n，Sn=a1+a2+an，并有Sn满足。 (1) 求a的值； (2) 试确定数列an是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由； (3

4、) 对于数列bn，假如存在一个常数b使得对任意的正整数n都有bn<b，且，则称b为数列bn的“上渐进值”，令，求数列p1+p2+pn-2n的“上渐进值”。解：（1），即 （2） 是一个以为首项，为公差的等差数列。 （3）， 又，数列的“上渐近值”为。34已知函数, 且的图象经过点, 数列为等差数列.(1) 求数列的通项公式(2) 当n为奇数时, 设问: 是否存在自然数m和M, 使得不等式恒成立? 若存在, 求出的最小值; 若不存在, 请说明理由.解: (1)由题意得即. 令, 则令,则令, 则(3分)设等差数列的公差为d, 则(5分).(6分)(2)由(1)知: . n为奇数时, (7分

5、)(9分)由得: (10分)设, 随n的增加而减小.又随n的增大而减小, 为n的增函数. (12分)当时,而(13分)由此易知: 使恒成立的m的最大值为0, M的最小值为2, Mm的最小值为2. (14分)35已知等差数列an的首项a11，公差d0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项（）求数列an的通项公式；（）设bn（nN*），Snb1b2bn，是否存在最大的整数t，使得任意的n均有Sn总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由解：（）由题意得（a1d）（a113d）=（a14d）2， 2 分整理得2a1dd2a11，解得（d0舍），d2 4 分an2n1

6、（nN*） 6 分（）bn（），Snb1b2bn（1）（）（）（1） 10 分假设存在整数t满足Sn总成立.又Sn+1Sn0，数列Sn是单调递增的 12 分S1为Sn的最小值，故，即t9又tN*，适合条件的t的最大值为8 14 分36 已知数列满足：，（）求数列的通项公式；（）求使不等式成立的所有正整数、的值解 （）由2 an+1 = 3anan1（n2），得 2（an+1an）= anan1，因此数列 anan1 是以a2a1 = 1为首项，为公比的等比数列， ，4分于是 an =（anan1）+（an1an2）+ +（a2a1）+ a1 = 6分（）由不等式，得 ， ，即 ，8分所以 2（

7、4m）· 2n 8 2n为正偶数，4m为整数， （4m）· 2n = 4，或 （4m）· 2n = 6， 或 或 或 解得 或 或 或 经检验使不等式成立的所有正整数m、n的值为（m，n）=（1，1）或（2，1）或（3，2）12分说明 问题（1）的归纳做法是：由已知可得， ，于是 37已知圆上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足. （1）求点G的轨迹C的方程； （2）过点（2，0）作直线，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设 是否存在这样的直线，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.解：（1）

8、Q为PN的中点且GQPNGQ为PN的中垂线|PG|=|GN|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长，半焦距，短半轴长b=2，点G的轨迹方程是 （2）因为，所以四边形OASB为平行四边形若存在l使得|=|，则四边形OASB为矩形若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由矛盾，故l的斜率存在.设l的方程为 把、代入存在直线使得四边形OASB的对角线相等.38设无穷数列an具有以下性质：a1=1；当 （）请给出一个具有这种性质的无穷数列，使得不等式 对于任意的都成立，并对你给出的结果进行验证（或证明）； （）若，其中，且记数列bn的前n项和Bn，证明：解：（）

9、令， 则无穷数列an可由a1 = 1，给出. 显然，该数列满足，且 6分 （） 8分 又 39. 已知抛物线，过C上点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线。 若C在点M的法线的斜率为，求点M的坐标（）；设为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由。解（1)函数的导数上点处切线的斜率，因为过点的法线斜率为，所以，解得，故点M的坐标为。（2）设为C上一点，若，则C上点处的切线斜率，过点的法线方程为，此法线过点；若，则过点的法线方程为： 若法线过，则，即 若，则，从而，将上式代入，化简得：，若与矛盾，若，

10、则式无解。综上，当时，在C上有三点及，在这三点的法线过，其方程分别是： 。当时，在C上有一点，在这点的法线过点，其方程为：。40已知函数 （1）求函数f(x)是单调区间； （2）如果关于x的方程有实数根，求实数的取值集合； （3）是否存在正数k，使得关于x的方程有两个不相等的实数根？如果存在，求k满足的条件；如果不存在，说明理由.解：（1）函数的定义域是对求导得 （2分）由 由因此 是函数的增区间；（1，0）和（0，3）是函数的减区间 （5分）（2）解法一：因为所以实数m的取值范围就是函数的值域 （6分）对令当x=2时取得最大值，且又当x无限趋近于0时，无限趋近于无限趋近于0，进而有无限趋近于.因此函数的值域是 即实数m的取值范围是 （9分）解法二：方程有实数根等价于直线与曲线y=lnx有公共点，并且当直线与曲线y=lnx相切时，m取得最大值. （6分）设直线相切，切点为求导得解得 所以m的最大值是。而且易知当与曲线y=lnx总有公共点。因此实数m的取值集合是 （9分）（3）结论：这样的正数k不存在。 （10分）下面采