数列分节复习

1、有志的人战天斗地，无志的人怨天恨地。 数列复习【基本公式】1.数列的通项an与前n项和Sn的关系: Sn = a1 + a2 + a3 + + an 2.等差数列和等比数列等差数列等比数列定义an an-1 = d (n2)通项公式an = a1 + (n-1)dan = am + (n-m)dan = a1qn-1 (a10,q0)an = amqn-m (am0, q0)中项2A = a + bG2 = ab前n项和【常用的思想方法】数列中蕴涵着丰富的数学思想和方法. 1. 递推的思想: 数列中的项与项数建立了对应关系,因此可以对数列中前几项的研究,通过归纳、猜想、证明发现规律. 2. 函

2、数的思想: 数列是一类特殊的函数, 在处理数列问题时,借用函数的观点进行研究和讨论. 3. 方程的思想: 等差、等比数列的通项公式和前n项和公式涉及五个基本量(a1、d(或q)、an、n、Sn)间的联系, 通过建立方程、方程组完成基本运算“知三求二”. 4. 分类讨论的思想: 在解等比数列问题时, 要对q进行讨论;已知Sn求an时,要对n进行讨论. 5.等价转换的思想: 数列问题常常可以转化为函数问题、方程问题; 有时将复杂的数列问题转化为熟悉的等差、等比数列问题. 6. 待定系数法: 引入待定参数是研究数列问题的常用策略. 7. “错位相减法”、“裂项相消法”: 数列求和最常用的方法. 3.

3、1 数 列【基础练习】1. 数列an的前n项和Sn = n2+2n+5，则a6+a7+a8 = .2. 已知数列则是它的第 项.3. 数列1,1,2,3,5,8,13,x,34,中x的值为 .4. 已知a1= 1,则a5 = .5. 已知数列an的前n项和Sn满足log2(Sn+1) = n+1,则an = .【典型例题】【例1】根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式:(1) 2,5,9,17,33, ; (2) ;(3) 0,1,0,1, ; (4) 8,88,888,8888, .【例2】已知数列an的通项.试问该数列有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,说明理由.【变式

4、1】已知数列的通项公式 , 求它的最大项.【变式2】数列an中,a1 = 1,求证:当n > 1时 ,1<an < an+1 <2 .【例3】根据下列条件,写出数列中的前4项,并归纳猜想其通项公式: (1) a1 = 3 , an+1 = 2an + 1 ; (2) a1 = a , ; (3) 对一切nN*,an > 0且.【例4*】已知函数.(1) 求证:函数y = f(x)的图象关于点对称;(2) 求f(-2) + f(-1) + f(0) +f(1) +f(2)+f(3);(3) 若,求证:对任何自然数n总有成立.【变式】设数列an满足an+1 = an2

5、 - nan +1 , n = 1, 2 , 3 , .() 当a1 = 2时 , 求a2 , a3 ,a4 ,并由此猜想an的一个通项公式;() 当a1 3时,证明对所有的n1,有an n+2 .【小结】 (1) 例1、例3是求数列的通项.用归纳法写出数列的一个通项公式,体现了由特殊到一般的思维规律.对于项的结构比较复杂的数列,可将其分成几个部分分别考虑,然后将它们用运算规律结合起来.联想和转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法. (2) 例2、例4是研究数列的性质:数列是一类特殊函数,由通项公式研究数列是常用方法,因此要重视函数思考方法的运用和函数性质的应用. (3),其中Sn是数列an

6、的前n项的和.【达标测试】1.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,的一个通项公式是 ( )(A) (B) (C) (D) 2.已知,则数列an的最大项是 ( ) (A) a12 (B)a13 (C) a12 或a13 (D) 不存在3.已知数列an,其中a,b,c均为正数,那么an与an-1的大小关系是 (A) an > an-1 (B) an < an-1 (C) an = an-1 (D) 不能确定4. 数列an中,a1 = 1 ,对所有的n2,都有a1·a2·a3··an = n2 ,则a3 + a5等于 (A) (B) (C) (

7、D) 5. 已知数列an的前n项和Sn = 5n 3 , 则a6+a7+a8+a9+a10 = .6. 设an是首项为1的正项数列，且（n+1）(n=1，2，3，)，则它的通项公式是 .7. 已知数列an满足(1) 求(2) 证明.8. 设函数f(x) = log2x logx2 (0 < x <1) ,数列an满足(nN*).(1)求数列an的通项公式; (2) 判断数列an的单调性.9. 数列an中,a1 = 8 ,a4 = 2且满足an+2 2an+1 + an = 0(nN*).(1) 求数列an的通项公式;(2) 设Sn = |a1|+|a2|+|an| ,求Sn ;(3

8、)* 设,Tn = b1+b2+bn(nN*),是否存在最大的整数m使得对任意nN*均有总成立.若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. 3.2 等差数列【基础练习】1. 在等差数列an中a2= -5, a6 = a4+6则a1= .2. 在等差数列an中S15=90, 则a 8= .3. 在等差数列an中 a1>0 S5=S13则前 项和最大.4. a1、a2、a3、a4 成等差数列且a1、a4是方程x2-2x-3=a两根则a2+a3= .5. 一个凸多边形内角成等差数列，其中最小角为1200公差50则多边形的边数为 .【典型例题】【例1】已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为

9、，求这5个数.【变式】递减的等差数列的前5项的和等于20，前5项的积等于3024，求该数列前多少项和最大？【例2】等差数列an的前n项和Sn且S5 =-5,S10=15,求数列的前n项和Tn .【变式】已知两个等差数列an、bn的前n项和分别是Sn和Tn ，且，求.【例3】项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数. 【例4】若数列an是等差数列，数列bn满足bn= an ·an+1 ·an+1（nN+）, bn的前n项和用Sn表示，若an中满足3a5=8a12>0，试问n多大时,Sn取得最大值？证明你的结论.【变式1】已知正项

10、数列a1 ,a2 , , an 满足a1 = 10 ,a1·a2··a10 = 1020 ,且a2n = an-1an+1 (n = 2,3,) ,求使an > 10100成立的最小正整数n的值.【变式2】数列,当其前n项和最大时,求n的值.【小结】1.本节主要复习等差数列的定义、基本运算及通项公式、前n项和公式的运用.不仅要熟练应用基本公式，还要会用变通的公式(如在等差数列中a=a+(m-n)d).2.五个量a，d(或q),n, a, S中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的。3.已知三个或四个数成等差、等比

11、数列一类问题时，要善于设元，目的在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设a,a+d,a+2d外，还可设a-d,a,a+d;四个数成等差数列时，可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.4.在求解数列问题时，除注意函数思想、方程思想、消元及整体消元的利用外，还要特别注意解题中要有“目标意识”，“需要什么，就求什么”.【达标测试】1.设数列an,bn都是等差数列,且a=25，b1=75, a2+ b2=100, 那么由a2+ b2所组成的数列的第37项的值是 ( ) (A) 0 (B) 37 (C) 100 (D) -372.若两个等差数列an和bn的前n项和分别是Sn和Tn ,已知=,则等于

12、 (A)7 (B) (C) (D) 3.若xy,数列x, a, a2,y和x, b1 , b2 ,b3 ,y 各自都成等差数列，则等于 (A) (B) (C) (D) 4.首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d的取值范围是 (A) d> (B) d> 3 (C) d<3 (D) <d35.数列an的通项公式为an=2n-49,Sn达到最小时，n等于 。6.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a0)的四个根可组成首项为的等差数列，则a+b的值是 .7.在等差数列an中,设Sn =a1+ a2+ an ,已知Sn -a1=48,Snan=36

13、，Sn -a1-a2- an-1an = 21,求这个数列.8.已知f(x+1)= x2-2x,等差数列an中, a1= f(x-1), a2 = -, a3 = f(x).()求通项 an 。()求a2+ a5+ a8+ a26的值.3.3 等比数列【基础练习】1. 下列四个命题:公比q > 1的等比数列是递增的数列;公比0 < q < 1的等比数列是递增的数列;常数列是公比为1的等比数列;公比q <0的等比数列是递减的数列.其中正确命题的个数是( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 32. 等比数列an中前n项和Sn = 3n + r,则r等于 ( )(

14、A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 33. 若等比数列an的公比q > 0,且q1,又a1 < 0,那么 ( ) (A) a2+a6 > a3+a5 (B) a2+a6 < a3+a5(C) a2+a6 = a3+a5 (D) a2+a6 与 a3+a5的大小不能确定4. 各项都是正数的等比数列an的公比q1,且a2 , ,a1成等差数列,则的值是 .5. 设a,15,b 成等差数列,又a,9,b 成等比数列,则a和b分别等于 .【典型例题】【例1】一个等比数列有三项,如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列; 如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所

15、得的三项又成为等比数列,求原来的等比数列.【变式】四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三个数成等比数列，其最后一个数为25，求此四数.【例2】设首项为正数的等比数列,它的前n项和为80, 前2n项和为6560,且前n项中数值最大的项为54,求此数列的首项和公比q.【变式】由正数组成的等比数列an中,若前2n项和等于它前2n项中的偶数项和的11倍,第3项与第4项的和为第2项与第4项积的11倍,求等比数列an的通项公式.【例3】已知数列an的前n项和Sn =an + 1 , 求a1+a3 +a2n-1 .【变式】数列an的前n项和为Sn ,且a1 = 1 , Sn+1 = 4an + 2

16、.() 设bn = an+1 2an ,求证数列bn是等比数列;() 设,求证数列cn是等差数列.【例4】从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入资金800万元,以后每年投入资金将比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加. () 设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元, 旅游业总收入为bn万元.写出an、bn的表达式; () 至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?【变式】已知数列（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列. （1）求和： （2）由（1

17、）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明. （3）设q1，Sn是等比数列的前n项和，求： .【小结】 1. 等比数列的通项公式和前n项和公式涉及五个基本量: a1、q、n、an、Sn , “知三求二”是最基本的运算,用待定系数法建立方程是重要的处理策略. 2. 在等比数列问题中要对q进行讨论.【达标测试】1. 首项为2,公比为3的等比数列,从第n项到第N项的和为720,则n,N的值分别为 ( ) (A) 2,6 (B) 2,8 (C) 3,6 (D) 3, 72.数列an,如果a1 , a2 a1 , a3 a2 , , an- an-1 ,是首项为1,公比为的等比数列,那么an

18、= ( ) (A) (B) (C) (D) 3.设an是由正数组成的等比数列，公比q = 2且a1·a2·a3a30 =230,那么a2·a5·a8a29 的值为 ( ) (A) 210 (B) 220 (C) 215 (D) 2164. 某人从1996年起,每年1月1日到银行新存入a元(一年定期),若年利率为r保持不变,且每年到期存款自动转为新的一年定期,到2004年1月1日将所有存款及利息全部取回,他可取回的钱数为 元.5.设an是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和,若Sn是等差数列,则q = .6.等比数列an中,已知a6 a4 = 24 ,

19、a3 a5 = 64 ,求 an的前8项和S8.7. 有4个数a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,前3个数成等差数列,后3个数成等比数列,且a1+a4 , a2 + a3是方程x2- 21x+108 = 0的两根, 求这4个数.8*. 设数列an中,若以a1 , a2 ,a3 , an为系数的二次方程an+1x2 anx + 1 = 0都有根a、b满足3a + 3b = 1 + ab . () 求证是等比数列; () 求通项an及前n项和Sn .3.4 等差数列与等比数列的简单综合【基础练习】1.已知数列an为等差数列, 数列bn为等比数列,其公比q1且bi > 0(i = 1,2,n),若

20、a1 = b1,a11 = b11 ,则 ( ) (A) a6 > b6 (B) a6 = b6 (C) a6 < b6 (D) a6 > b6 或a6 < b62. 等差数列an的首项a1 = 1 , 公差d0 , 如果a1、a2、a5成等比数列,那么d = (A) 3 (B) 2 (C) 2 (D) 2或-2 3. 等差数列an的第3、7、10项成等比数列,那么公比q = .4. 若an是等比数列,其中a3、a7是方程2x2 3kx + 5 = 0的两个根,而且(a3 + a7)2 = 2a2a8 + 1,那么k的值为 .5. a、b、c成等比数列,a、c、b成等差

21、数列,则a：b：c = .【典型例题】【例1】 公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列,求公比q .【例2】设各项均为正数的数列an和bn满足:an、bn、an+1成等差数列,bn、an+1、bn+1成等比数列,且a1 = 1, b1 = 2 , a2 = 3 ,求通项an,bn . 【变式】一个非常数等差数列an中的部分项成等比数列,已知b1 = 2,b2 = 4, b3 = 12.求数列bn的通项公式;求数列bn的前n项和Sn.【例3】在1与2之间插入n个正数a1,a2,a3,an使这n+2个数成等比数列;又在1与2之间插入n个正数b1,b2,b3,bn使这n+2个数成等差数列.记

22、An = a1a2a3an , Bn = b1+b2+b3+bn .(1) 求数列An和Bn的通项;(2)*当n7时,比较An与Bn的大小,并证明你的结论.【变式】 已知f(x) = (x-1)2 ,g(x) = 4(x-1).数列an满足a1 = 2, (an+1 an)g(an) +f(an) = 0 .(1) 用an表示an+1；(2) 求证：an 1是等比数列；(3) 若bn = 3f(an)-g(an+1),求bn的最大项和最小项.【例4*】n2( n4)个正数排成n行n列:其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等.已知a24=1,.求S=a11 + a22

23、+ a33 + + ann . 【变式】下表给出一个“等差数阵”：47（ ）（ ）（ ）712（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ） 其中每行、每列都是等差数列，表示位于第i行第j列的数. （1）写出的值； （2）写出的计算公式； （3）证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.【小结】1. 等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式联系着五个基本量: a1,d(或q),n,an,Sn.“知三求二”是最基本的运算,充分利用公式建立方程是最基本的思想方法. 2.列举一些项来判断“关系”和“性质”是解决数列问题常用的思

24、路和手段.【达标测试】 1. 已知a,b,a+b成等差数列,a,b,ab成等比数列,且0<logmab<1,则m的取值范围是 ( ) (A) m>1 (B) 1<m<8 (C) m>8 (D) 0<m<1或m>82. DABC中三内角成等差数列,三边成等比数列,则三内角的公差等于( ) (A) 00 (B) 150 (C) 300 (D) 4503. Sn是数列an的前n项和,log2Sn = n(n = 1, 2, 3, 4, ),那么数列an( ) (A)是公比为2的等比数列 (B) 是公差为2的等差数列 (C) 是公比为的等比数列 (

25、D) 既非等差数列也非等比数列 12 23 4 34 7 7 45 11 14 11 56 16 25 25 16 6 4. 数列an是公差不为零的等差数列,并且a5,a8,a13是等比数列bn的相邻三项,若b2 = 5,则bn = .5. 如图,它满足(1)第n行首尾两数均为n;(2)表中的递推关系类似杨辉三角形.则第n(n2)行第2个数是 .6. 有四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是11,第三个数比第二个大2,求这四个数.7. 在公差不为零的等差数列an和等比数列bn中,已知a1 = 1,且 a1 = b1,a2 = b2 ,a8 = b3 . (

26、) 求数列an的公差和数列bn的公比; (*) 是否存在常数a、b使得对于一切自然数n,都有an = logabn+b成立,若存在,求出a和b;若不存在,说明理由.8*. 设a、bN*,数列an是首项为a,公差为b的等差数列, 数列bn是首项为b,公比为a的扥比数列且满足a1 < b1 < a2 < b2 < a3. () 求a的值; () 对于某项am,存在bn是am+1 = bn成立,求b的值并推导m与n的关系式; () 在an中,对满足()的项求它的前k项和. 3.5 数列综合应用与求和【基础练习】1. 数列的前n项和为 ( ) (A) (B) (C) (D) 2

27、. 数列an的前n项和为Sn = n2 , 则 ( ) (A)(B) (C) (D)3. 某细胞开始时有2个,10分钟分裂成4个并死去1个,20分钟分裂成6个并死去1个,按这个规律进行分裂,1小时时活细胞有( )个. (A) 30 (B) 65 (C) 67 (D) 714. 已知二次函数f(x) = n(n+1)x2-(2n+1)x+1,当n = 1, 2, , 10时这些函数的图象在轴上截得的线段长度之和为 . 5. 某地区重视环境保护, 绿色植被面积呈上升趋势,经调查,从1986年到1995年这10年间每两年上升2%,1994年和1995年种植植被815万,当地政府决定今后10年内仍按这

28、个比例发展下去,那么从1996年到1999年种植绿色植被面积为 (四舍五入).【典型例题】【例1】已知函数,数列an满足a1 = 1,an+1 = f(an) (nN*).() 求数列an的通项公式;() 记Sn = a1a2 +a2a3+anan+1 , 求Sn并求.【变式1】某办公大楼共有28层，若每层派一人集中到第k 层开会，要使这28个参加会议的人员上、下楼梯所走的路程的总和最小，应该取k等于几？【变式2】将等宽等厚的铜片绕在半径为40的圆柱形芯上.绕完后测出铜片总厚度为40.已知铜片的单片厚度为0.1,求: () 绕的铜片约多少圈? () 绕的铜片约多少长(精确到0.1m)?请你按铜

29、片内层面、外层面及厚度的中心线分别计算,看一看它们的差异.【例2】fn(x) = (1+2x)(1+22x)(1+2nx)(nN*).() 设fn(x)展开式中x项的系数为an,求an的表达式;() 设fn(x)展开式中x2项的系数为bn,求证: bn+1 = bn+2n+1an ;() 是否存在常数a、b,使对一切n2, nN*恒成立?如果存在,求出a、b的值;如果不存在,说明理由.【变式】设a > 0,如图所示,已知直线L: y = ax及曲线C: y = x2 ,C上的点Q1 的横坐标为a1(0<a1<a),从C上的点Qn(n1)作直线平行于x轴,交直线L于点Pn+1,

30、再从点Pn+1作直线平行于y轴,交曲线C于点Qn+1 .Qn(n = 1,2,3) 的横坐标构成数列an. () 试求an+1与an的关系,并求数列an的通项公式; () 当a=1,时,证明.19951994年份240025200沙漠面积积1996【例3】今年春季我国北方发生多起沙尘暴天气,严重影响到人民的生活和健康, 发生沙尘暴的主要原因是由于生态环境、植被的严重破坏所造成.据调查,某县在1995年底已有一定面积的沙漠,并且以后每年都有相同面积的土地被沙化.为改善生态环境,该县已从1996年起,开始进行植被的恢复和造林工作,并且坚持以后每年植被造林的面积都比上一年有相同数量的增长,据1996年、1997年的统计,该县的沙漠面积和植被【变式】从盛满a升(a>1)纯酒精的容器里倒出1升,然后装满水,再倒出1升混合溶液后又用水装满,如此继续下去,问: 第n次操作后溶液的浓度是多少?若a = 2时,至少应倒几次后才能使酒精