选修期望方差练习题含答案

1、 2一 31.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和口现安排甲3 5组研发新产品A,乙组研发新产品 B,设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品 B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望.阿解：记E=甲组研发新产品成功, F= 乙组研发新产品成功.由题设知 P(E) = 3, P(T) = 3，P(F)=3, P(F )=5. 3355且事件E与F, E与"F, "E与F, "E"与"F都相互独立.(

2、1)记h=至少有一种新产品研发成功 ，则下="E" "F,于是1 . 22P( H ) = P( E )P( F ) = 3X5=15, .-213 故所求的概率为 P(H)=1-P( H )=1 一行:行.(2)设企业可获利润为 X(万元)，则X的可能取值为0,100,120,220.122P(X=O)=P(E F ) = 3X5=行,一 1一33P(X=100) = P( E F)=3X5=,2 2 4P(X=120) = P(E F )=3X5= 15P(X=220) = P(EF) = 3x|=165.3 5 15故所求的X分布列为数学期望为E(X)=0X

3、2346-+ 100x-+ 120x- + 220x-300 +480 + 1 320152 10015X0100120220P140.2 .现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下.游戏规则为：若小球最终落入A槽，得10张奖票；若落入 B槽，得5张奖票；若落入C槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过3次.(1)求投球一次，小球落入B槽的概率；(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.1 c解：(1)由题意可知投一次小球，落入B槽的概率为-2+2 2=2.(2)落入A槽的概率为1 c 1 112=4,落入b槽的概率为

4、2,落入C槽的概率为2 2=X的所有可能取值为0,5,10,1 31P(X=0)= 4 3=64,1 1 n P(X=5) = 2+4X2 +2X1=42 32'111p(X=10) = i+4><4+1 2=21,X的分布列为21X0510P21105E(X)=0x 64+5x3r10x 才行3 .在一场娱乐晚会上，有 5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对 5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手

5、.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望.解：(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，C2 3C3 5.C2 2 _ _则 P(A) = C2=2 P(B) =事件A与B相互独立,，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为 P(A B )= P(A) P( B )=P( A)1 P(B)2x2-=生 3 5 15. C4 3(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)=C3 = g12 2.X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为P(X =

6、0)=P(A B C ) = "X7><" =3 5 5475,P(X=1)=P(AB C )+P( A B C ) + P( A B C)3 20人=.5 75'2 一 5 X1 - 3 十2 一5 X3 一 5 X1 - 3十2 - 5 -X2 - 5 X2 一3P(X=2)= P(AB C ) + P(A B C) + P( A BC)= 2x3, x 2+2x2x3+ix3x 3=355355355337?2,3,3 18P(X=3)=P(ABC)=3X 5X5=75,X的分布列为:X0123PX 的数学期望 E(X)=0X a + 1X20+

7、2X33+3X 18 =甯=H 7575757575154.一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是 3.从盒中任取3张卡片.(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望.(注：若三个数a, b, c满足awbwc,则称b为这三个数的中位数.)解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为C3+C355P=C3 =84.(2)X的所有可能值为1,2,3,C2C5+C317且P(X=1) = = 4?P(X=2) =c3c4c2+c2c6 + c3 4384'C

8、2c71p(x=3)=-t=-故X的分布列为X123P2，一 一1上P为减函数,3所以cnc2p523'从而 E(X)=1x"+ 2X43+ 3X =47 ( )428412 28.5.已知一个口袋中装有 n个红球(n>1且nC N*)和2个白球，从中有放回地连续摸三次， 每次摸出两个球，若两个球颜色不同则为中奖，否则不中奖.(1)当n= 3时，设三次摸球中(每次摸球后放回)中奖的次数为X,求X的分布列；(2)记三次摸球中(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为 P,当n取多少时，P最大?3X2 3解：(1)当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率P=-c2-=：.p(x=

9、o)=c3 2 3=患；12513 2 236P(X=1)=C315 =法;p(x=当p=G时，P取得最大值=c3|25=：55；p(X=c3i3=1S.X的分布列为X0123P(2)设每次摸球中奖的概率为p,则三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P(X=2)=o3 p2 (1 -p)=- 3p3+3p2,0<p<1,P' = 9p2+6p=3p(3p2),知在 0, 2 上 P 为增函数，在3即 n2-3n+ 2=0,解得n= 1或n= 2.6.某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市 100 000名男生的身高服从正 态分布N(168,16).现从某学校

10、高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm和184 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组160,164),第2组164,168),，第6组180,184,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况;(2)求这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数；(3)在这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人中任意抽取 2人，将该2人中身高 排名(从高到低)在全市前130名的人数记为X,求X的数学期望.参考数据：若XN的, (2),则P(厂(KXW 叶 3=0.682 6

11、,Pg 2 o< XW 叶 2) = 0.954 4,Pg 3 o< XW 叶 3) = 0.997 4.5解：(1)由频率分布直方图，经过计算得该校高三年级男生平均身高为162*就十78221.166x+170x+ 174X+ 178X +182X-x4= 168.72，高于全市的平均值 168.(2)由频率分布直方图知，后 3组频率为(0.02 + 0.02+0.01)X4=0.2,人数为0.2X50 = 10,即这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数为10.(3) .P(168- 3X 4<X< 168+3X 4)= 0.997 4,1 0.997 4. P(X>180)=2=0.001