(浙江专用)2020版高考数学空间几何体的结构、三视图和直观图讲义(含解析)

1、§8.1空间几何体的结构、三视图和直观图最新考纲考情考向分析1 .了解多面体和旋转体的概念，理解柱、锥、 台、球的结构特征.2 .了解简单组合体，了解中心投影、平行投影的含义.3 .了解三视图和直观图间的关系，掌握三视 图所表示的空间几何体.会用斜二测画法画 出它们的直观图.空间几何体的结构特征、三视图、直观图在 局考中几乎年年考查.王要考查根据几何体 的三视图求具体积与表面积.对空间几何体 的结构特征、三视图、直观图的考查，以选 择题和填空题为主.基础知识自主学习回扪耳础知猊训.世注目知识梳理1 .多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形&一飞一结构特征有两个面互相平行且 全等

2、,其余各面都是 平行四边形.每相邻两个四边形的 公共边都互相平行有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体用一个平行于棱锥底 面的平囿去截棱锥， 截面和底面之间的部 分侧棱平行且相等相交一点但不一定相等延长线交于,点侧面形状平行四边形三角形梯形2 .旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形A11母线互相平行且相等，垂直于底面相交于 ,点延长线交点X轴截回全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧囿展开图矩形扇形扇环X3 .三视图与直观图三视图回法规则：长对正、高平齐、览相等直观图斜二测回法：（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观 图中x'轴、y'轴的夹角

3、为45°或135° , z'轴与x'轴 和y轴所在平囿垂直.（2）原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标 迪，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变一 平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.:概念方法微思考】1 .底面是正多边形的棱柱是正棱柱吗，为什么？提示 不一定.因为底面是正多边形的直棱柱才是正棱柱.2 .什么是三视图？怎样画三视图？提示 光线自物体的正前方投射所得的正投影称为正视图，自左向右的正投影称为侧视图， 自上向下的正投影称为俯视图，几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为三视图.回几何体 的三视图的要求是正视图与俯视图长对正

4、；正视图与侧视图高平齐；侧视图与俯视图宽相等.基础自测题组一思考辨析1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打或“X”）（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.（X ）（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.（X ）（3）棱台是由平行于底面的平面截棱锥所彳#的截面与底面之间的部分.（ V ）（4）正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.（X ）（5）用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.（X ）（6）菱形的直观图仍是菱形.（X ）题组二教材改编2. P19T2下列说法正确的是（）A.相等的角在直观图中仍然相等B.相等的线段在直观图中仍然相等

5、C.正方形的直观图是正方形D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行答案 D解析 由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变.（填写所有正确的序号）3. P8T1在如图所示的几何体中，是棱柱的为13答案 题组三易错自纠4 .某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱答案 A解析 由三视图知识知，圆锥、四面体、三棱柱（放侄看）都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形.5 .如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是（）答案 C解析此几何体侧视图是从左边向右边看.故选 C.6 . （201

6、8 浙江诸暨中学期中）边长为242的正方形，其水平放置的直观图的面积为（A. ；42B. 1C. 2 2D. 8答案 CSk观图题型一 空间几何体的结构特征 卜'自主演缘 .以下命题：以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案 B2解析 正方形的边长为 2版 故面积为8,而原图和直观图面积之间的关系为 -el=±-,故直观图的面积为8X乎=2/2.7 . （2018 全国I

7、）某圆柱的高为2,底面周长为 16,其三视图如下图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为 A圆柱表面上的点 N在侧视图上的对应点为 B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为 （）A. 2 17B. 2 55C 3D. 2答案 B解析 先画出圆柱的直观图，根据题中的三视图可知，点M N的位置如图所示.,v2 O圆柱的侧面展开图及 M N的位置（N为OP的四等分点）如图所示，连接MN则图中MN为1M到 N的最短路径.|ON=4X16=4, |OM = 2,.I MN= y|OM2+ | ON解析 由圆锥、圆台、圆柱的定义可知错误，正确.对于命题，只有用平行于圆锥 底面的平面去截圆锥

8、，才能得到一个圆锥和一个圆台，不正确. =122+42 = 2福.故选 B.题型分类深度剖析2.给出下列四个命题:有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱;侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥;侧面都是矩形的直四棱柱是长方体;底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱.其中不正确的命题为.（填序号）答案 解析 对于，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故错；对于，对等腰三角形 的腰是否为侧棱未作说明（如图），故错；对于，若底面不是矩形，则错；由线面垂 直的判定，可知侧棱垂直于底面，故正确.综上，命题不正确.思维升华空间几何体概念辨析题的常用方法（1）定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，

9、在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系 或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定.（2）反例法：通过反例对结构特征进行辨析.题型二简单几何体的三视图多维探究命题点1已知几何体识别三视图例1（2018 全国出）中国古建筑借助桦卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫桦头，凹进 部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是桦头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构 件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）r答案 A解析由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.，俯映方向命题点2已知三视图，判断简单几何体的形状例2如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个

10、几何体的三视图，则这个几何体是(A.三棱锥C.四棱锥B.三棱柱D.四棱柱答案 B解析 由题意知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱.命题点3已知三视图中的两个视图，判断第三个视图例3一个锥体的正视图和侧视图如图所示， 下列选项中，不可能是该锥体白俯视图的是 ()答案 C解析 A, B, D选项满足三视图作法规则， C不满足三视图作法规则中的宽相等，故C不可能 是该锥体的俯视图.思维升华三视图问题的常见类型及解题策略(1)注意观察方向，看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线.(2)还原几何体.要熟悉柱、锥、台、球的三视图，结合空间想象还原.(3)由部分视图画

11、出剩余的部分视图.先猜测，还原，再判断.当然作为选择题，也可将选项逐项代入.跟踪训练1(1)(2018 杭州模拟)如图，在正方体ABCD- ABCD中，P为BD的中点，则 PAC在该正方体各个面上的正投影可能是()A.C.答案 BB.D.解析 P点在上下底面投影落在 AC或AG上，所以PACS上底面或下底面的投影为，在前、后面以及左、右面的投影为.（2）（2018 宁波模拟）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的正视图8（等腰直角三角形()答案 C解析 该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P ABCD如图所示，该几何体的俯视图为C.题型三空间几何体的直观图师生共研 例4已知等

12、腰梯形 ABCD上底CD= 1,腰AD= CB= g,下底AB= 3,以下底所在直线为 x轴, 则由斜二测画法画出的直观图 A B C D'的面积为 .答案解析 如图所示，作出等腰梯形 ABCD勺直观图.因为 O叁 W*2-1 =1,所以 O E' =2, E' F=当,1+3 22 J2则直观图A B C D'的面积S'=一厂'手=牛.思维升华用斜二测画法画直观图的技巧 在原图形中与轴平行的线段在直观图中与轴平行，不平行的线段先画线段的端点再连线.跟踪训练2如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个底角为45。、腰和上底长均为2的

13、等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）A. 2+ 2C. 4+2 2课时作业力基础保分练1 .在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是（）A.圆面B.矩形面C.梯形面D.椭圆面或部分椭圆面答案 C解析 将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面，故选C.2 .如图所示，四面体ABCD勺四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用）,则四面体ABCD勺三视图是（用代表图形）（）33A.B.C.

14、D.答案 B解析 正视图应该是边长为 3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线， 左上到右下是虚线, 因此正视图是，侧视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是；俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是.3 .用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（）A,圆柱B.圆锥C.球体D.圆柱、圆锥、球体的组合体答案 C解析截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体.4 .某几何体的正视图与侧视图如图所示，则它的俯视图不可能是 （）答案 C解析 若几何体为两个圆锥体的组合体，则俯视图为A;若

15、几何体为四棱锥与圆锥的组合体，则俯视图为B;若几何体为两个四棱锥的组合体，则俯视图为D;不可能为C,故选C.5 . （2018 丽水、衢州、湖州三地市质检）若将正方体（如图1）截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图是（）答案 B解析 从左向右看，该几何体的侧视图的外轮廓是一个正方形，且AD对应的是实线，B1C对应的是虚线.故选 B.6 . （2011 浙江）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）答案 D解析 A, B的正视图不符合要求,C的俯视图显然不符合要求，故选D.7 . （2019 台州模拟）已知底面是直角三角形的直棱柱的正视图、俯视图如下图所示，

16、则该棱柱的侧视图的面积为（）A. 18 6C. 18 2答案 CB. 18 3D.解析 设侧视图的长为 x,则x?= 6X 3= 18,x= 3，2 所以侧视图的面积为 S= 3g2x6= 18M2.故选C.8.用一个平面去截正方体，则截面不可能是 （）A.直角三角形B.等边三角形C.正方形D.正六边形答案 A解析用一个平面去截正方体，则截面的情况为:截面为三角形时,可以是锐角三角形、 等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形;截面为四边形时,可以是梯形 （等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形、正方形，但不可能是直角梯形;截面为五边形时,不可能是正五边形;截面为六边形时，可以是正

17、六边形.9. （2018 湖州模拟）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长为俯视图A. ：5B. 2 ：2C. 3D. 2 ,；3答案 C解析 在棱长为2的正方体ABCD-ABGD中，M N分别为AD BC的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥 DMNB故通过计算可得 DB = 2ft, DM= B1NI= 弗 MN= 2, MB= ND= 3, 故该三棱锥中最长棱的长为 3.10 .一水平放置的平面四边形 OABC用斜二测画法画出它的直观图O A B C'如图所示,此直观图恰好是一个边长为 1的正方形，则原平面四边形 OABC勺面积为.答案2 :'2解析 因为直观图的面

18、积是原图形面积的 W倍，且直观图的面积为 1,所以原图形的面积为 2 1'2.11 .如图，在正方体 ABCD ABGD中，点P是上底面 ABCD内一动点，则三棱锥 P ABC勺 正视图与侧视图的面积的比值为 .答案 1解析 如题图所示，设正方体的棱长为a,则三棱锥P- ABC勺正视图与侧视图都是三角形,且面积都是2a2,故面积的比值为 1.12 .给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面体.其中正确命题的序号是 .答

19、案解析 不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；正 确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面所在的三个平面的二面角都是直二面角； 正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如图，正方 体ABCD- ABCD中的三棱锥 C ABC四个面都是直角三角形.彳技能提升练13 .如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O, Q,这两个球外切，且球 。与正方体共顶点A的三个面相切，球 O与正方体共顶点 B的三个面相切，则两球在正方体的面AACC上的正投影是（）afl.ah c b答案 B解析由题意可以判断出两球在正方体的面上的正投影与正方形相切.由于两球球心连线AB与面ACC1不平行，故两球球心射影所连线段的长度小于两球半径的和，即两个投影圆相交，即为图B.14 .我国古代数学家刘徽在学术研究中，不迷信古人，坚持实事求是.他对九章算术中“开立圆术