2009年北京市高考数学试卷(理科)及答案

1、2009年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1. （5分）在复平面内，复数z=i （1+2i）对应的点位于（A.第一象限B.第二象限 C第三象限D.第四象限2. （5分）已知向量a= （1,0), b= (0, 1),工二百用(kCR), d=Sb,如果工/江那么（A. k=1且c与d同向 B. k=1且c与d反向C. k= - 1且c与d同向D. k=- 1且c与d反向3. （5分）为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（ ）A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C.向

2、左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4. （5分）若正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1的底面边长为1, AB1与底面ABCD成60角，则AiG到底面ABCD的距离为（）A B. 1C.2 D.35. （5 分）" cr=r_+2k 兀（k C Z） ”是A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. （5 分）若（1+x历）5=a+b/2 （a, b 为有理数），贝U a+b=（）A. 45 B. 55 C. 70 D. 807. （5分）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶

3、数的个数为（ ）A. 324 B. 328 C. 360 D. 6488. （5分）点P在直线l: y=x- 1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A, B 两点，且|PA二|AB| ,则称点P为 幺点”，那么下列结论中正确的是（A.直线l上的所有点都是4点”B,直线l上仅有有限个点是 那点”C.直线l上的所有点都不是乂点”D.直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是 整点”二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9. （5 分）.2>010. （5分）若实数x, y满足，则$=丫-x的最小值为.、y<511. （5分）设f （x）是偶函数，若曲线y=f （x）在点（1,

4、f （1）处的切线的斜 率为1,则该曲线在（-1, f （-1）处的切线的斜率为 .2212. （5分）椭圆卷-+W厂=1的焦点为R、F2,点P在椭圆上，若|PR|=4,则92| PE| =, / F1PF2 的大小为14. （5 分）an满足：a4n3 = 1,a4n1=0,a2n=an,n N* 则32009=；a2014=三、解答题（共6小题，满分80分）15. （13分）在 ABC中，角A,B,C的对边分别为a, b, % B=去,二卷，卜一禽.(I )求sinC的值；(n )求 ABC的面积.16. (14分)如图，在三棱锥 P-ABC中，PZ底面 ABC, PA=AB / ABC=

5、60, /BCA=90,点D、E分另1J在棱PR PC上，且DE/ BC.(1)求证：BC1平面PAC(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；(3)是否存在点E使得二面角A-DE- P为直二面角？并说明理由.17. (13分)某学生在上学路上要经过 4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是 相互独立的，遇到红灯的概率都是 上，遇到红灯时停留的时间都是 2min.(I )求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(n)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间己的分布列及期望.18. (13 分)设函数 f (x) =xekx (kw 0).(I )求曲线y=f (

6、x)在点(0, f (0)处的切线方程；(n)求函数f (x)的单调区间；(m)若函数f (x)在区间(-1,1)内单调递增，求k的取值范围.2219. (14分)已知双曲线C:三一。=1 (a>0, b>0)的离心率为dl,右准线 / b方程为x= _(I)求双曲线C的方程；(II)设直线l是圆O: x2+y2=2上动点P (xo, y°) (x°y0W0)处的切线，l与双 曲线C交于不同的两点A, B,证明/ AOB的大小为定值.20. (13 分)已知数集 A=a1，吗 ，an (1<aKa2< -n>2)具有性质 P;对任意的i, j

7、(1 <i<j<n), aaj与景两数中至少有一个属于 A.(I)分别判断数集1, 3, 4与1, 2, 3, 6是否具有性质P,并说明理由;(R)证明：ai=1,且二1;% 4a2 土4%(田)证明：当n=5时，ai, a2, a3, a4, a5成等比数列.2009年北京市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共8小题，每小题5分，满分40分)1. (5分)(2009?北京)在复平面内，复数 z=i (1+2i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C第三象限 D.第四象限【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为 a+bi (a, bCR)的形式，即可确 定

8、复数z所在象限.【解答】解：. z=i(1+2i) =i+2i=-2+i,复数z所对应的点为(-2, 1),故选B2. （5 分）（2009?| 匕京）已知向量;二（1, 0）, b= （0, 1）, c=k+b （k R）, d=a田，如果阳/后,那么(A. k=1且c与d同向 B. k=1且c与d反向C. k= - 1且c与d同向D. k=- 1且c与d反向【分析】根据所给的选项特点，检验k=1是否满足条件，再检验k=-1是否满足 条件，从而选出应选的选项.【解答】解：:京(1, 0),同=(0, 1),若k=1,贝1!圣己+b= (1, 1) , d=a- b= (1, - 1),显然，

9、之与E不平行，排除A、B.若 k= 一 1,贝U 二=一宕+b= ( - 1, 1), d=a b= (1, - 1),即不忖且1与W反向,排除C, 故选D.3. （5分）（2009?北京）为了得到函数y=igF的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案.【解答】解：.广1吕芸匚1吕（工十3）-1,只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平

10、移3个单位长度，再向下平移1个单位长度故选C.4. （5分）（2009?北京）若正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1的底面边长为1, AB与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）A - B. 1 C.二 D.；【分析】画出图象，利用线段的关系，角的三角函数，求解即可.【解答】解：依题意，BB的长度即A1C1到上面ABCD的距离，/BiAB=60°, BB=1Xtan60=G故选：D.5. （5 分）（2009?北京）erg-+2k tt (kCZ) ”是 “cos2/二的(A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要

11、条件简易逻辑中充要条件的判断.属于【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、基础知识、基本运算的考查.将 a=2L+2k九代入cos2a易得cos2aL成立，但 6回cos2a=时，a=)+2k兀(k Z)却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到 26结论.【解答】解：当a= 6+2k：t (k Z)时,cos2a=cos (4k ：+) =cos反之，当cosZa，时，有 2a=2kt+?？ a=k + (k Z), 36(kCZ),或 2a=2k：t- -? a=kTt-故选A.6. (5 分)(2009?北京)若(1+/2) 5=a+b应(a, b 为有理数)，贝U a+b=()A. 4

12、5 B. 55 C. 70 D. 80【分析】利用二项式定理求出展开式，利用组合数公式求出各二项式系数，化简展开式求出a, b,求出a+b【解答】解析：由二项式定理得：(1+/2) 5=1+C51V2+C52 () 2+C53 (V2) 3+C4 (血)4+C55? (72) 5=1+5.2+20+20. +20+4.2=41+29用，. a=41, b=29, a+b=70.故选C7. (5分)(2009?北京)用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A. 324 B. 328 C. 360 D. 648【分析】本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法

13、，因百位 不能为0,所以百位有8种，个位有8种，写出结果数，当尾数为0时，百位有 9种选法，十位有8种结果，写出结果，根据分类计数原理得到共有的结果数.【解答】解：由题意知本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0,所以百位有8种，十位有8种，共有8X8X4=256当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有 9X8X1=72根据分类计数原理知共有256+72=328故选B8. (5分)(2009?北京)点P在直线l: y=x-1上，若存在过P的直线交抛物线 y=x2于A, B两点，且|PA二|AB|,则称点P为“点"，那么下列结论中正确的 是()

14、A,直线l上的所有点都是婢点”B.直线l上仅有有限个点是 那点”C.直线l上的所有点都不是渥点”D.直线l上有无穷多个点(点不是所有的点)是 4点”【分析】根据题设方程分别设出 A, P的坐标，进而B的坐标可表示出，把A, B 的坐标代入抛物线方程联立消去 y,求得判别式大于0包成立，可推断出方程有 解，进而可推断出直线l上的所有点都符合.【解答】 解：设 A (m, n), P (x, x- 1)贝U, B (2m x, 2nx+1). A, B 在 y=x2 上n=m2, 2n-x+1= (2m-x) 2消去n,整理得关于x的方程x2- (4m-1 ) x+2m2-1=0= =8m2 8m

15、+5>0 包成立，方程恒有实数解，故选A.、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9. （5 分）（2009?北京）:工一2一【分析】通过因式分解把原式转化为消除零因子后得到,由此能够得到lin的值.【解答】解：量fl 1=1. - 1）-1 I=1+y - 2）010. （5分）（2009?北京）若实数x, y满足y<4则s=y- x的最小值为 z、代56 .【分析】画可行域如图目标函数s为该直线纵截距平移目标函数可知直线过（4, -2）点时s有最小值.【解答】解：画可行域如图阴影部分，令 s=0作直线l: y-x=0平移l过点A （4, - 2）时s有最小值-6,故答案为-

16、6.11. (5分)(2009?北京)设f (x)是偶函数，若曲线y=f (x)在点(1, f (1) 处的切线的斜率为1,则该曲线在(-1, f (-1)处的切线的斜率为-1 .【分析】偶函数关于y轴对称，结合图象，根据对称性即可解决本题.【解答】解；取f (x) =x2- 1,如图，易得该曲线在(-1, f (-1)处的切线的斜率为-1.故应填-1.12. (5分)(2009?北京)椭圆唳-+=1的焦点为F1、F2,点P在椭圆上，若|PF1|=4, 9 | 2则| PE| = 2 , / F1PE 的大小为 120° .【分析】第一问用定义法，由|PR|+| PF2|=6,且|P

17、R|=4,易得|P冏；第二问如 图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解.【解答】解：. | PF|+| PE| =2a=6, . | P切=6-| PR|=2.在 FiPF2 中，cos/ F1PF2|叫I，十|P, |2 -恒1上|? 2|PFj- |PFj，二2X4X22 / FiPF2=120°.故答案为：2; 120°x<013. （5分）（2009?北京）若函数则不等式卷的解集为3, 1【分析】先由分段函数的定义域选择解析式， 构造不等式，再由分式不等式的解 法和绝对值不等式的解法分别求解，最后两种结果取并集.【解答】解：由|f（K）上巧=-3<

18、;m%。由解集为x| - 3<x< 1,故答案为：-3, 1.14. （5 分）（2009?北京）an满足：a4n 3=1, a4n 1=0, a2n=a, n NU 02009= 1a2014= 0.【分析】由a4n-3=1, a4n 1=0, a2n=& ,知第一项是1 ,第二项是1 ,第三项是0, 第2009项的2009可写为503X4- 3,故第2009项是1,第2014项等于1007 项，而1007=252X 4-1,所以第2014项是0.【解答】解：V 2009=503X4-3,二 a2009=1 ,a2014=ai007,1007=252X 4- 1,二 a2

19、014=0,故答案为：1, 0.、解答题（共6小题，满分80分）a515. （13分）（2009?北京）在 ABC中，角A, B, C的对边分别为(I )求sinC的值;（II）求 ABC的面积.【分析】（I ）由cosA等得到A为锐角且利用同角三角函数间的基本关系求出 sinA的值，根据三角形的内角和定理得到 C=Tt-A,然后将C的值代入sinC, 利用两角差的正弦函数公式化简后，将sinA和cosA代入即可求出值；（II）要求三角形的面积，根据面积公式 S=absinC和（I ）可知公式里边的a 不知道，所以利用正弦定理求出 a即可.【解答】解：（I）;A、B、C为ABC的内角，且皿A二

20、言0, 35A为锐角,则 sinA= -2 =-sinC=sin（-A） =cosA+1-sinA=344； 32210（H ）由（I ）知 sinA工，sinC="'3 , 510又b=V3,J在 ABC中，由正弦定理，得. a上国曲国.sinB 5.ABC的面积 S=LabsinC=Lx.!Lx JJ+9.22 5*105。16. (14分)(2009日匕京)如图，在三棱锥 P-ABC中，PA，底面ABC, PA=AB /ABC=60, / BCA=90,点 D、E分另在棱 PR PC上，且 DE/ BC.(1)求证：BC1平面PAC(2)当D为PB的中点时，求AD与平面

21、PAC所成的角的正弦值；(3)是否存在点E使得二面角A-DE- P为直二面角？并说明理由.【分析】(1)欲证BC，平面PAC根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证 BC与平面PAC内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知PAL BC,而AC!BC,满足定理所需条件；(2)根据DE，平面PAC垂足为点E,则/DAE是AD与平面PAC所成的角.在 RttAADE中，求出AD与平面PACff成角即可；(3)根据DE，AE, DE± PE,由二面角的平面角的定义可知/ AEP为二面角A- DE- P的平面角，而PA，AC,则在棱PC上存在一点E,使得AE，PC,从而存在 点E使得二面角A-D

22、E- P是直二面角.【解答】解：(1) .PAL底面ABC.PA，BC.又/BCA=90, a AC±BC, . . BC，平面 PAC(2);D 为 PB的中点,DE/ BC, DEBC.2又由(1)知，BC1平面PAC DE，平面PAC垂足为点E, / DAE是AD与平面PAC所成的角.PZ底面 ABC . PAa AB.又PA=AB .ABP为等腰直角三角形，ad=Lab.五在 RtABC中，/ABC=60, . BCaAB,2.在 RtADE中，sin/DAE些=£1,AD 2AD 4即AD与平面PAC所成角的正弦值为 亚.（3） v DE/ BC,又由（1）知，B

23、C1平面 PAC DEL平面 PAC又AE?平面PAC PE?平面PBC .DELAE, DE±PE,.二/AEP为二面角A-DE- P的平面角.PAL底面 ABCPA! AC,./PAC=90,.在棱PC上存在一点E,使得AEL PC.这时，/ AEP=90,故存在点E使得二面角A- DE- P是直二面角.17. （13分）（2009?北京）某学生在上学路上要经过 4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是遇到红灯时停留的时间都是2min.（I ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（n）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间己的分布列

24、及期望.【分析】（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的， 所以这名学生在第 一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率，根据公式得到结果.(2)由题意知变量的可能取值，根据所给的条件可知本题符合独立重复试验， 根据独立重复试验公式得到变量的分布列，算出期望.【解答】解：(I )设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,二.事件A等于事件 这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口 遇到红灯”，事件a的概率为p(a)二1-1)乂(1-LjxL工333 27(H)由题意可得己可能取的值为0, 2, 4, 6, 8 (单位：min)事

25、件 ”=2k彳介于事件 该学生在品&上遇到k次红灯”(k=0, 1, 2, 3, 4),=2k)=cJ(1)h(|)4 -k(k=0, 1, 2, 3, 4)即士的分布列是02468婚勺期望是二一二二,斗厂. 一一一。.二J。. - . 。二二31 cS JL 上 31o JL 318. (13分)(2009日匕京)设函数 f (x) =xekx (kw0).(I )求曲线y=f (x)在点(0, f (0)处的切线方程；(n)求函数f (x)的单调区间；(m)若函数f (x)在区间(-1,1)内单调递增，求k的取值范围.【分析】(I)欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求

26、出在 x=0 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.(II)先求出f (x)的导数,根据f'(x) >0求得的区间是单调增区间，f'(x)<0求得的区间是单调减区间即可；(III)由(H )知，若k>0,则当且仅当- 1时，函数f (x) (- 1,1)内单调递增，若k<0,则当且仅当->1时，函数f (x) (-1,1)内单调递增， k由此即可求k的取值范围.【解答】解：(I) f'(x) = (1+kx) ekx, f'(0) =1, f (0) =0, 曲线y=f (x)在点(0, f (0)处的

27、切线方程为y=x；(H )由 f' (x) = (1+kx) ekx=0,彳X= x= -i- (kw0),若 k>0,则当 x (-8, 1)时，f'(x) <0,函数f (x)单调递减，当 xC ( - 1, +oo )时(x) >0, k函数f (x)单调递增，若 k<0,则当 x (-8, 1)时，f'(x) >0,函数f (x)单调递增，当 xC ( -+00,)时，kf'(x) <0,函数f (x)单调递减；(田)由(H)知，若k>0,则当且仅当一pT，即k01时，函数f (x) (-1,1)内单调递增，若k

28、<0,则当且仅当-二方1,k即k> - 1时，函数f (x) (-1,1)内单调递增，综上可知，函数f (x) (-1, 1)内单调递增时，k的取值范围是-1, 0) U (0, 1.19. (14分)(2009?北京)已知双曲线C:=1 (a>0, b>0)的离心率为.一；，右准线方程为(I)求双曲线C的方程;(II)设直线l是圆O: x2+y2=2上动点(x°, y0) (x0y0W0)处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A, B,证明/ AOB的大小为定值.【分析】(I)先利用条件列出关于a, c的方程解方程求出a, c, b;即可求出双曲线方程.(II

29、)先求出圆的切线方程，再把切线与双曲线方程联立求出关于点A, B坐标 之间的方程，冉代入求出/ AOB的余弦值即可证明/ AOB的大小为定值.【解答】解: 解得 a=1, c=：；, b2=c2 - a2=2,所求双曲C的方程J(H)设 P (m, n) (mnw0)在 x2+y2=2 上,圆在点P (m, n)处的切线方程为y- n=- (x-m),化简得mx+ny=2.r 2 n，"2 1 以及 m2+n2=2 得jue + ny=2(3m2-4) x2- 4mx+8- 2m2=0,切L与双曲线C交于不同的两点A、B,且0<m2<2, 3m2- 40,且=16m2-4

30、 (3m2-4) (8-2m2) >0, 设A、B两点的坐标分别(xi, yi), (x2, y2),1 4m8 - 2m*xi+x2=Z, xix2=7.3mz - 4 3d - 4且 _ A T,:K ' v | ' 二 |, 1 ,- A :-工.尸口=xix2+-r- 4 - 2m (xi+x2)+m2xix28一 2心1 4笳F，品 3m2 - 4| 2- m2:3 - 4 | 3d£ - 48-2m28-2m2 八?=0-3m? - 43m2 - 4丁/AOB的大小为900.20. (13 分)(2009?北京)已知数集 A=ai, a2,，an (1Wai<m< F, n>2)具有性质P;对任意的i, j (1<i&