2019年高考数学考点分析与突破性讲练专题31椭圆及其性质理

1、1 / 16专题 31 椭圆及其性质、考纲要求:1. 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用2. 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质（范围、对称性、顶点、离心率 ）.3. 理解数形结合思想.4. 了解椭圆的简单应用.二、概念掌握和解题上注意点 ：1. 椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等2. 椭圆的定义式必须满足 2a |FIF2|.3. 求椭圆的标准方程的方法有定义法与待定系数法，但基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件

2、建立关于a,b的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为应+By2=lA0,B0,AMB的形式4. 求椭圆离心率的方法1直接求出a,c的值，利用离心率公式直接求解 .2列出含有a,b,c的齐次方程或不等式，借助于b2=a2c2消去b,转化为含有e的方程或不等式求解.5. 利用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系.建立关于a、b、c的方程或不等式.6. 直线与椭圆的位置关系的解题策略1 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用

3、根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.2 设直线与椭圆的交点坐标为A X1,y1,B X2,y2,则 |AB= ,1 +k2X1+X22 4x1X2 =；i1+：2 -y1+y22 4yty2】k为直线斜率）.三、高考考题题例分析2例 1. （2018 课标卷 I ）设椭圆 C:年一+y2=1 的右焦点为 F,过 F 的直线 I 与 C 交于 A, B 两点，点 M 的坐标为（2, 0）.2 / 16（1 ）当 I 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；3 / 16(2)设 0 为坐标原点，证明：/ OMAWOMB【答案】(1) y=-上一

4、 x+*J：r, y= x -：,(2)见解析【解析】匚二后U.F (1, 0)?丁1与X轴垂直,证明：(2)当 I 与 x 轴重合时，/ OMANOMB= ,当 I 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，/ OMANOMB当 I 与 x 轴不重合也不垂直时，设 I 的方程为 y=k (x - 1), k丰0,A (xi, yi), B (X2, y2),则 xiV,X2V匚，、71比直线 MA MB 的斜率之和为 kMA,kMB之和为 kMA+kM+,x!2邑_2=1r x=i i x=i由存严灣占二直线AIV1的方程为y=4 / 162kx|KgSkx|Xg+4k由 yi=kxi

5、- k, y2=kx2- k 得 kMA+kMB=A:J.-将 y=k ( x- 1)代入+y2=1 可得(2k2+1) x2- 4k2x+2k2- 2=0,2 X1+X2=：,X1X2=-2k2+l2k2+l2 2 2 2kxiX2- 3k (X1+X2) +4k=(4k - 4k - 12k +8k +4k) =02k2+l从而 kMA+kMB=0,故 MA MB 的倾斜角互补，/ OMANOMB综上/ OMANOMB2 2x y例 7.(2017 全国卷I)设A B是椭圆C:- +m= 1 长轴的两个端点若C上存在点M满足3 III/AMB=120,贝U m的取值范围是（)A. (0,1

6、U9，十)B. (0 ,.3U9 ,十8C. (0,1U4，十)D (0 ,3U4，十【答案】 A【解析】 法一：设焦点在x轴上，点Mx,y).过点M作x轴的垂线，交x轴于点N,则N(x,0) 故 tanNAMB=tan(NAMI4NBMN3 +x+ 3-x=|y|十|y|= 2 诟界3 十xG-Xx2+y2-3.-|y|y|又 tanNAMB=tan 120 =-3,22小2且由X2十 j 1 可得宀 3-红,3mm解得|y|2m3-m2 3|y|3y223-十y2- 3m 5 / 16又 0|y|Wmm结合 0v m3 解得 0v me1.3m6 / 16对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得

7、9.则m的取值范围是(0,1U9 ,+).故选A.法二：当 g 划3吋，焦点在j轴上！曼僮C上存在点”满趾乂 E=1205,则詩tan60=L即咅沁,鮮得矗 g.故型的恥值范围为(0.1U9 +8.故选扎2 2例 8.(2017 课标卷 I)已知椭圆 C：与 + 每=1(ab0),四点Pi(1,1 ),P2(0,1 ),R( - 1,a b(1)求 C 的方程;(2)设直线l不经过F2点且与C相交于A,B两点.若直线F2A与直线F2B的斜率的和为-1，证明：I过定点.2【答案】(1) X y2=14(2)见解析3),2P43(1,)中恰有三点在椭圆2C上.7 / 16【解析】试题分析： 根据也

8、卑两点关于y轴对称由椭圆的对称性可知亡经过乳号两倉昇外丄一丄丄二知，匚不经过点卩门所 D 点円在匚上因此：&耳在椭圆上，ft* r代入其标准方程，即可求出匚的方程；2）先设直线P汩与直戸迅的斜率分别为儿， 在设直线丿的方程，当与x轴垂直，通过计算，不满足题意，再设设/：y=kx-m）?4将丁=抵+型代入*r=i,写岀判别式，韦达走理， 表示出根將叶厂也=-1列 出等式表示出k和锲的关系，判断出直线恒过定怎.试题解析： （1）由于 F3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过 P3，P4两点.1113又由一.亍护恤知，C不经过2故C的方程为 L+y2=1.48 / 16扁2=4，解得：b

9、 =1b0)的左、右顶点分别为Ai,A,且以线段AA为直径的圆与直线bxay+ 2ab= 0 相切，则C的离心率为(乎BVA.C.【答案】【解折】曲题意知以卫1止为直径的圆的圆心揃(0期.半径为乩 又直銭抵一辱+2於=0芻圆相初， 二圆心到苴銭的距扁d=-=治+a,解得盘=範1违一例 10.(2017 课标卷 II)设O为坐标原点，动点M在椭圆C:=1上，过M作x轴的(2)设点Q在直线-3上，且OP卩Q =1。证明：过点P且垂直于OQ的直线I过C的左12 / 16证明略。【解析】试题分析：设出点P的坐标，利用帀=济得到点P与点,M坐标之间的关 系即可求得轨迹方程为+利用OP PO = 1可得坐标关系一3卿一/+饭一/=1,结合中的结论整理可得OQPF= 0 ,即00 -PF ,据此即可得岀题中的结论。试题解析：（1）设；N（x0,o）, P=i对二QyJ2 2因为M （xo,y。）在 C 上，所以冷七因此点 P 的轨迹方程为x2y2=2。(2 )由题意知F -1,0。设-亠牛二严町00 = -