一元二次方程配方法,公式法,因式分解法

1、一元二次方程的根一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解.例1：下面哪些数是方程 2x2 10x 12 0的根？一4、一3、一2、一1、0、1、2、3、4分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可.复习a b 2 a2 2ab b2(a b)2 a2 2ab b2根据公式完成下面的练习：x28xx2x2pxx2x25x x2例2：解方程：x3 6x 9 2解：由已知，得： x 3 22直接开平方，得:x 32即 x 3 J2 x 3<2所以，方程的两根x13 2,%3

2、2(2)9x212x3x22(4) x6xx22(6) x9x x2- 2_ 一3x 5x 2“、，人口 252解：方程两边同时除以 3,得x2 x -3322一 25525配方，得x x36364936，、5 7c 5 7所以，方程的两根x12 , x26 66 6像这种求生一元二次方程的根的方法叫做配方法练一练： x2 8x 92(2) x 12x 15 0-2(4) 3x 8x 3 0_ 2(5)2x9x 8 02(6) x 2 8x练一练、选择题方程x x 12的两根为（).2.3.4.5.6.方程ax已知x若x2A.°, X2b, X21是方程2axB.4x4,q2 B.B

3、 . x1°,x2°的根是（bx cC.b, X2°的根，则C. x11, x2C. X1a,X2D. 2,那么p、q的值分别是（4,q2C. p4,q).D. X14,q1, X22a ,X2b2方程3x29 °的根为（用配方法解方程A.C.二、填空题如果x2812.已知方程5x3.方程xB. - 3C. ± 3D.无实数根4.若8x25.如果方程6.如果a、°正确的解法是（1689,X59,X1那么mx 62x x2 23,5T,X281 °的两个根分别是X1B.D.°的一个根是x 3 ,则m的值为1°

4、;,那么方程的根X1 =° ,则x的值是2372,那么，这个b为实数，满足,ha 4b2二次方程的两根是三、综合提高题如果关于x的二次方程 ax2bx；X2 =1必是该方程的一个根.12b 36 °,那么ab的值是89'1,X1原方程无解53,X2c ° a °中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数,求证:二次方程公式法7L二次方程 ax2 bx c0 a 0的根由方程的系数a、b、c而定，因此:二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2 bx c 0 a0 ,当 b2 4ac 0 时，？将a、b、c代入式子x,b2 4ac就得到方程的根。2a

5、（公式所出现的运算,恰好包括了所学过的六种运算,加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。 (2)(3) (4)这个式子叫做一利用求根公式解由求根公式可知,例1.用公式法解下列方程.2x2 x 1 0分析：用公式法解二次方程的求根公式。次方程的方法叫公式法。二次方程最多有两个实数根O次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可。解：a2、bb24ac1、c1 2X1.91142-2练一练：用公式法解下列方程.(1) x 2 3x 50、选择题(2)x21.53x(3) X2x.2(4) 4x 3x 2 01.用公式法解方程4x212x3,得至IJ （3.6A. x 2B.3

6、.6x 2C.2.32D.3 2.322.方程 V2x2 4V3x0的根是（A. x12,x2.3B . x16, x2、2C.x12 . 2, x223. m2n2的值是A. 4B. - 2C. 4 或2D. - 4 或 2、填空题21 . 一兀二次万程 ax bx c 0 a 0 的求根公式是,条彳是.22 .当x 时，代数式x 8x 12的值是-4.3,若关于x的一元二次方程 mix2 x m2 2m 3 0有一根为0,则m的值是.三、拓展题某数学兴趣小组对关于 x的方程m 1 xm2 2m 2 x 1 0提出了下列问题。若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出 m并解此方程.求

7、根公式：xb b2 4ac2a根据求根公式判别一元二次方程根的情况方程b2 4ac的值b2 4ac的符号x1，x2的关系(填相等、不等或不存在)2x2 3x 03x2 2国 1 04x2 x 10( 1)当b2 4ac 0时，根据平方根的意义， 后4ac等于一个具体数，所以一元二次方程b . b2 4acb 、b2 4acax bx c 0 a 0 的x1 x2 , 即有两个不相等的实根，即bb2 4acb b2 4acx1 , x2 。2a2a2a2adb2 4ac 0,所以一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的b x?O2a (2)当b2 4ac 0时，根据平方根的意义bx x2 ,即

8、有两个相等的实根，即 x12a (3)当b2 4ac 0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以一元二次方程ax2 bx c 0 a 0没有实数解。例1.不解方程，判定方程根的情况(1) 16x2 8x 32(2) 9x2 6x22x9x2(4) x 7x 18分析：不解方程，判定根的情况，只需用-2b 4ac的值大于0、小于0?的情况进行分析即可.巩固练习一、不解方程判定下列方程根的情况(1) x210x2623x26x(4) 4x1x 16(5) x2二、选择题以下是方程A.b2C.b22.3.(6)4x26x 0(7 ) x2x 45 8x(8) x2 3x 53x24ac4ac次方程

9、x22x8,1的解的情况,，方程有解8,，方程有解其中正确的有(b. b2D. b24ac4ac8,，方程无解8,，方程无解ax 10的两实数根相等，则 a的值为（已知k1,次方程kxC.三、填空题px q2.不解方程,一 一 2 一判定2x 3C. a 21 0有根，则D.k的取值范围是（D. k为一切实数0有两个相等的实数，则 p与q的关系是4x的根的情况是).3 .已知b0,不解方程，试判定关于_ （?填"二个不等实根”2 一二次万程 x 2a b x或“二个相等实根或没有实根”一 一 2a ab 2b 0的根的情况是四、综合提高题,、一 ，一 .，一、一 21 .不解万程，判

10、别关于 x的万程x2kx 2k 10的根的情况.2、若关于x的2二次万程 a 2 x2 ax a 1 0没有实数解，求ax 30的解集（用含a的式子表示）.二次方程因式分解法解下列方程。22x x 0方程中没有 常数项；左边都可以因式分解：可以写成：x 2x 1 01两个因式乘积要等于 0,至少其中一个因式要等于 0,也就是x 0或2x 1 0,所以x1 0,x2-2 因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次，这种解法叫做 因式分解法.用因式分解法解方程2（1）10x 4.9x0

11、（2）x x 2 x 2 0思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？（方程一边为（3） x 1 230,另一边可分解为两个一次因式乘积。2x 2 )1.下面一元二次方程解法中，正确的是（）.A. x 3 x 510 2 , . x 32B. 25x5x20 , 5x2C. x24x0,x12, x2D. x2 x两边同除以x,得x 1一、填空题10, x 52 5x 31. x2 5x因式分解结果为2 ,x1 13,x2 7八.230x1,x255 ; 2x x 35x3因式分解的结果是22.万程2x 1 2x 1的根是3.二次三项式x2 20x 96分解因式的结果为2；如果令x2 20x 960 ,那么它的两个根二、综合提高题1 .用因式分解法解下列方程.2(3) x 12x 28 02(