最新相似三角形分类整理超全

1、第一节第二节第H一 1节：相似形与相似三角形根本概念：i.相似形：对应角相等,对应边成比例的两个多边形,我们称它们互为相似形.匚二2.相似三角形：对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形.1.几个重要概念与性质(平行线分线段成比例定理)(1)平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.a/bIIc,ABDE-ABDE_BCEF_BCEF_ABBC或或或或可得BCEFACDFABDFACDFDEEF等(2)推论：平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例条件是平行.(3)推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得

2、的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证实两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.(4)定理：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.(5)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.ac比例线段：四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即一=一,bd那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.2.比例的有关性质ac比例的根本性质：如果一一,那么ad=bc.如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),bd精品文档AD由DE/BC可得：DBECADEAABAC.此

3、推论较原定理应用更加广泛精品文档精品文档b是线段a、d的比例中项,那么b2=ad.典例剖析例1:在比例尺是1:38000的南京交通游览图上,玄武湖隧道长约7cm,那么它的实际长度约为Km.小Ha2ab假设一=一那么=.b3b假设 a a2b2b=9那么 a a：b=.2ab53 .相似三角形的判定(1)如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似.(2)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似.(3)三边对应成比例的两个三角形相似.补充：相似三角形的识别方法(1)定义法：三角对应相等,三边对应成比例的两个三角形相似.(2)平行线法：平行于三角形一边的直线

4、和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.注意：适用此方法的根本图形,(简记为A型,X型)A(3)三边对应成比例的两个三角形相似.乒会 D D(4)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似./(5)两角对应相等的两个三角形相似.C(6)一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似.(7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似.【根底练习】(1)如图1,当时,ABCsAADE(2)如图2,当时,ABCsAAEDO(3)如图3,当时,ABCsACDOac那么一一.bd合比性质：如果ab等比性质：如果ab那么dcm=?=m(b+d+?+nw0),dn那

5、么ac?mbd?n精品文档图2 2精品文档小结：以上三类归为根本图形：母子型或A型3如图4,如图1,当AB/ED时,那么4s4如图5,当时,那么4s.小结：此类图开为根本图开：兄弟型或X型典例剖析例1:判断所有的等腰三角形都相似.所有的直角三角形都相似.所有的等边三角形都相似.所有的等腰直角三角形都相似.例2:如图,ABC中,AD是/BAC的平分线,AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于F求证：4ABFsACAF.精品文档A A精品文档例3:如图：在RtABC中,ZABC=90,BDXAC于D,假设AB=6贝UAC=;BD=;BC=;例3:如图：在RtABC中,/ABC=90,BDAC于

6、D,假设E是BC中点,ED的延长线交BA的延长线于F,求证：AB:AC=DF:BF一相似三角形:定义1、对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形.温馨提示：当且仅当一个三角形的三个角与另一个或几个三角形的三个角对应相等,且三条对应边的比相等时,这两个或几个三角形叫做相似三角形,即定义中的两个条件,缺一不可；相似三角形的特征：形状一样,但大小不一定相等；对应中线之比、对应高之比、对应角平线之比等于相似比.两个钝角三角形是否相似,首先要满足两个钝角相等的条件.2、相似三角形对应边的比叫做相似比.温馨提示：全等三角形一定是相似三角形,其相似比k=1.所以全等三角形是相似三角形的特例.其区

7、别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例.相似比具有顺序性.例如ABCSAB的对应边的比,即相似比为k,那么BCABC的相似比上,当且仅当它们全等时,才有k=k=1相似比是一个重要概念,后继学习时出现的频率较高,其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出.3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形.4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边,且这条直线与原三角形的两条边或其延长线分别相交,那么所构成的三角形与原三角形相似.温馨提示：定理的根本图形有三种情况,如图其符号语言：.DE/BC,ABCAADE

8、;第二节：相似三角形的判定精品文档精品文档这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理.它不但本身有着广泛的应用,同时也是证实下节相似三角形三个判定定理的根底,故把它称为预备定理；有了预备定理后,在解题时不但要想到上一节见平行,想比例,还要想到见平行,想相似.(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理(1):两角对应相等,两三角形相似.判定定理(2):两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.判定定理(3):三边对应成比例,两三角形相似.温馨提示：有平行线时,用上节学习的预备定理；已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时,可考虑利用判定定理1或判定定理2;已有两边对

9、应成比例时,可考虑利用判定定理2或判定定理3.但是,在选择利用判定定理2时,一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.例1.如图三角形ABC中,点E为BC的中点,过点E作一条直线交AB于D点,与AC的延长线将于F点,且FD=3ED,求证：AF=3CF2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似.温馨提示：由于直角三角形有一个角为直角,因此,在判定两个直角三角形相似时,只需再找一对对应角相等,用判定定理1,或两条直角边对应成比例,用判定定理2,一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似；如图是一个十分重要的相似三角形的根本图形,图中的三角形,可称为母子相似三角形,其应

10、用较为广泛.如图,可简单记为：在RtABC中,CDXAB,那么ABCCBDACD.直角三角形的身射影定理：AC2=AD*ABCD2=AD*BDBC2=BD*AB精品文档精品文档总结：寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项根本功.通常有以下几种方法：(1)相似三角形有公共角或对顶角时,公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角； 相似三角形中,一对相等的角是对应角,对应角所对的边是对应边,对应角的夹边是对应边；(2)相似三角形中,一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的

11、角是对应角.2、常见的相似三角形的根本图形：学习三角形相似的判定,要与三角形全等的判定相比拟,把证实三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形,要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结,形成一整套完整的判定方法.如：(1)平行线型相似三角形,根本图形见上节图.见平行,想相似是解这类题的根本思路；(2)相交线型相似三角形,如上图.其中各图中都有一个公共角或对顶角.见一对等角,找另一对等角或夹等角的两边成比例是解这类题的根本思路；(3)旋转型相似三角形,如图.假设图中/1=Z2,/B=/D(或/C=/E),那么ADEsABC,该图可看成把第一个图中的ADE绕点A旋

12、转某一角度而形成的.第三节相似三角形中的辅助线一、作平行线例1.如图,ABC的AB边和AC边上各取一点D和E,且使AD=AE,DE延长线与BC延长线相交于F,求证：旦上里CFCE精品文档精品文档例2.如图,ABC中,ABFB=2AFXED一、分类讨论：例1如图在正方形ABCD的边长为1,P是CD边的中点,Q在线段BC上,当时,那DP与AQCP相似？B例2如图在梯形ABCD中,AD/BC,/A=900,AB=7,AD=2,BC=3.上确定点P的位置,使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似.F和E.过点第四节相似三角形难题集BQ为何值精品文档精品文档:相似三角形中的动点问题

13、:1.如图,在RtAABC中,ZACB=90,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1/AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DHXAB于H,过点E作EFXAC交射线BB1于F,G是EF中点,连接DG.设点D运动的时间为t秒.(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;(2)当4DEG与4ACB相似时,求t的值.2.如图,在4ABC中,/ABC=90,AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A点出发,沿AC向点C移动.同时,动点Q以1m/s的速度从C点出发,沿CB向点B移动.当其中有一点到达

14、终点时,它们都停止移动.设移动的时间为t秒.(1)当t=2.5s时,求4CPQ的面积；求4CPQ的面积S(平方米)关于时间t(秒)的函数解析式；(2)在巳Q移动的过程中,当4CPQ为等腰三角形时,求出t的值.3.如图1,在RtAABC中,ZACB=90,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动,DE平分乙CDB交边BC于点E,EMBD,垂足为M,ENXCD,垂足为N.(1)当AD=CD时,求证：DE/AC;(2)探究：AD为何值时,4BME与ACNE相似？4.如下图,在4ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发,沿C

15、A以每秒3cm的速度向A点运动,当P点到达B点时,Q点随之停止运动设运动的时间为x.(1)当x为何值时,PQ/BC?精品文档精品文档(2)AAPQ与4CQB能否相似？假设能,求出AP的长；假设不能说明理由.5.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0vtv6).(1)当t为何值时,4QAP为等腰直角三角形？(2)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似？三、构造相似辅助线一一双垂直模型6.在平面直角坐标系xOy中,点A

16、的坐标为(2,1),正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45.,求这个正比例函数的表达式.7.在ABC中,AB=275,AC=4,BC=2,以AB为边在C点的异侧作ABD,使4ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长.8.在4ABC中,AC=BC,/ACB=90,点M是AC上的一点,点N是BC上的一点,沿着直线MN折叠,使得点C恰好落在边AB上的P点.求证：MC:NC=AP:PB.精品文档精品文档9.如图,在直角坐标系中,矩形ABCO的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(1,3),将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置,且AD交y轴于点E.那么D点的坐标为()10.,如图,直线y=-2x+2与坐标轴交AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD,使为1：2.求C、D两点的坐标.四、构造相似辅助线一一A、X字型11.如图：4ABC中,D是AB上一点,AD=AC,BC边上的中线AE交CD于F.AC=求证：一12.四边形ABCD中,AC为AB、AD的比例中项,且AC平分/DAB.B选_畛求证：二士二精品文档1 11 1站( (3 3于A、B两点.以得矩形的两边之比精品文档13.在梯形ABCD中,AB/CD,AB=b,CD=a,E为AD边上的任意一点,EF/AB,且EF交BC于点F,某