圆锥曲线的切线及切点弦方程

1、I锥曲线的切线及切点弦方程近几年，切或相交问题，直线与圆锥曲线交于两点时弦长问 题或弦上某点（或中点）的轨迹问题，焦点弦问题, 或弦与其它点构成的三角形、四边形面积或面积的 最值等问题。1:11:12 2上;点"口儿）在椭圆上r “cosy儿二处也0/（0三）直线/2与直线4 ：牛+誓=1垂直，O为坐标原点，直线op的倾斜角为m “ O直线I的倾斜角为丫证明：点P是椭圆与直线人的唯一交点；复习:1:过【员/ +"=厂2上一点M （兀0,儿）的切线方程：. 25 + y儿=厂。丫2V-2：设PCs儿）为椭圆+=l-L的点，则过该点的切线力程为: a b5 , yvo .F *

2、a h2 23：设P（斗，儿）为女曲线二-厶= 1上的点-则过该点的切线方程为： a* b*W yvo ,-T?'=* a b4：设,儿）为抛物线y? = 2 px h的点，则过该点的切线Jj程为:y>,=卩（X + %）锥曲线切线的几个性质III性质1过椭闘（XOH线, 的交点作椭圆（双山I线, W圆（双汕线，抛物线）抛物线）的准线与其K（实）轴所在讥线 抛物线）的两条切线，则切点弦反等于该 的通径.<Y1YEFi性质2过椭鬪（双曲线，抛物线）的焦点片的冇线交椭圆（双I山线，抛物线）/A, B两点，过A, B两点作椭圆（双曲线抛物线）的切线交于点P，贝IJP点的轨迹是焦点

3、F1的对应的准线，并HL PF丄AB例题1： 如图，沒扼肠绳 ：/的勲点为F,动点P在直线/: A* - y - 2 = 0上运动，iiP作扼肠线C的两条切线PA, PB, 且与拋场线C分别柏切于A. B丙点求APB的重心»的轨迹方程.解：设切点A、B坐标分别为（rY）和（ye；）（r * %A切线AP的方程XbI力线BP的方程为.2x,x y X； = 0；解得P点的坐标为:听以APB的巫心G的A世标为:4叮-打3所以八=-3九 + 4x；由点P在直线/上运动从而得到巫心G的轨迹方程为:A 一(_3y + 42) _ 2 = 0即 y = -(4x" - * + 2).3

4、锥曲线的切点弦方程设戶（尤00）为関/ + b = 7*2外一点，则切点弦的方程为：xx。+ yy。=厂。/ y2 役P（%。）为椭圆=1外一点过该点作椭圆的两条切线a hW点为A, B则弦AB的方程为：XV过尸（儿）为或曲线7-上7=1的两支作条切线则切点眩力程为： a" b'e。 yxo ,K-亍'设p（ro）为抛物线r = 2以开I外一点，则切点弦的方程为：y>'o = D（x + Xo）例题2：XV对丁関tffiilll线 r土刍二h过点尸（川,0）作两条切线，uF :设y,） （*22）切点为儿B.求证血线人8恒过1点则过A点的切线方程人：年士

5、平 =1a h则过“点的切线方程心斗土 畔 =I因为p任r线厶和rt线厶上.所以兽=1和豊aaaa所以Fi线AB的方程为才即恒过定亢H（ ,0）mm例题3:已知椭闘x2 + 2y2 = 1,戶是/忙/£线4卞+3孑=12匕一点，ril向已知椭闘作两切线，切点分别为A,B,问为H线A B打两坐标轴I hi成的三角形O M N而积ii小，最小值为多少？解：设P点坐标为P（Xo，y。），所以切点弦所在直线方启卡为:XX。+ 2y 儿=I所以M(,0),N(0,X。2y。SoMNr；乂 4*0 + 3九=1 2 A 4J3兀儿/- A V < 3,为 IL 仅 4.V = 3 人, n

6、 O"- U寸儿=2例题4：l21D M： x"+(y-2)" = KCJlix轴上的动点，QA.QB分别 W 口 M 丁 A'BW 点。4 VO(1 ):如果AE=，求rtdfiM Q的方程； 3C 2): 求劲吆ABITJ小点的轨迹刀术呈。|mn| =解：设Q(l,O) AB的小点为N,|AB| =1射影龙理|mq t= ± y/s=3.Jr + 4 = 9BQ宜线MQ的方程为士 2x5厂2丁？ = 0(2)设Q(t,O).则 也线AB的方程为tx-2(y-2)=lY线MQ的方程为一 +二=t 2交点N的坐标为(十，害)二点TV的参数方程为t宀42宀6严 t +