直线与双曲线

1、第57课直线与双曲线考试目标主词填空1. 双曲线的定义与方程 双曲线的第一定义：已知Fi、F2是平面内两个定点，P是动点，当且仅当它们满足条件|PF|PF?|=± 2a,正常数2a<|FiF2l时，P的轨迹是双曲线. 双曲线的第二定义：设 F为定点，I是定直线，P是动点，P、F及I共面，当且仅当它们满足条件e（e 1）e是常数,d是P到e距离时，p的轨迹是双曲线 d中心在原点，焦点在2 2x轴上的双曲线方程是2 y2 1 ;中心在原点，焦点在 y轴a 2P在双曲线上的充要条件是 鈴 电 1，P在双曲线右支所包含的区域 a b内的充要条件是x0 ayy.4. 直线与双曲线的位置关

2、系设直线为I: Ax+By+C=0，双曲线方程为 C: bV a2y2=a2b2，联立I与c消去某一变量（x或y）得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为，那么：I与c相离的充要条件是二0;I与c相切的充要条件是二0;I与c相交于不同两点的充要条件是厶>0.5. 双曲线方程的确定求双曲线方程，若中心和对称轴已知，则在a、b、c中只须确定两个字母（因c2=a2+b2）， b22上的双曲线标准方程是y2a22x2 1b2.2. 双曲线的几何性质设双曲线方程为：b2x2 a2y2=a2 b2（a>0, b>0, c2=a2+b2）,其范围是 xpa, y R，对c

3、称轴是坐标轴，对称中心是原点， 顶点坐标是（土 a, 0）,焦点坐标是（± c, 0）,离心率是，a2准线方程为x，渐近线方程是yc3. 点与双曲线的位置关系设双曲线方程为:x2a227 =1，点P的坐标是（X0, y0），则:b（不包括边界线）常用的方法是列方程组，解关于a、b、c的方程组，从而确定系数 a、b、c.6.弦长计算计算双曲线被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为Pi(xi，yi)， P2(x2，y2)，从而|PiP2|= (XiX2)2(yiy2)2=f(k)(k为直线PiP2的斜率，若k不存在，则更易计算).题型示例点津归纳【例1】根据下列条件求双曲线的

4、标准方程.(1)两准线间的距离是 2,焦距为6;与椭圆x2+2y2=2共准线，且离心率为2;(3)已知P点在以坐标轴为对称轴的双曲线上，点P到两焦点的距离分别为作实轴的垂线恰好过双曲线的一个焦点(1)因焦点的位置有两种情形，故标准方程有两种结果，由【解前点津】2c=6 及2a=2即可确定c2 xa、b、c, (2)由条件可选择方程形式为a2y2 =1 , (3)有两种形式.b2【规范解答】(1)由 2c=6 及 2 2=2 得：a2=3, b2=c2- a2=9 3=6, c故双曲线方程为2x3(2)由条件知双曲线的准线方程是22x16x=± 2,故得方程组:2, 2，解之：a=4,

5、 c=8从而b=4 3，故双曲线方程为:c2 x16当焦点在x轴上时，设双曲线方程为:2y2 =1，焦点为F(c, 0)由条件可设P(c, b2m).(2c)2 m2 =42 c m=2 及 a解方程组得a2=1, b2=2，故此时双曲线方程为2x2- =1，同理可得，当焦点在y轴上22 双曲线方程为 y2 =1.2【解后归纳】求双曲线的标准方程，一是要选择恰当的形式，二是利用其几何性质,列出关于a、b、c的方程，解方程组即可确定 .时,【例2】 已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为、2，且过点(4, d0 ).(1)求双曲线方程;(2) 若点M(3, m)在双曲线上，求

6、证： MFMF2；(3) 求厶F1MF2的面积.【解前点津】因e= 2，所以c2=2a2=a2+b2 a2=b2，故双曲线方程为等轴双曲线，因焦点位置没有确定，故可设双曲线方程为x2 y2=入(入工0).【规范解答】/e= ,2 , c2=2a2=a2+b2a2=b2,二双曲线方程可设为：x2 y2=入，点(4, 10 )在双曲线上， 1610=入，即入=6，故双曲线方程为：x2 y2=6.(2)由(1)知：Fi( 2 3 , 0), F2(2 3 , 0), km km k ?km2m2kMF1，kMF2-，kMF1?kMF213 2、3232,3129 123点(3, m)在双曲线上， 9

7、 m2=6, m2=3，故 kMF1 ?kMF2 = 1MFMF2. F1MF2 的底 |F1F2|=4.3 , F1F2 的高 h=|m|= 3 , S f,mf2 =6.【解后归纳】中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线方程的统一形式可设为2【例3】已知双曲线笃am x2+ n =1( mn<0).的离心率e>1+ . 2，左、右焦点分别为F1、F2，左P,使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项?P点入手，推出某种结果，然后“检验”这种结果.准线为I，能否在双曲线的左支上找一点【解前点津】从假设存在这样的【规范解答】设在左支上存在 P点，使|PF12=|PF2| -

8、d，由双曲线第二定义得:IPF1I |PF2|d|PF1 |e,即 |PF2|=e |PF1|又由双曲线的第一定义得：|PF2| |PF1|=2a2a2ae从中解得：|PF1|=, |PF2|=，因 PF1F2 中有 |PF1|+|PF2|> 2c,e 1e 12ae 1而 e=-，故由得：e2 2e 1< 0 解之：1 , 2 < e< 1+ . 2 , ae>1 , 1<ew 1+ . 2这与e>1+ . 2相矛盾，符合条件的 P不存在.【解后归纳】对于一般的探索命题，常从假设存在入手，利用定理和题设条件加以推理，若推出矛盾，则假设不成立，否则，假

9、设的命题成立【例4】是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由.(1)渐近线方程为x± 2y=0;点A(5, 0)到双曲线上动点 P的距离的最小值为.6.【解前点津】 函数最值问题【规范解答】讨论焦点所在位置，从而确定双曲线方程形式，对条件假设存在同时满足题中两条件的双曲线(2)，转化为求(1)若双曲线焦点在1，因渐近线为2xx轴上，可设双曲线方程为2a1y= ± x21 b，双曲线方程可化为:2 a4b* 22計.设动点P的坐标为(X,y)，则|AP|=.(x 5)2 y2由条件，若2b< 4此时存在双曲线方程为:x2(5、6)22y5

10、. 62(2)若双曲线焦点在y轴上，可设双曲线方程为2yb22x2=1(x R),4b申|AP|=、；5(x 4)2 b2 5 ,. x R，二当 x=4 时，|AP|min=_5 晶,22 xy2-=1.4【解后归纳】给出双曲线的渐近线， 并不能确定焦点的方位， 故要讨论双曲线的两种形式二b2=i，此时存在双曲线方程为对应训练分阶提升、基础夯实1若双曲线的两条渐近线是y=± ?x,焦点是 F1( - 26 , 0),2F2(. 26 , 0)，那么它的两条C.28 26B. 2613准线间的距离是8 A. 2613()D. 9 .26132.曲线2x2 y2+6=0上的一点P到一个

11、焦点的距离为 4,贝U P点到较远的准线的距离为(A；6C. 2、6D.2.6 或 2、643与椭圆x2A.162cZ162x492y2红=124有相同焦点且以92 x 9=14y=±x为渐近线的双曲线方程是3x2B.92D.92L 1162 1164设圆过双曲线16 =1的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是4A.-32y-=15A.两离心率之积为C.相同的两个焦点5双曲线8B.-32x与椭圆一252=1,16 C.- 332D.-2定有B.相同的两条准线D.实轴长=长轴长6. 双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等份，则它的离心率为c'6C.2A

12、. 2D. 2、37. 准线方程为x+y=1，相应的焦点为(1 , 1)的等轴双曲线方程是2 2 1B.x +xy y =22 2 1A. x2 xy y2=21C.xy=28. 平面内动点P到两定点IA.双曲线C.两条射线9. 设0是第三象限角，方程 A.焦点在x轴上的椭圆 C.焦点在x轴上的双曲线1D.xy= 2F1、F2的距离之差的绝对值是常数2a,B.双曲线或两条射线 D.椭圆x2+y2si n 0 =cos B 表示B.焦点在y轴上的椭圆iD.焦点在y轴上的双曲线则动点P的轨迹是2x10设双曲线a2y7 =1(0<a<b)的半焦距为c,设直线l过(a, 0)和(0, b)

13、两点，已知原点到 b2直线l的距离为丁 c,则双曲线的离心率为A.2B.、32、思维激活2 2D.-311.对于双曲线2 X2a2>yr =1(a>0, b>0, c= a2 b2 )而言，它的准线与渐近线的交点到中心b2的距离等于 ，它的虚轴的端点到顶点的距离等于 .2 212.双曲线-=1上有点P, Fi、F2是双曲线的焦点，且/ FiPF2=，则 F1PF2的面1693积是2X13.过双曲线a与=1的焦点f(c,O)作渐近线y=-x的垂线,b2a则垂足的坐标是14.已知双曲线x2a22缶=1(a>0, b>0)的左右两个顶点分别为A、B，过双曲线右焦点 F且

14、与3x轴垂直的直线交双曲线于两点P、Q,若/ APB=arctan , b=1，则a=-2 三、能力提高15如图，已知梯形 ABCD中，|AB|=2|CD|,点E分有向线段AC所成的比为入，双曲线过C、23F、E三点，且以A、B为焦点，当34时，求双曲线离心率的取值范围16.A、B两点分别在双曲线x2a2=1的两条渐近线上,O 为原点,且 |0A| |OB|=a2+b2=c2,求线段AB中点M的轨迹方程117.在厶ABC中，BC固定，顶点A移动，设|BC|=a，当三角形三内角满足：|sinC sinB|= -sinA 2时，求点A的轨迹方程.18设一2<m<0,在直角坐标系中， 通

15、过点M(m, 0)的直线I与双曲线x2 y2=4有惟一的交点P,而与双曲线的渐近线交于A、B两点.(1)求直线I的方程；当m变化时，求 ABO的重心轨迹方程第2课 直线与双曲线习题解答1.A 由条件知c= . 26且-a22? 2?2bT8b291 268(26 a2)9 . 26故a2.2628(26 a )解之 a2=82 a "22 8、268.26132.A化双曲线为22x y .=1362x丄=1故b= . 3准线方程为=± 2, °嚅由双曲线第二定义知:24=最远距离为d1+2 £8c <64 6 4.P(x, y)，左、右焦点为10)

16、, F2(5, 0)知圆心横坐标为 x=(3+5)=4，故2y2=16X 7 2y216 16 7 g1635.C 在双曲线中:a=3, b= - 5 , c= 14c 一 14a2_9c 14 '在椭圆中：a=5，b= 11，c= . 14，.145a22525，比较即得.142, a6.B 由 2 c1 -2c得a 3.7.D因双曲线是等轴双曲线，所以离心率e= . 2，设P(x, y)是此双曲线上有流动坐标，由 b3.B c= 4924 =5 又a且 c2=a2+b2=25联立解之：a2=g , b2=16.4.C 由条件知，圆心不在双曲线的另一个顶点上，设圆心坐标为F1，F2，

17、左、右顶点为 A1, A2，由A2(3，双曲线的第二定义得:(x 1)2(y1)2"?|x .y211 平方之:1 x2+1 2x+y2+1 2y=(x2+y2+1+2xy-2x 2y)化简得 xy=.28.B 当2a=|FiF2|是两条射线.2x9.D/ sin 0 <0, cos 0 <0,二y ?如=1是双曲线.coscos10.A16a2 b222cc r2 ab16T2c22c a2e2 B解之:=4或3即e=2或，3又 0<a<b,. a 得垂足坐标是<b2, c2=a2+b2>2a2,2 e> Q，舍去一.11.取一条准线2 a

18、 x= c，取一条渐近线by= xa交点为£，辿它到中心的距离为c ca2 2ab'a2 b2 =ac虚轴端点取为(0 , b)顶点取(a , 0) 距离为.a2 b2c.12.不妨设P在左右支上，F1为左焦点， 中由余弦定理得：则由定义得：|PF1|- |PF2|=8,又|F1F2|=10 在 PF1F2|PF1|2+|PF2|2- 2|PF1| |PF2| cos60°=100.由方程组円|2| PF2 |2 100 |PF1 |?|PF2|円|IPF2I 8得 2|PF1| |PF2|=36+|PF1| |PF2|,. |PF1| |PF2|=36,1故 F1

19、PF2 面积为 S= |PF1| |PF2| sin60° =9.3.213渐近线的垂线方程为:ay=( )(x- c)解方程组baby ()(x21孑2 215.设双曲线方程为笃笃=1，双曲线经过点 C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的a b对称性知C、D关于y轴对称依题意，记A( c,c10), C(, h), E(X0, yo)，其中c=AB|, h是梯形的高，由定比分点22坐标公式得:(X0=2(12)?c,yo,点 C、1 hE在双曲线上，将点C、E的坐标和e=-代入双曲线a2方程得：-42=1e24(2h2产(入 +1)2=1h2由得产2e1代入得:4e2入=e23 得:

20、4e2 e2233解之:410 ,双曲线离心率的取值范围是7, .10 .b16设线段AB中点M(x, y),点A在直线y= x 上,a点B在直线y=x 上，贝V A(X1, X1),aab一B(X2, X2)，由中点坐标公式知: a1X(X1 X2)2y 1 ? b X X2)2 a2x x1x22ay bI 2|0A|= X1b222 X1aca 刈；|ob|=ca|x21，2 0A| |0B|=与a|xi X2|=C2,： XlX2= ± a2,又 22 得:2 2 4a y4xt =4x1X2,b22 2a y 丄 2X2 = ± a2,.b22 x2a2*=±1为线段AB中点M的轨迹方程1