2016年杨浦二模文理

1、2016年杨浦区二模2016.04填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分.1、函数f（x）二2的定义域为x -12、已知线性方程组的增广矩阵为（1-1，若该线性方程组的解为，则实数3、计算lim1 2 3川nn严n2 14、若向量a、b满足a =1,b =2，且a与b的夹角为，则a + b =35、若复数Z1 =3 4i,Z2 =1 -2i,其中i是虚数单位，则复数 彳 Z2的虚部为i6、丄一.,： 的展开式中，常数项为ac-b-acabbx7、已知 ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为 a、b、c，

2、若则角C的大小是&已知等比数列a.的各项均为正数，且满足：da? =4，则数列log 2 an的前7项之和9、（理）在极坐标系中曲线 C :二2COS二上的点到（1,二）距离的最大值为x 一 y（文）已知变量x, y满足x工0,.y =0,乞5,一一3 则2x 3y的最大值为10、（理）袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取 3只，若以表示取到的球中的最大号码，则的数学期望是DSZ（文）已知正六棱柱的底面边长为2,侧棱长为3,其三视图中的俯视图如右图所示，则其左视图的面积是 211、已知双曲线X21的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一4条渐近线的直线与双曲线交于点P

3、 , M在直线PF上，且满足OM FF =0，则LPMJ|PF |12、现有5位教师要带3个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有 （用数字作答）（5、44x+ 1-5x1x丿x13、（理）若关于x的方程=m在（0, ：）内恰有三个相异实根,则实数m的取值范围为（文）若关于x的方程，5x十5 i4x 4 =m在（0, +丸）内恰有四个相异实根，贝V实数mI x丿丨x的取值范围为14、课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法.祖暅原理也可用来求旋转体的体积现介绍用祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的

4、圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1）,即可求得球的体积公式请研究和理解球的体积2 2公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为2 1,将此椭圆绕y轴旋425转一周后，得一橄榄状的几何体（图2）,其体积等于 xDSZ二、选择题（本大题满分 20分）y = l n xC1、y =xD1、y = x _x(A y=2x b16、已知直线I的倾斜角为：，斜率为k，则“”是“ k < 3”的(3A、充分非必要条件B、必要非充分条件15、下列函数中，既是奇函数，又在区间17、设x, y, z是互不相等的正数，则

5、下列不等式中不恒成立.的是A211A、x2 - xB、x 3 一、一,x 2 -xxx1C |x -y|2D、|x_y|m|x_z| |y z|x yC充要条件D、既非充分也非必要条件18、（理）已知命题：“若a,b为异面直线，平面:-过直线a且与直线b平行，则直线b与平面的距离等于异面直线a,b之间的距离”为真命题根据上述命题，若 a,b为异面直线,且它们之间的距离为 d，则空间中与a,b均异面且距离也均为 d的直线c的条数为（ ）A 0条 B 、1条 C、多于1条，但为有限条D、无数多条1ABC - ABjG 中，AC =BCAA1，D 是棱 AA2（文）空间中n条直线两两平行，且两两之间

6、的距离相等，则正整数n至多等于（三、解答题（本大题满分 74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 19、（本题满分12分，其中第一小题 6分，第二小题6 分） 如图，底面是直角三角形的直三棱柱 上的动点.（1）证明：DO _ BC ；（2）求三棱锥C - BDC1的体积;20、(本题满分14分，其中第一小题8分，第二小题6分)某菜农有两段总长度为 20米的篱笆PA及PB ,现打算用它们和两面成直角的墙 OM、ON围成一个如图所示的四边形菜园 OAPB (假设OM、ON这两面墙都足够长)已知PA = PB =10 （米），乂AOP =NBOP-,OAP 二

7、 OBP .设.OAP - v，四边形4OAPB的面积为S(1 )将S表示为二的函数，并写出自变量 二的取值范围;(2)求出S的最大值，并指出此时所对应 二的值；21、(本题满分14分，其中第一小题 6分，第二小题8分)已知函数f (xHax log2(2x 1)，其中a R(1) 根据a的不同取值，讨论 f(x)的奇偶性，并说明理由；(2) 已知a 0，函数f (x)的反函数为f 4(x)，若函数y = f(x)f"x)在区间1,2上的最小值为1 log2 3，求函数f(x)在区间1,2上的最大值；DSZ（理）22、（本题满分16分，其中第一小题 4分，第二小题6分，第三小题6分）

8、2 2已知椭圆C:笃再=1 （a b 0）的焦距为2 3，且右焦点F与短轴的两个端点组成一 a b个正三角形.若直线I与椭圆C交于A %,%、B X2,y2，且在椭圆C上存在点M，使得：OM =3OA 4OB （其中0为坐标原点），则称直线I具有性质H 55（1）求椭圆C的方程；（2）若直线I垂直于x轴，且具有性质 H，求直线l的方程；（3）求证：在椭圆C上不存在三个不同的点 P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H DSZ（文） 22、（本题满分16分，其中第一小题 5分，第二小题5分，第三小题6 分）已知数列玄'和 b餐满足：ai=2, nan 1=（ n 1応 n（n 1

9、）, nN，且对一切nN , 均有 Dd 川 bn =（R）an.（1）求证：数列更为等差数列，并求数列 gn 的通项公式；n（2）求数列bn的前n项和Sn ；a b*（3） 设Cnn n （n N ），设数列Cn的前n项和为Tn，求正整数k，使得对任意an bnnN*，均有Tk -TnDSZ（理）23、（本题满分18分，第一小题5分，第二小题5分，第三小题8分）已知数列 玄 /和 b ?满足：at 二，nan 彳=（n 1）an n（n 1）, n ：二 N *,且对一切 n ：二 N* , 均有昵川0 =（巨）S（1 ）求证：数列 色 为等差数列，并求数列 gn ：的通项公式；n（2 ）若

10、 =2，求数列bn的前n项和Sn ；a b*（3）设Cn- n （n N ），记数列Cn的前n项和为Tn，问：是否存在正整数，对an 0一切nN *，均有T4 恒成立.若存在，求出所有正整数的值；若不存在，请说明理由；DSZ（文） 23、（本题满分18分，第一小题4分，第二小题6分，第三小题8分）2 2已知椭圆c :笃爲=1 （a b 0）的焦距为2.3，且右焦点F与短轴的两个端点组成a b一个正三角形。若直线l与椭圆C交于A x1, y1、B x>,y2，且在椭圆C上存在点M ,34使得：OM OA 0B （其中0为坐标原点），则称直线l具有性质H .55（1）求椭圆C的方程；（2）若

11、直线I垂直于x轴，且具有性质 H，求直线l的方程；（3） 在椭圆C上是否存在三个不同的点 P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H .若存在，求出一组 P、Q、R ;若不存在，说明理由；DSZ评分标准填空题1. -2,1） 一（1, ：） 2 . 2、75. - 36.157ji. 8310.（理）4.5（文）6、. 311.112.54132、选择题15.C16 .A 17. C三、解答题19.解:（1）证明:BCCC1 ,BC _ AC ,79.（理）3（文）1441J5 1.（理）|6,（文）（6,10）14I 10丿18.（理）D （文）B80n3BC丄侧面ACG A .DC1

12、 侧面 ACGA .BC _ DC1 .（3分）（3分）（2）V C -BDC1 =Vb _cdC1BC S CDC1,3BC 1 CG AC 二1323（3分）（3分）20.解：（1）在 PAO中，由正弦定理,|OA于是OA =10j2si nSinOP|sin -二旦 “0、.2Ttsin 4（2分）OP =10j2sin 日，（2分）DSZSPAO =1= 1oA OP si n=50V2si nsi n'3；r日4(4JI(2 分)所以四边形OAPB的面积为g、f1、 f 13、S =100 .2 sin r sin ： r 0, (2 分)14丿I4八44丿f3、(2) S

13、=100、2sin rsin i -14丿2= 100 sin j cost sin r= 100 !sin 茁 1 一 COs“122丿(4分)-50、2 1 ( 2 分)(1 分)= 50、2sin i250,- i 0,1.，. . ： i 1二丄二.I 4丿J 4八44丿3兀所以，当时，四边形OAPB的面积S取得最大值Smax821 解：(1 )函数的定义域为 R，关于原点对称，3 由 f (1) = a log23， f (-1) - -a log2 a -1 log23可得：f(1) f(1) =一1 2log2-0，f(1) - f (-1)=2a 1.1当 a 时，f(1) f

14、(-1) = 0,f(1)-f (-1) = 0,(3分)(2分)f j(1) = 0 (2 分)f (x)为非奇非偶函数；1当a= 时，21 1 -xx由 f (-x) =log2(2 222 H f (x)，所以 f (x)为偶函数.2)当a 0时，f (x)为增函数，其反函数f “仪)也为增函数.所以：y = f (x) f J(x)在区间1,2上为增函数.(2 分)所以其最小值为f (1) f *(1) =1 log2 3，由f(0) =1，得:10DSZ所以：a log2 3 = 1 log23，所以 a = 1 ,（2 分）即：f （x） = x log 2（2x 1）.由f （x

15、）在区间1,2为增函数,可得函数f（x）在区间1,2上的最大值为2 log25.（2 分）（理）22.解：（1 ）由 2c=2'、3 可得：（1 分）由3b，所以：b =1（1分）所以：a2 = b2 c2 = 4（1 分）x2所以椭圆C:：八1 ；（1分）（2）设直线 l :x =t（2 ：t :：: 2），则 A（t,y1）、B（t,y2）（1 分）其中小2满足：y2=14y1 y0（1 分）设 M gym）34由OM OA OB可得:55"7t,沧几勺2555y1（1 分）由点M在椭圆C上，所以100' 5（yJ =1（1 分）即 49t24-t2=100，所以

16、：t =2（1 分）（1 分）直线I为：x = -、2或x - - 2 ；（3）证明:假设在椭圆C上存在三个不同的点 P（n，yJ,Q（x2, y2）, R（x3, y3）使得直线PQ、QR、RP都具有性质H因为直线pq具有性质h，所以在椭圆c上存在点m，使得：OM二临4ob.5511DSZ4 - 5+X3 - 5y 3 y14 y2，因为点m在椭圆上,55所以:342（5X1 5X2）（|yi 4v2）2 =1，5522又因为：乂 y2 =1 ,yl =d可得：生 y1y0 444同理：竺y2y3 =0 4（3 分）XoX-l小丫3比=041）若xi, X2, X3中至少有一个为0 ,不妨设

17、Xi = 0，贝U yi = 0，由得：y2 = y3 = 0，即Q,R为长轴的两个端点，则不成立，矛盾！；（ i 分）2 2 22）若Xl，X2，X3均不为0,则由、可得： 誉 叙矛盾！（2分） 得证（文） 22.解：（1 ）证明：由也_鱼=墮二血卫=1 ,n+1 n n（n +1） n（n +1）可得：数列西为等差数列,n（3分）所以:弘=n 1，所以：an 二 n（n 1）；n（2分）（2）当 n 一2时，bnbid "Ibnbib2“lbn4（2）n（n 1） 4n）（n）（匸）2n=2n（2分）bi =2也满足上式，所以：对一切bn = 2n （1 分）（2 分）（3） L

18、丄丄4bn an 25 n+1 丿（n N ）Sn=b +b2+ill+bn=2n 十-2.（2 分）12DSZ由 g =°,c20,c30,c4 0 ；当n _5时,n（n 讪2n一n 1 n 22n +n 1 n-22n(2 分)5 5 125：1所以当n_5时，Cn ：0 ,(2 分)综上对任意恒有T4 _Tn,故 k =4.（理）23.解：（1 ）证明：由nan1-( n 1总 n(n 1) 1I ， n(n 1) n(n 1)(3 分)可得：数列为等差数列,n由 - ，所以：= - n -1，所以：an = n（n 爪咒-1） ；（2 分）1n（2）当兔=2时，a.二 n（

19、n 1）.当 n_2时，b厂地 乩=（，2）n（n1）g）（n）=（&）2n=2n，（2 分）匕力2川04R =2也满足上式，所以：对一切N*，bn=2n.（ 1 分）所以：7 戈 |bn 二刘 -2.（ 2 分）（3）当 n 二2时，bn = db/Hbn =（72）n（n+m（ng =（72）2nWbid川 bz'b|=（''2）'也满足上式，所以：对一切 n N*， bn=C，2）2n（ 1 分）设存在正整数，对一切nN *，均有T4 _Tn恒成立，13DSZc4 _0 a4 _b4则4 ，即44,C5 乞0< b5仁 _3J /.24（3朴）型72）涉 所以：_5（4）儿2厂8 = 2 或 3（3 分）当=2 时：a* = n（n 1）, bn = 2n，所以 q =0,q 0,Cs 0,c4 0 ； （1 分）t丄1n（n +1当 n5 时，Cn= I V n J-1 ,叩 +1）2 一而n n 1 n 1 n 2 n 1 n-202*2* 1 _2“ 1 0，n n 12n5 5 1-25：1所以当n _5时，cn <0（2 分）所以对任意n N *恒有T4 _Tn ,同理：=3也符合综上：满足条件的存在，且为2或3.（1 分）（文）解：（1）由 2c =2.3 可得：