圆锥曲线地综合经典例题(有答案.解析)

1、完美 WORD格式经典例题精析类型一：求曲线的标准方程1.求中心在原点，一个焦点为且被直线截得的弦AB '的中点 片誕总横坐标为 的椭圆标准方程U ，选择相应的标准方程，再利用思路点拨： 先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位）待定系数法确定纱、.：（定量）解析: 方法一：因为有焦点为十100）Jb1 F所以设椭圆方程为_ :. 解得故椭圆标准方程为方法二：设椭圆方程 -'才3枸畑盹，旳）灣第滞眇讣.（点差法）所以（罚z可）（忑+乃）画f注丄因为弦ab中点】:,所以:局卢可眞：憑三 !> 2 生十2-1 d占 得 1_ « a才-分_伽-旳山+旳）_-程'

2、专业知识分享完美 WORD格式=1故椭圆标准方程为：一举一反三：【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方场B1【答案】依题意设椭圆标准方程为j a =并有严1您=苕（庞7,解之得a =5解析:J 3二+椭圆标准方程为:2 .根据下列条件，求双曲线的标准方程与双曲线与双曲线匚1I办有共同的渐近线，且过点一亠三三】“有公共焦点，且过点解法一：设双曲线的方程为由题意，得(可9所以双曲线的方程为16解法二：设所求双曲线方程为专业知识分享1 a3，解得II * .=9 16(2丸）,Li4完美 WORD格式/'7巧rax(-

3、r 二击 1V.r 7 ¥ * 丿将点代入得一所以双曲线方程为（2）解法一：设双曲线方程为=1由题意易求-又双曲线过点4=1 Zh5又召畠,故所求双曲线的方程为y2解法二：设双曲线方程为将点 '1代入得所以双曲线方程为】总结升华： 先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定-.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程然后代点坐标求得方法简便.第（2 ）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程（1）求双曲线的方程，关键是求，在解题过程中应熟悉各元素（准线）之间的关系，并注意方程思想的应用（2）若已知双曲线的渐近线方

4、程，可设双曲线方程为举一反三：【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程“ 亠3x+2尸0 M（&6曲）（i）一渐近线方程为，且双曲线过点.专业知识分享完美 WORD格式(2) 虚轴长与实轴长的比为了，焦距为10.【答案】(1)依题意知双曲线两渐近线的方程是I -；,故设双曲线方程为-点； 在双曲线上，= 1所求双曲线方程为-.(2)由已知设直二義，丘h豈,则Q二虫(身，狐)依题意2c = iO -10,解得D二1.二双曲线方程为； 或怎 】3 .求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程:(1)过点'(2)焦点在直线j：*2y-

5、4 = 0上.从实际分析，思路点拨：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数;般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论解析:(-£2)在第二象限,抛物线开口方向上或者向左当抛物线开口方向左时，设所求的抛物线方程为 ),专业知识分享兀美 WORD格式当抛物线开口方向上时，a-a.,n设所求的抛物线方程为=2j(； HJ),匸3 2)一 “八,所求的抛物线的方程为对应的准线方程分别是(2)令 得丨 -，令抛物线的焦点为当焦点为 J i时，luEZ? = 'b占5此时抛物线方程隹占为八、八、x Q-时，5=4,此时抛物线方程为所求的抛物线的方程

6、为 或",对应的准线方程分别是总结升华： 这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主， 设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P.举一反三：【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)焦点为 F(4,0);(2)准线为(3) 焦点到原点的距离为1 ;(4) 过点(1 , - 2);专业知识分享完美 WORD格式(5)焦点在直线 x-3y+6=0上.【答案】(1) 所求抛物线的方程为y2=16x ；(2) 所求抛物线的标准方程为 x2=2y ；(3) 所求抛物线的方程y2 = 士

7、4x或x2= 士 4y ；(4) 所求抛物线的方程为广 =-X或'(5) 所求抛物线的标准方程为y2= 24x或x2=8y.知【变式2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在.轴负半轴上，过顶点且倾角为-的弦长为 ，求抛物线的方程 .【答案】 设抛物线方程为厂' U )，又弦所在直线方程为由b = r，解得两交点坐标,卜2刀,2p).J(-印)件(2刃"=2忑，解得”=.抛物线方程为 F - 一一；.类型二：圆锥曲线的焦点三角形(： .)的两焦点,P是椭圆上一点，且思路点拨：如图求的面积应利用爲和二T仍®.关键是求.由椭圆第一定义有，由余弦定理有r f依题意有专业知

8、识分享完美 WORD格式(1) 2-(2)得'J X箇疗)戸咲扩=门4/斤弓=4 * 即；.举一反三:-.2 n入【变式 1】设丄为双曲线 1一12 上的一点，OrF_是该双曲线的两个焦点，若-则W的面积为(C. I-'【答案】依据双曲线的定义有= )*4x1壯 52所以【变式2】已知双曲线实轴长n6，过左焦点亠-的弦交左半支于、两点，且设右焦点，求小"长【答案】：由双曲线的定义有两式左、右分别相加 得(占约+甸2即【变式3】已知椭圆的焦点是是椭圆的一条准线专业知识分享完美 WORD格式求椭圆的方程;设点P在椭圆上，且【答案】【变式4】已知双曲线的方程是=144(i)

9、求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;(2)设'和,是双曲线的左、右焦点，点/在双曲线上，且J隹占八、八、,离心率:，渐近线方程(|囲卜|濟+2|蹈专业知识分享完美 WORD格式36+ 64 WUJ【变式5】中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点厂和；，且I耳巒=2丽，又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比、1 .(1) 求椭圆与双曲线的方程;(2) 若 护为这两曲线的一个交点，求一11的余弦值.【答案】(i)设椭圆方程为7二 ( id ，双曲线方程才则la A-3:7解得AA* 勺|.A+= 1 = j故所求椭圆方程为- ，双曲线方程为-(2)由对称性不妨设

10、交点 :在第一象限.设验匸爼、-由椭圆、双曲线的定义有由余弦定理有类型三：离心率5.已知椭圆上的小、和左焦点，椭圆的右顶点和上顶点PF丄弗-(o为椭圆中心)时，求椭圆的离心率思路点拨： 因为，所以本题应建立、的齐次方程，使问题得以解决专业知识分享完美 WORD格式XV* F_与 *41解析：设椭圆方程为a b（ a>b）-；O?,t£）即丄4 ，二旷;总结升华：求椭圆的离心率，即求.的比值，则可由如下方法求.(1 )可直接求出.、.；(2) 在不好直接求出'、 的情况下，找到一个关于r、的齐次等式或、 用同一个量表示；(3) 若求 的取值范围，则想办法找不等关系&quo

11、t;的两个焦点，举一反三：*K2【变式1】如图，二和.分别是双曲线/是以U为圆心，以1呻1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，是等边三角形,则双曲线的离心率为()专业知识分享完美 WORD格式【答案】 连接：，则 負招近是直角三角形，且'：',5即衫自，-，二尊靈;渤所以,故选D.【变式2】已知椭圆r B y H-s- + ST = 1 P IT a b（工-11 ）与 x轴正半轴交于 A点，与y轴正半轴交于B点，法一:如），畑），住卫）! J|，代入上式，得利用一代入，3 +总一 1二I，解得>o0法二:在 ABF中，T 丄殿F点是左焦点，且 AB 丄 BF ，求椭圆的

12、离心率【变式3】如图，椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，过其右焦点 F作斜率为1的直线，交椭圆于 A、B两点,若椭圆上存在一点 C,使-.求椭圆的离心率.专业知识分享【答案】设椭圆的方程为则直线I的方程为：丁二由，消去 y 得(a2b2) 2a2cxac aif = 0,设点丿、，jr jl【变式4】设为椭圆的两个焦点，点为直径的圆与椭圆的交点，若则椭圆离心率为I答案】如图，点满足有FX中F : 乎A在专业知识分享完美 WORD格式令此椭圆方程为'则由椭圆的定义有 罔1+网帥,1朋賤,又=sin? + sin 15°6 .已知一、一为椭圆的两个焦点，/的=-为此椭圆上一点，且

13、亠1 -.求此椭圆离心率的取值范围；解析：如图，令 罔I-m |厲卜用上PF产0I隅1+1昭I _国爲Isin 则在 中，由正弦定理sin il + sin 6sin 令此椭圆方程为-)，则讥绘二如感的卜20SHKlsin a+sin J)sina+sin(),一2托.sinCK+sin(一二田=二a 2池(盘+£)6专业知识分享完美 WORD格式ne£h,且疣为三角形内角,即此椭圆离心率的取值范围为举一反三:【变式1】已知椭圆T*WAJ£屋1dao，Fi，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点jrj使的取值范围2ST4b> dF !二 3，求其离心率【答案】ZR

14、PR = F1PF2中，已知'777ual III-,|F iF2|=2c , |PF i|+|PF 2|=2a ,1 2 2 2=|PF | +|PF | -2|PF 1 2|PF |cos120 ° I J . ' .- -jj联立 得 4c由余弦定理： 4c又 |PF i|+|PF 2|=2a=4a2-|PF i|PF 2|-=；a【变式A 1jyr*ILaQ椭圆Y = 1(«> 0)的焦点为n:，两条准线与-轴的交点分别，则该椭圆离心率的取值范围是(0叩A.-B.-c.D.【答案】由I 2兰 4e得】，即专业知识分享完美 WORD格式故离心率D

15、.【变式3】椭圆中心在坐标系原点，焦点在Q两点，且 OP丄OQ，求其离心率e的取值范围.【答案】e :,1)x轴上，过椭圆左焦点F的直线交椭圆 P、ta(a > 1,b > 0)的焦距为2c,直线 过点(a,0) 和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点(-1,0) 到直线的距离之和s > C.求双曲线的离心率e的取值范围.【答案】直线的方程为 bx+ay-ab=0 .由点到直线的距离公式,且a > 1,得到点(1,0)到直线#2 =丿I' ：f2 L i同理得到点(-1,0) 到直线 的距离 -炉-1于是得5> 2e2.即 4e4-25e 2+25

16、< 0.5 2解不等式,得 w e w 5.所以e的取值范围是专业知识分享完美 WORD格式7 .已知类型五：轨迹方程中，和为定值15.求动点的轨迹方程.应给以重视思路点拨：充分利用定义直接写出方程是求轨迹的直接法之一解法一：设动点 /-,且、,则丄、边上两中点：、丄的坐标分别为Lx+3|CT + 3) +()即从上式知，动点A到两定点(-9 0) (9 0)'的距离之和为常数30 ,椭圆，故动点一的轨迹是以解法二：设二动点的轨迹方程是ur(x,yjV* +> 144r1煦( ).,且_其方程为+ 16=1).(挖去点)，代入上式，得+ 二 1 525 144()为所求.专

17、业知识分享35(-10) ca®-点的轨迹是以，为焦点的椭圆完美 WORD格式总结升华： 求动点的轨迹， 首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，建立等式，利用直接法或间接法得到轨迹方程举一反三：【变式1】求过定点 42,0） 且和圆相切的动圆圆心的轨迹方程.【答案】设动圆圆心动圆半径为N.（1）动圆与圆外切时，（2） 动圆Jf与圆C内切时，卜？， 由（ 1）、（2）屮 ©T 曲忖.动圆圆心【变式动圆圆心 M的轨迹是以为焦点的双曲线,故动圆圆心 一T的轨迹方程为3】已知圆Mi,仗-4卩+护=1的圆心为M2，动圆与这两个圆外切，求动圆圆心【答案】设动圆圆心 P （ x，y），动圆的半径为P的轨迹方程.由两圆外切的条件可得:PMR + 5|PM3|=R + 1=4P的轨迹是以b2=12，Mi、