线线角,线面角,二面角的一些题目

1、V662.3亍©6(咗CAB线线角与线面角习题新泰一中闫辉一、复习目标1理解异面直线所成角的概念 ，并掌握求异面直线所成角的常用方法.2理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角常用方法.3掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”，思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维”的思想方法.二、课前预习1在空间四边形 ABCD中，AD=BC=2, E F分别为AB、CD的中点且EF=J3，AD、BC所成的 角为BiC和CiD与底面所成的角分别为60°和45 °,则异面2如图,在长方体 ABCD-ABiGDi中， 直线BiC和CiD所成角的余弦值为n3平面与直线a所

2、成的角为 ，则直线a与平面内所有直线所成的角的取值范3围是.4如图,ABCD是正方形,PD丄平面ABCD,PD=AD则PA与BD所成的角的度数为0 0 0 0(A).30(B).45(C).60(D).905有一个三角尺 ABC,/ A=30 0 , / C=900 ,BC是贴于桌面上 当三角尺与桌面成 45 0角时,AB边与桌面所成角的正弦值 是.三、典型例题 例i.(96 全国)如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°角，求异面直线 AD与BF所成角的余弦值 备课说明：i.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形作法有：平移法：在异面直线的一条上选择“特殊点”

3、，作另一条直线平行线或利用中位线补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线的关系2解立几计算题要先作出所求的角，并要有严格的推理论证过程，还要有合理的步骤B例2如图在正方体 ACi中，(i)求BCi与平面ACGAi所成的角；(2)求AiBi与平面AiCiB所成 的角 备课说明：求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影 必须在这条直线上找一点作平面的垂线 作垂线的方法常采用 面垂直的性质找平面的垂线 点的射影在面内的特殊位置 例 3.已知直三棱住 ABC-ABQ,AB=AC, F为棱BBi 上一点，BF : FB=2 : 1, BF=BC=2a . (1)若 D

4、为BC的中点,E为线段AD上不同于A、D的任意一点，证明：EF丄FG; (2)试问:若AB=2a,在线 段AD上的E点能否使EF与平面BBiCiC成60°角，为什么？证明你的结论1备课说明：这是一道探索性命题，也是近年高考热点问题，解 决这类问题，常假设命题成立，再研究是否与已知条件矛盾 ， 从而判断命题是否成立四、反馈练习1设集合A、B、C分别表示异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角、直线与平面所 成的角的取值范围贝U(A)A=B=C(B)A=B 二 C (C)A 二 B 二 C(D) B 二 A 二 C.2两条直线a,b与平面所成的角相等，则直线a,b的位置关系是(A)平行

5、(B)相交(C)异面(D)以上均有可能.3设棱长为1的正方体 ABCD-AB1C1D1中，M、N分别为 AA1和BB1的中点，则直线 CM和 D1N所成角的正弦值为4已知a、b是一对异面直线，且a、b成60°角，则在过空间任意点 P的所有直线中，与a、 b均成60°角的直线有 条.5异面直线a、b互相垂直，c与a成30°角，则c与b所成角的范围是 .6 / ACB=90°在平面:-内,PC与CA、CB所成的角/ PCA=Z PCB=6C°,则PC与平面所成的角 为.7设线段AB=a ,AB在平面:-内,CA丄，BD与成300角,BD丄AB,C

6、D在同侧,CA=BD=b . 求：(1)CD的长;(2)CD与平面：所成角正弦值.C课前预习01.602.A3.丁,？ 4.C5.4典型例题AD与BF所成的角.连接CFCE设正方形ABCD的边长为：，则BF2a例 1 解:T CB/ AD/ CBF为异面直线CB丄AB, EB丄ABZ CEB为平面 ABCD与平面 ABEF所成的角 运 Z CBE=Z 600 CE=a FC= .、2a cosZ CBF=OB 1例2解: 设所求的角为 a ,先证BD丄平面 ACCAi,贝U sin ot =sin / OGb=.故4BC12:=30o.(2) A1BC1 是正三角形，且 A1B1=B1Ci=B

7、B1. /棱锥 B1-A1BC1 是正三棱锥.过 B1 作 B1H 丄平面A1BC1,连A1H, Z B1A1H是直线A1B1与平面A1C1B所成的角.设A1B1 = a则A1B=、.2a得V6并/A h V66A1H= a .故 cos Z B1A1 H=一 =.所求角为 arccos 3A1B133例3解: 连接OF,容易证明AD丄面BB1C1C, DF是EF在面B1C1CB的射影，且DF丄FG, FG丄EF(2)/ AD丄面BBQC, Z EFD是EF与平面BBGC所成的角.在厶EDF中，若ZEFD=600, E在DA的延长线上，而不在线段 60°角.贝U ED=DF -tan

8、 600 = . 3 5 = . 15a , / AB=BC=AC=2a , AD= 3a .t 15a> 3a .AD上；故线段AD上的E点不可能使EF与平面BB1GC成反馈练习4.53.97.解:(1)作DD，丄于D，连接形，/ CAD7 =Z D DA=90° ,ABU ot ,AB丄 DD，.又 AB丄 BD,/. AB丄平面 BDDZ ,BD，U 平面 BDDZ . b. 3b AB丄 BD，. / DBD/ 是 BD 与a 所成的角，/.Z DBDZ =30° BD=b DD，=- BD， '' ' 2，3b21. D 2. D4.

9、 35. 60 0,900 6.450AD7 ,BD7 .CM， CA/ DD，四边形 CAD，D 是直角梯3b在厶 ABD，中，AB=a,BD/=，/ABDZ =90°，二 AD，=、AB2 BD'2 2.在 CADD 中，CD= . ad'2 (ACD'D)2 二 a2 b2 .AC22 °2、a2b2作DTC/ DC交CA于 CZ CVA是CD与所成的角,sin Z CDGA= C'D'线面角与面面角练习一、知识与方法要点：1斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键 是找到斜线在平面内的射影，

10、即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要 用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上 一点到平面的距离。2. 二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。3. 判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。團 1-52ME 在厶 DAC 中，ME/ AG,两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线

11、的 直线垂直于另一个平面.二、例题例1 正方体 ABCD-ABCD中，M为CD中点.(1) 求证：AG丄平面AiBD(2) 求BM与平面AiBD成的角的正切值.解：(1)连AG,/ CQ丄平面ABGD CC 丄 BD.又AC丄BD- AG丄BD.同理 AG丄AiB/ AiBn BD=B AG 丄平面 AiBD. 设正方体的棱长为 a，连AD, AD交AiD于E,meF/AG丄平面AiBD ME丄平面AiBD.E1-82连结BE,则/ MBE为BM与平面ABD成的角.在 Rt MEB中,BE 二a?二至 a，- tan MBE 疋辽6BE 2例2.如图，把等腰直角三角形 ABG以斜边AB为轴旋转

12、， 使C点移动的距离等于 AC时停止，并记为点 P.(i )求证：面 ABP丄面ABC (2)求二面角 G-BP-A的余弦值.证明(i )由题设知 AP= GP= BP. 点P在面ABG的射影D应是 ABG的外心，即D AB. / PD丄AB P" 面ABP由面面垂直的判定定理知，面 ABP丄面ABC (2)解法i 取PB中点E,连结CE、DE CD / BCP为正三角形， CE! BD. BOD为等腰直角三角形， DEL PB.aZ CED为二面角G-BP-A的平面角. 又由(i)知，面 ABPL面 ABC DGLAb人吐面ABPn面 ABC 由面面垂直性质定理，得 DGL面ABP

13、 DGL DE因此 CDE为直角三角形.丄设 BC =i，贝U GE3 , DE 二丄,cos CED 二匪乙二22CE V32例3.如图所示，在正三棱柱 ABC -AG中，E BBi，截面AEC _侧面ACi.2-5(1)求证：BE =EBi ； 若AAAiBi，求平面 A EC与平面AiBiCi 所成二面角(锐角)的度数.证明：在截面 A1EC内，过E作EGL A1C, G是垂足，如图，面 A1 EC丄面 AC1 , EGL侧面 AC1 .取AC的中点F,分别连结 BF和FC,由AB= BC得BFL AC面ABCL侧面Aq , BF丄侧面AC1 , 得BF/ EG BF和EG确定一个平面，

14、交侧面 AC1于FG. BE/侧面 AC1 , BE/ FG 四边形 BEGF是,BE= FG. BE/ AA1 , FG/ AA1 , AA1 3、FGC.'AF = FC, /.FG=-AAl=2 2 即 BE=故BE = EE解：（2）分别延长CE和C1B1交于点D,连结A1 D. T Ed II CO, EBi = |ccp£匕ADB!= ；DC严：=t B1A1C1 =Z B1C1A1 = 60°,/DAB产 ZADE产!（180° - ZDB忍J 二 30”，/DA1C1 =Z DA1B1 +Z B1A1C1 = 90°,即卩 DA1

15、 丄A1C1 . CC,丄面 A1C1B1 , 由三垂线定理得 DA丄A1C,所以/ CA1C1是所求二面角的平面角.且/ A1 C1 C= 90°. / CC1 = Af = A1B1 = AG，/ CA C1 = 45°,即所求二面角为 45°.说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法.三、作业：1 .已知平面：的一条斜线a与平面：成诵，直线b二:,且a,b异面，则a与b所成的角为（A）A. 有最小值t1,有最大值 B.无最小值，有最大值 。C.有最小值乙无最大值D.有最小值乙有最大值 七2 .下列命题中正确的是（D）A. 过平面外一点作该平面的垂面有且只

16、有一个B. 过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个C. 过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条D. 过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个3 .一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为45°和30°,这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，则垂足间的距离是（A）A. 30B. 20C. 15D. 124. 设正四棱锥S ABCD的侧棱长为 2，底面边长为' 3 , E是SA的中点，则异面直线 BE 与SC所成的角是（C）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 正三棱锥的侧

17、面与底面所成的二面角为arctan2；2，则它的侧棱与底面所成的角为 丿6. A 是、BCD所在平面外的点，/ BAC=Z CAB=Z DAB=60°, AB=3, AC=AD=2.（I）求证：AB! CD;（n）求AB与平面BCD所成角的余弦值.7.正四面体 ABCD中，E是AD边的中点，求：CE与底面BCD所成角的正弦值.解过A, E分别作AH丄面BCD, E0丄面BCD, H, O为垂足,二 AH ' 20E, AH, 0E确定平面 AHD，连结 0C, / ECO 即为所求.I AB=AC=AD, HB=HC=HD / BCD是正三角形， H是厶BCD的中心， 连结D

18、H并延长交BC于F, F为BC的中点，2 2 品品亠 亠DH DFa a，在 Rt ADH中,3 3 232 1 2 晶 a -ra - a, 33CEJ 1-49ah = 7ab2-dh2TOE# -AH,=2.1&区L _ 一.276 Ta迈sinZECO = 一 - _CE a/33.-OE 一 x 規=玄* 32362&在四面体 ABCD中, DA!面 ABC / ABC= 90°, AE丄 CD AF丄 DB求证：(1) EFL DC (2)平面 DBCL平面 AEF.0)若AD = a)AB = a, AC = 7,求二面角B-DC-A的正弦值.证明 如图

19、 1-83 . (1) /AD丄面 ABC AD丄BC.又律 ABC= 90°. BCL AB. BC丄面DAB DB是DC在面ABD内的射影.t AF丄DB. AF丄CD(三 垂线定理)./ AE丄 CD. CDL平面 AEF. CDL EF.(2)t CDL AE CDL EF. CDL面 AEF. / CD 面 BCD 面 AEF!面 BCD(3)由efl CD AE丄CD Z AEF为二面角 B-DC-A的平面角，在RtAABB中 BD 二 Qa 二自在B.tZXADC 中 CD = 2 AE = - = a 2a 2又 AF丄 DB AFL CD, BDA CD= D AF丄平面 DBC图 1-83AT 又EF在平面DEC内二 AF丄 EF在RtAAEF中，sinAEF =-AETa乔 = V3 3 a故二面角B-DC-A的正弦值为当.面角题