0203-复旦附中高二下期末(2019.6)

1、复旦附中高二下期末数学试卷第7页共8页2019.6一、填空题1.巳知全集 U=-1,0,2,3,集合 A=012, B =则(CuA)DB=2 .化简(的+ i)8(6 + 8i)(4 + 4i)43.从集合-1,1,2,3随机取一个为m ,从集合-21.1,2随机取一个为n ,则方程汇+ 21 = 1可以表示 个不同的双曲线.m n4 .在卜x?的展开式中，第4项的二项式系数是 （用数字作答）.5 .巳知电表示两个不同的平面，m为平面a内的一条直线，则”a,/?构成直二面角”是“m _L”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分，"充要''或概不充分也不必要、）.6

2、 .若直线x-2y + 5 = 0与直线2x + my 6 = 0互相垂直，则实数m=.7 .复数i" x 10 + i2! x9 +严xl的虚部是.8 .巳知经停某站的高铁列车有100个车次，随机从中选取了 40个车次进行统计，统计结果 为：10个车次的正点率为0.97, 20个车次的正点率为0.98, 10个车次的正点率为0.99,则 经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为 （精确到0.001）.OxaAf）x 庐 R9 .设a,B是实数集R的两个子集，对于xeR,定义：m=；若对任hx e A,l,x e B.意xeR, m + n = I,则A,B.R满足的关系式为

3、.10 .巳知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是一.11 . 6月12日，上海市发布了上海市生活垃圾分类投放指南，将人们生活中产生的大部 分垃圾分为七大类.某幢楼前有四个垃圾桶，分别标有.可回收物“有害垃圾”、“湿垃圾”、 “干垃圾”，小明同学要将鸡骨头（湿垃圾）、贝壳（干垃圾）、指甲油（有害垃圾）、报纸（可 回收物）全部投入到这四个桶中，若每种垃圾投放到每个桶中都是等可能的，那么随机事件 “4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中”的概率是.12 .对干无理数x,用X）表示与x曷接近的整数，如=3,网 =2.设nN*,对于区 间+ 的无理数x,定义C：=cf）.我

4、们知道，meN.neN-（mn）reN*（rn）,则有以下两个恒等式成立：（：=： C3=C：+C7.那么对于正整数n和两个无理数m£（O.n）, rw（l,n）,以下两个等式依然成立的序号是;®cm=cn-mCL =C： +C;二、选择题2213.巳知双曲线= l（a>0.b>0）的一个焦点为F（02）, 一条渐近线的斜率为出， a- b-则该双曲线的方程为（）A. £-r=i B. X?-£=1 c. Jx?=i D. r-r=i333314 .在长方体ABCD ANCD中，AB = BC = 1, AA1=" ,则异面直线A&

5、#187;与DB1所 成角的余弦值为（）A. 1B.C.在D.叵565215 .高考改革方案出台后，某地某校实行选科走班制度，冯同学选了物理、生物、政治三科, 且物理在等级班，生物在合格班.该校周一上午课程安排如下表所示，冯同学选择三个科目 的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）第一节第二第二节第四节地理合格2班化学等级3班地理等级1班化学等级4班生物等级1班化学合格2班生物合格2班历史合格1班物理等级1班生物等级3班物理等级2班生物等级4班物理合格2班生物合格1班物理合格1班物理等级4班政治1班物理等级3班政治2班政治3班A. 8 种B. 10 种C. 12 种D. 14 种

6、16 .巳知两个复数zz,的实部和虚部都是正整数，关于代数式军耳 有以下判断: 71212n最大值为2;无最大值；最小值为无最小值.其中正确判断的序号是（）A.B.C.D.三、解答题17 .加图，在多面体ABCDEF中，FA，平面ABCD, 四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且 ADBC, ZB AD =90° , AB = AD = 1 , BC = 3.(1)求直线BF与平面CDE所成角的正弦值；(2)线段BD上是否存在点M，使得直线CE 平面AFM?若存在，求 的值；若不 BD存在，请说明理由.18 .巳知正整数n2, f(x) = (x +3)n =anxn +a

7、n_lx11"1 +.-+alx+a0 .(1)若f(x)的展开式中，各项系数之和比二项式系数之和大992,求n的值;(2)若n = 2019,且即是an，az，,中的晶大值，求k的值.19 .设zwC.(1)若z = T，且z是实系数一元二次方程/+bx+c = 0的一根，求b和c的值；(2)若工是纯虚数，巳知z = z。时，lz +2Gl取得曷大值，求z(); z-4(3)肖同学和谢同学同时独立地解答第(2)小题，巳知两人能正确解答该题的概率分别是0.8和0.9,求该题能被正确解答的概率.2220 .巳知以椭圆E:二+ = = l(a>b>0)的焦点和短轴端点为顶点的

8、四边形恰好是面积为4 a- b'的正方形.(1)求椭圆E的方程；(2)若(x,y)是椭圆E上的动点，求2x+y的取值范围；(3)直线l：y = kx+m(km。)与椭圆E交干异于椭圆顶点的A, B两点，O为坐标原点, 直线AO与椭圆E的另一个交点为C点，直线1和直线AO的斜率之积为1,直线BC与x轴 交于点M .若直线BC, AM的斜率分别为k2,试判断K+2kl是否为定值，若是，求 出该定值；若不是，说明理由.21 .对于集合人=包2,aj, B =他也, neN'meN ,定义A + B = x+ylxeA,yeB.集合A中的元素个数记为IAI.规定：若集合A满足IA +

9、AI=*U,则称集合A具有性质T. 2(1)巳知集合 A = 135,7,写出 IA + AI, IB + BI 的值；3 3 3 3j(2)巳知集合人=<；0，(|卜其中n23,证明：A具有性质T; (3)巳知n = m = 2019,且集合A.B均有性质T ,求IA + BI的最小值.参考答案一、填空题1. -12. i 3. 84. 2028. 0.0079. A=CrB 10. 24兀5.必要不充分6. 17. 1011. -12.256【第11题解析】每种垃圾都有4种情况，.分母为44, 考虑分子:4种垃圾有且只有2种投入正确的桶中，另2种垃圾都有3种情况可选，C： x 3?;

10、4种垃圾有且只有3种投入正确的桶中，另1种垃圾有3种情况可选，C；x3；4种垃圾都投入正确的桶中，就1种情况；C; x32 +C x3+l 67综上，所求概率为p=d4256【第12题解析】用x表示不超过x的最大整数，则+(1)当n< m + ；时，n -m- <n -m <n -m,此时=(n-m) = n-m,于是C；=cT=C】，仁=C=二网,“，、优叫六图”尸成立；(2)当ni + ； Wm vm + l时，n <n - m <n, n-m n此时+ n m)= n-网1,于是C：=cB=C”, C,.,(:?川=6:-阿-.(=。;5成立；综上，仍成立.

11、V c：T=璃,c： = cf), c=cff = c”,且42 = cf>+* ,.仍成立.二、选择超13. C 14. C 15. B 16. C【第15题解析】物理等级1班一生物合格1班一政治2班或政治3班，2种方法;物理等级1班一生物合格2班一政治3班，1种方法；物理等级2班一生物合格1班一政治1班或政治3班，2种方法；物理等级3班一生物合格2班一政治1班或政治3班，2种方法；物理等级4班一生物合格1班一政治1班或政治2班，2种方法;物理等级4班一生物合格2班一政治1班，1种方法；综上，共10种方法，选B.【第16题解析】设复数44,4+4在复平面上分别对应点A,B,C,n/Z1

12、+zj iocibeP |(OA+OBr ioai iobi o Jz/J 5/lOAI IOBI 7IOAI IOBI VIOAI IOBI VIOBI IOAI -复数zz2的实部和虚部都是正整数，NAOBw O.g , cosZAOBe(OJ,篇+需.黑=2 （当且仅当I嬴时等号成立）,BcosZAOB>0 ,十“J 没有最小值;取 z =l + i, Z)=n + ni(neN*),则车空= ,+n+2,当nr+8时，埠二f+oo , .罕里没有最大值，故选C.J ZjZz1J z）z2 IV> Z,Z2I三、解答题17.以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴建系A

13、(0,0.O),B(l,0,0),C(L3,0).D(0,L0),E(0,Ll),F(0,0,D(1) BF = (T,0,l),Df = (0,0).De= (1,2,0),面CDE 的法向量为H =(-2,1,0)所求为I*|;=竟(2)令oM =toH +(i-w(o.i), M(tj-t,o),AF =(0.0J),AM =(lJ-l,0XCE =(-L-2J),面 AFM 的法向量为n； = (I T,t,0)由 CE -n. =1 t - 2t=0 得 t = l;故 ''I =.3 BD 318. (1) 4n-2n=992,得n = 10;(Q T>>

14、;2O!9-r r_ pr o2019-rLr+! 20193 人，dr - 2019。.=<：媪93刈87=12019 V-C；OI932O,W -3 r + 12019-r3r+3>1得r <504;故a。<Sj <a2 < va5G3 <a54M = a5O5 > a5()6 > >a刈g 故k = 5O4或5O5.19. (1) z = l - i,方程的两根为 1土i, b = Tl + i + l i) = -2,c = (l + i)(l i) = 2；(2)令2 = 乂+yi(x,yeR.y。0), 则1。=°

15、;， 即(x-2)?+y2=4, 过点(20)和(0.-2/)的直线方程为丫 =瓜-2&丁+1得尸 y = V3(x -2),故x=3, z0=3 + >/5i;(3) 1-0.2x0.1=0.98 .20. (1)因为椭圆的两个焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形,b = C1a2 =4x2 V2所以a2=4,解得二一二所以椭圆E的方程为L + ： = l.) lb2 =24 2a* =b* +c i(2)令x=2cos a_厂 l则 2x +y = 4cos6+ V2sine-3x/23v2. y = JIsin6.(3) A(Xi，vXxmhO), B(x2,

16、y2)(x2y2 *0),则 C(一 x1,一%), kAO =,因为K°.k = l,所以k = 3, Yi工+ Jl42 一，消y,得(l + 2k2)x2+4kmx+2m2-4 = 0,y = kx + in4km2m - y. +1 y.xl+x2=-,y1+y2 = k(x1+xJ + 2m=,mUls= = - = -直线BC的方程为：y + % =y12X1(x+xj,令 y =。，由 hO得 x =-3x1，第9页共8页所以ME,。)，1=占嗫所以(+21 =+ 2x2j-=o.所以K+2K为定值0. 4X|21. (1) A + A=Z4,6,8J0.12,14.B + B=j|i|,|, ,1,2,3,4 J J J J J 口I A + AI=7JB + BI=10;(2)若 + 停J =(1)+停J(*)，其中mWn,pWq,且n<q,则m>p从而q>nm>p, (*)的两边乘以下，得3q-m2m-P+3口一设尸=3口力+2口力，右边为奇数，而347炉”为偶数，故3q-m2m-p为奇数，得m=p (矛盾)因此，若(*)成立,则(m,n) = (p,q).反之，若(m.n",q),则修了+停”(方+图,| a + Al=C+C：=%辿，得证.(3)由题意，集合A具有性质T