直线与抛物线的位置关系(专题)

1、抛物线的简单几何性质叶双能一教学目标：1. 掌握抛物线的简单几何性质2. 能够熟练运用性质解题3. 掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法和弦长问题4. 进一步理解用代数法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想二. 教学重难点：重点：抛物线的几何性质难点：抛物线几何性质的运用.易错点：直线与抛物线方程联立时，要讨论二次项系数是否为零三. 教学过程(一)复习回顾：(1) 抛物线y =ax过点M 2,0作斜率为1的直线I，交抛物线y2=4x于A, B两点，求|AB|(二)典例分析： 例1已知抛物线y =4x,直线I过定点P -2,1 ,斜率为k.k为何值时，直线I与抛物线y2 =4x

2、:只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？设计意图：(1)类比直线与双曲线的位置关系的处理方法，解决直线与抛物线的位置关系(2)掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法；精品资料(a式0)的焦点坐标是 ;准线方程.(2) 顶点在在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点M(1,4)，则抛物线的标准方程为（3）培养学生的运算推理能力和分类讨论的数学思想2变式1 ：已知抛物线方程 y =4x，当b为何值时，直线丨：y = x b与抛物线（1）只有 个交点；（2）有两个公共点；（3）没有公共点；（4 ）当直线与抛物线有公共点时， b的最大值是多少？例2 :过点Q 4,1作抛物线y2 =8x的弦AB，恰好被点Q

3、所平分.（1）求AB所在的直线方程；（2 ）求| AB |的长变式1 ：斜率为1的直线丨经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于 A、B两点，求线段AB的长.（教材69页例4）方法（一）方程联立求交点坐标 根据两点间距离公式方法（二）方程联立 根据韦达定理求 x| +x2 运用弦长公式方法（三）（数形结合）方程联立 根据韦达定理求 x1 +x2 运用焦点弦公式拓展：标准方程对应的焦点弦公式:(1)焦点在 x 轴上:AB|=|x-,|+|x2|+p/ 2)焦点在 y 轴上：|AB|=|y1|+|y2|+p（由焦半径公式推导而来）变式2 :已知抛物线 y2 - -x与直线y =k（x V）相

4、交于两点。（1）求证：OA_OB ；（2 ）当 OAB的面积等于 106（本题主要要熟悉，三角形面积的常见表示方法；（1分解成两个共底的三角形的面积之和（2） 利用底乘高的一半公式）2变式3 :已知抛物线C : y -2x.（1）.若直线y二kx k 1与曲线C只有一个交点，求实数k的取值范围精品资料(2) .求过点P 0,1且与抛物线C只有一个公共点的直线方程 (3) .过点A 1,1作抛物线C弦AB，恰好被点A所平分，求 AB的直线方程和弦| AB |的长.( 0,三 3,三 3 ;(2)x=0或 y =1 或 y1)；(3) y = x2_2I 22 J22例3.过抛物线y =2 px的

5、焦点F的一条直线和抛物线相交于A(xn y.), B(X2, y?)(1).求证:(2).求证:2P4巴乙G为直线的倾斜角)sin 二(3).求证:丄uFA FB p(4) .求证.A.FB. =90(5) .求证：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切(6) 求证：以AF (或|BF)为直径的圆与y轴相切(7).求证：点A、0、B1三点共线.(8).若 AF =a, BF =b，M 是 A1,B1 的中点，求证 MF = JOb-变式练习：若抛物线的方程为 x2 =2py，则能得到什么结论?例4 已知抛物线 C : y2 =4x .(1) 在抛物线 C上求一点P,使得点P到直线y = x 3的距

6、离最短.(2) 在抛物线C上求一点P,使得点P到点 A 3,0的距离最近，并求最近的距离.(3) 若点A的坐标为1,1 ,在抛物线C上求一点P使得|PF | |PA|最小，并求最小值.(4) 若点A的坐标为1,4 ,在抛物线C上找一点P使得|PF | |PA|最小，并求最小值.(5) 在抛物线C上求一点P,使得点P到点 A 0,2距离与P到准线的距离之和最小，并精品资料求最小的值(6 )求下列函数的最值.y 1(1) z(2) z = x yx +2(7 )过抛物线C的焦点F，做互相垂直的两条焦点弦 AB和CD，求| AB | |CD |的最小变式1 ：过抛物线yF是抛物线y = 2 px(

7、p 0) 白勺焦点，丿A 4,2为抛物线内- 定点， =4ax (a 0)的焦点F，做互相垂直的两条焦点弦AB和CD，求| AB | |CD |的最小值2变式2:过定点M(4,0)作直线L,交抛物线y =4x于A、B两点，F是抛物线的焦点，求 AFB的面积的最小值。2变式3 :已知抛物线 C : y =4x的焦点为F，过点F的直线L与C相交于A、B两点。(1 )若 AB163求直线L的方程。(2)求AB的最小值。变式2 :如图所示,点P为抛物线上一动点，且| PA | | PB |的最小值为8.例5已知抛物线y2 =2px(p 0)的动弦AB恒过定点M(2p,0)，求证：kOA.kO-12变式

8、1 :若直线L与抛物线y =2px(p 0)交于A、B两点，且OA JOB ,:求证：直线L过定点(1)求抛物线的方程;精品资料(2)若0为坐标原点，问是否存在点 M，使过点M的动直线与抛物线交于B,C两点，且 OB.OC =0，若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由.三练习反馈:1.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于 9的点的坐标为 2.过抛物线y2 =8x的焦点作直线交抛物线于A(xi, y ), B(x2, y2)两点，如果为 x? =6 ,则 | AB | =3.已知抛物线y2 = 2px( p 0)的焦点为上，且X!,X2,X3成等差数列，则有(A.IFRI |FP2 冃

9、FP3|C. 2|FP2 冃 FP3I |FR|4 .一个正三角形的三个顶点，都在抛物线 三角形的面积F，点 P % % R X2 丫2 P，xjy3,()在抛物线)2 2 2B. | FPi |- | FP2 | =| FP3 |D. |FP2|2=|FP3|.| FR|2y 4x上，其中一个顶点为坐标原点，求这个6.已知直线与抛物线 点D,点D的坐标为第2题图OA丄OB,且OD丄AB并交AB于5.直线y = x - 2与抛物线y2 =2x相交于A,B两点，求证： OA_ OB2 _ - - _y = 2 px (p 0)交于代B两点,2,1 ,求p的值.精品资料7. 设直线y =2x b与

10、抛物线y2 =4x交于 代B两点，已知弦|AB|=3、.5，点P为抛物线 上一点，S pab =30,求点 P 的坐标(16,8 , 9,-6 )8. 过抛物线y2 =2px(p 0)焦点F的直线交抛物线于 代B两点，通过点 A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线 DB平行于抛物线的对称轴.9( 05北京)如图，O为坐标原点，过点.P 2,0 ，且斜率为k的直线l交抛物线y2 =2x于M %,% ,N X22 两点.(1)写出直线l的方程；(2)求xm与y2的值；(3)求证OM_ON1OK 1精品资料210.已知直线l:y=xb与抛物线y =2x相交于两点 A、B ,求:线段AB的中点M的轨迹方程；（2）b为何值时OA_OB.1