异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角专题复习与提高

1、空间角专题复习知识梳理一、异面直线所成的角及求法定义：在空间任意取一点，过该点分别作两异面直线的平行线所成的锐角或 直角称为两异面直线所成的角.n取值范围：若B是异面直线a和b所成的角，则其取值范围是 氏(0, g,当n0= "2时，称异面直线a和b垂直，记为a丄b.(3)求法：平移法：将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后，构造三角 形，通过解该三角形而求其大小；二、直线与平面所成的角及求法(1) 定义：设I和a分别表示直线与平面.若I / a或I? a，则称直线I和平面TTa所成的角为0；若Ila,则称I与a所成的角为二；若I与a相交，则I2与I在a内的射影所成的锐角为直线I

2、与平面a所成的角.取值范围：设0是直线I与平面a所成的角，贝U 0的取值范围是0,二.2(3)求法：定义法：探寻直线I在平面a内的射影，(通常由垂直法找射影)构造直 线I与平面a所成角对应的直角三角形，通过解该直角三角形而求得直线与平面 所成的角.三、二面角及求法(1) 定义：在二面角的棱上任取一点，分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角， 且定义平面角的大小为该二面角的大小.(2) 取值范围：规定二面角的取值范围为0，n .(3) 求法：定义法：分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角 称为该二面角的平面角练习提升1.如图，E、F分别是三棱锥 P

3、 ABC的棱AP、BC的中点，PC = 10, AB = 6,EF =乙则异面直线AB与PC所成的角为 （）A. 30°B . 45C. 60 °D. 90°答案：CABCD AiBiCiDi 中,AB= BC= 4, CCi = 2，则直线 BCi和平面DBBiDi 所成的角的正弦值为（)3A<2B，2C血C. 5D血D. i0答案：C2.已知长方体3如图，在边长为i的菱形ABCD中，/ ABC = 60°,将菱形沿对角线 AC 折起，使折起后 BD = i,则二面角B AC D的余弦值为2 .2C. 3.3D.2答案：A( )DDiBiB所成角

4、的大小是4.在正方体 ABCD AiBiCiDi中，BiC与对角面A. i5B . 30°C. 45D. 60°答案：B5.如图，ABCD 一 AiBiCiDi 是长方体，AAi = a, / BABi=/ BiAiCi= 30 ，则AB 与 AiCi所成的角为, AAi与BiC所成的角为答案：300, 4506. 在正方体 ABCD AiBiCiDi 中，直线AiB与平面ABCD所成的角是;（2）直线 AiB与平面 ABCiDi所成的角是 ；直线AiB与平面ABiCiD所成的角是 .答案 (i)45 ° (2)30 ° (3)907.设直线与平面所成角

5、的大小范围为集合P,二面角的平面角大小范围为集合线所成角的大小范围为集合R,贝U P、Q、R的关系为（）Q,异面直A. R=P? QB. R? P? QC. P? R? QD. R? P= Q答案：B8 .设 ABC和厶DBC所在两平面互相垂直，且 AB = BC= BD = a，/ CBA=/ CBD = 120 ° 则AD与平面BCD所成角的大小为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°解析：作AO_LCB交CB的延长线于 O,连接OD，贝U OD即为AD在平面BCD内的射影，/ADO即为AD与平面BCD所成的角.AO = OD

6、 =_23a,/DO = 45°答案：B9. 如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点（不同于A、B）且PA= AC,则二面角P BCA的大小为A. 60 °答案 CB . 30 °OD . 1510. 如图，已知四棱锥 P ABCD的底面是正方形， PA丄平面ABCD，且PA= AD，则平面PAB与平面PCD所成的二.面角的度数为（)A. 90 °B . 60 °D . 30 °C. 45Lic解析：AB/CD,面PAB与平面PCD的交线1必为过P点与AB平行的直线.FA丄平面ABCD ,-FA1AB, PA JC

7、D，又 CD 1AD,DC丄平面PAD,DC JPD ,FA，PD丄 即ZAPD为所求二面角的平面角,ZAPD = 45°答案：C11. 把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：AC丄BD :厶ADC是正三角形；AB与CD成60°角；AB与平面BCD成60°角.则 其中正确结论的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个 D . 4个解析：取BD的中点 0,贝U BD DC , BD JOA，得BD丄平面AOC ,1BD JAC,正确；cosADC = cos45 °cos45 °= 2，/ADC = 60° AD =D

8、C ,AADC是正三角形，正确；AB与CD成60。角，正确；AB与平面BCD成角ZABO= 45°错误.答案：C12. 如图所示的正方体 ABCD A1B1C1D1中，过顶点 B、D、C1作截面，则二面角 B- DCjC的平面角的余弦值是 .解析：取CQ的中点0,连接BO、CO,启0C是二面角 B DC1 C的平面角. 设正方体的棱长为1,则co = _22, DC1为正三角形，'6'0B = ，且 BC= 1 ,'cos/BOC =OB2 + OC2 BC220B OC13答案：宁13. 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AB = BC= AA1 ,

9、Z ABC = 90°点E、F分别是棱AB、BB1的中点.则直线 EF和BC1所成的角是（）A. 45 °B. 60 °C. 90 °D. 120 °解析：取BiCi的中点 G, AiBi的中点 H，连结FG、BG、HG、EH，贝U FG伯Ci,且/EFG或其补角就是所求的角，利用余弦定理可求得icoszEFG =-，故所求角为 60°答案：BI4 .如图，将RtA ABC沿斜边上的高 AD折成I20。的二面角 C- AD C',若直角边 AB =4 3, AC = 4 ,6，则二面角 A BC ' D的正切值为（）A

10、. 2解析：ZCDC 'AD丄平面BC' D ,AD = 4,2,在ABC ' D中，由余弦定理求得 BC' = 4.3,再由面积公式 SzsC di ,i,冷AD=2BC' DE = 2 BD C' D s in60 知 DE = 4,.tan/AED =隹=V2.答案：A点评：考查二面角的知识， 余弦定理及三角形的边角计算.如何作出二面角的平面角是A BD PB . 45 °D. 75 °解决此类问题的关键.15.在矩形 ABCD中，AB= 3, AD = 4, PA丄平面的度数是（）A. 30 °C. 60 &

11、#176;解析：如右图所示，过A作AE JBD ,垂足为E，连结PE, 则PE!BD（三垂线定理）,故/PEA为二面角 P BD A的平面角.在 Rt ABAD 中，“ AB AD 12 AE=BD5 .在Rt AE中，FA血tan ZPEA =忑=寸，./EA = 30°答案：A16 .正四棱锥P ABCD的两个侧面FAB与PCD互相垂直，则相邻两个侧面所成二面角的平面角为（）A. 60 °B. 90 °C. 120 °D. 150.DC zPBC ,ADE JPC解析：如图，作BE1PC，连结DE.DEB就是二面角 D PC B的平面角,O为DB的中

12、点,QEB = 1ZDEB ,又面PAB丄面PCD ,1PO = 2AB ,在 Rtoc 中，oc=¥ab，所以 pc23ab.22 AB a n/OEB =血 AB6.3,QEB = n /DEB = 2n答案：C17如图，在四棱锥V ABCD中，底面 ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角 V ABC的度数是答案 60°n18. 如图，直角梯形 ABCD中，AB/ CD，/ DAB =，点M、N分别在AB, CD上，且MN丄AB, MC± CB, BC = 2, MB = 4，现将梯形 ABCD沿MN折起，使平面 AMND

13、与平面MNCB垂直(如图).求证：AB /平面DNC ;3当DN = °时，求二面角 D BC - N的大小.图边MB?平面 MAB.解：（1）证明：MB /NIC, MB?平面 DNC , NC?平面 DNC,MIB /平面DNC.同理 MA /平面DNC，又 MA A MB = M，且 MA、平面MAB /平面NCD>? AB / 平面DNC .AB?平面MAB过N作NH _LBC交BC延长线于H ,平面AMND丄平面MNCB , DN丄/IN ,DN丄平面MBCN，从而 DH JBC,DHN为二面角 D BC N的平面角.由 MB = 4, BC= 2，/MCB = 90

14、°知/MBC = 60°,CN= 4 2cos60 = 3,NH = 3sin603.32由条件知:DN tanNHD = NHz.JNHD = 30°.19. 如图，已知在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是矩形，PA丄平面 ABCD , FA= AD = 1 , AB = 2, E、F 分别是 AB、PD 的中点.(1)求证：AF /平面PEC ;求PC与平面ABCD所成的角的正切值;求二面角 P EC D的正切值.解：证明：如图，取 PC的中点0,连接 OF、0E，贝 U FO DC,且 FO = DC ,FO AE,又E是AB的中点，且 AB= DC,

15、FO = AE.四边形AEOF是平行四边形,AF /OE.又OE?平面PEC,AF?平面 PEC,AF /平面PEC.如图，连接AC,FA丄平面ABCD ,OCA是直线PC与平面ABCD所成的角.在Rt AC中，小 PA tan/PCA = AC1逅=.5=忘，即直线PC与平面ABCD所成的角的正切值为55如图，作AM ICE,交CE的延长线于M .连接PM，由三垂线定理得 PM JCE,OMA是二面角 P EC D的平面角.由AME sBE可得AM = 22,小PA厂 tan "MA =丽=.2.面角P EC D的正切值为 2.20. 如图所示，四棱锥 PABCD的底面ABCD是边

16、长为1的菱形, / BCD = 60° E 是 CD 的中点，PA丄底面 ABCD , PA = 3.证明：平面 PBE丄平面FAB;(2)求二面角 A BE P的大小.证明 如图所示，连接BD,由ABCD是菱形且/ BCD = 60。知， BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以 BE丄CD.又 AB / CD,所以BE丄AB.又因为PA丄平面ABCD ,BE?平面 ABCD ,所以PA丄BE.而 PAn AB = A,因此BE丄平面PAB.又BE?平面PBE,所以平面PBE丄平面PAB.(2)解 由(1)知，BE丄平面PAB, PB?平面PAB,所以PB丄BE.又 AB丄BE

17、,所以/ PBA是二面角 ABE P的平面角.在 Rt PAB 中，tan/ PBA =器=£,则/ PBA= 60°故二面角 A BE P的大小是60°21. 已知平面a外两点A、B到平面a的距离分别为1和2, A、B两点在a内的射影之间距 离为3，求直线AB和平面a所成的角.解 如图，当A、B位于平面a同侧时，由点A、B分别向平面a作垂线，垂足分别为Ai、Bi，则 AAi= 1 , BBi = 2, BiAi= . 3过点 A 作 AH 丄 BBi 于 H，则 AB 和 a所成角即为 / HAB.2 - iBAH =30 °而 tan/ BAH =

18、=X/33如图，当A、B位于平面a异侧时，经A、B分别作AAi丄a于Ai, BBi丄a于Bi,ABn a= C ,则Ai Bi为AB在平面a上的射影,/ BCBi或/ ACAi为AB与平面a所成角. BCBiS ACAi, ab1= CC= 2, BiC = 2CAi，而 BiC+ CAi=3, BiC =字tan/ BCBi=BBC=盘=伍3/ BCBi= 60° AB 与 a所成角为 60°综合 、可知：AB与平面a所成角为30°或60°22. 如图，在三棱锥 PABC中，PA丄底面 ABC，/ BCA = 90 °点D、E分别在棱 PB、PC 上,且 DE / BC.(i)求证：BC丄平面FAC.(2)是否存在点E使得二面角