向量组的秩与极大无关组

1、at:»§I §33 向量组的钱'本节讨论几个向fi组之间的线性关系，并由此引出向量组的极大无关组与向量组的秩的概念,进而讨论向量组的秩与矩阵的秩的关系.例:向M 组(4):Q =(123)22 =(2,4,6),3 =(3,6,9),其屮线性无关的向量只有1个, 例如久 我们称e为向量纽(A)的-个极大 无关组，并称向量组(4)的秩为如果向帚组(A)有一个部分组, a?，S满足:0线性无关；Pa G (A),均育Us，0,a线性和关， 或a均可由少4",线性农示，则称 少02,a,为(A)的一个极大(最大)无关组 (A)的极大无关纽必与(A)等

2、价:最本质的件质.r “ “,.(1)向量组的极大无关组不是唯一的P (2)同一向鼠组的两个极大无关组间是等价的丿逊题:如果(A)的极大无关组不唯一，问其任意 两个极大无关组所含向量个数是否唯一?f定理5 I设有两个向量组：(A):&S 耳；:久角，血A(3)可由(A)线性表示，则(1) 当es时,()线性相关；(2) 当(B)线性无关时，必有rd.(证明从略) 推论1 任意Ml个n维向S组必线性相关两个等价的线性无关组所含向量个数相同. 茁】向重绍的两个极大无关组所含向量的个 '数和同 隆莎111向量组的极大线性无关组所含向量一的个数称为向量组的秩.规定，由零向量组成的向量组

3、的秩为0丿°性质I句暈组0,勺9,e “线性无关O厂(纠S,)二向量纽0心、线件和天OM0S，,J V华质打若向晴组Q C"4 J1J山向晴幻必02'，0线性农示.则(0心"J尋价向量组必有相同的|3 I若厂aor,)=r,则该向1 任意“ 线性无关向量就是它的一个极人线性无关组 例设eg线性无关，试求向磧组A =«,+«21 02 =4-住t的秩.解:由已知,002U由QiS线性农示乂因e二討巧2'旳石01-討2 故两向虽组等价,=> N片卩J RgaJ = 2.例9设有两个向量组:(I):e = 12a = 30。3

4、二6-31J0ah(11):0严I 02 =2' 03 =1-110(1)求(1)的秩；如果(l)、(llHf相同的秩,H仇口I由(I)线性 表示，试求常数依邪J值.解:(1)由"与理2线性无关,= 3a, + 22, => q与茂2为的极大无关组n(I)的秩为2.或【1|与匕2线性无先而线性相尢139山行列丿3 «2旳=丨206-3 1 -71()2 3()()即知“仃)=2(2)山条件 llr(/) = r(/) = 2 =>(/)线性相关0 U ft0 a b1 2 1=03 1-1 1 0-1 1 0A Pz Ah306 1 = 01-71I=&

5、gt; c/ = 3/>=-(m-3b)= 0又山几可山线性表示n角町由(I)的极大无关勿肉,a?线性表示=>aS，03线性相关=>彳亍列式禹別二23 b0 1-3 I 0=>Z? = 5=>a = 15'123O'I23()2371<()-11134-12f()_2-102480000-120a Ja, 久3"102-1310"1"I02-1310"1->)0-120-001000-120()000I|A =n所求秩为3下血讨论向最组的秩与矩阵的秩的关系. 矩阵人的行例)向量组的秩称为側彳亍(列

6、)秩. 定理6厂04)=4的行秩=A的列秩，(证明从略)命题若矩阵4经有限次初等行变换化为用阵 乩则A的任齒t个列向量勺01创应的A个列向量 具仃相同的线性相关性.(2)若矩阵A经有限次初等列变换化为矩阵B, 则人的任意k个行向量勇B屮相应的*个行向量具 有相同的线性相关性例10求下列向量组的秩:闵=(123,4/勺=(2,3.4,8) 丁 03 = (3714)了久=(02() 解:所求秩等丁下列矩阵A的秩：A =隔例3.11:求卜列向帚组的一个极大无关组及向量组的秩Ct, =(lJ,2,2J)a,=(0,2,k5,-l)a,=(2,0,3,-L3) cz/(LlQ4,-1)1102 |02

7、II021'F120102-2001-I02130T()1-1-2()1-I_2-25-1405-5205-521-13-10-11-20-1I-2j J並 «4解:4 = a,10211021l0200I-I001-1001-10000>000f00n1000200()000000()0-2000()0()00可见厂=30口2口斗可作为一个极人无茨自1W 为创 5 aJ->ILYf Qy = 2a -a.0000这足因为0|叫«4 aj ->0000例 12 将0 = (1,0,-4/ 川 a =(0,1,1) a产(1,0,1卩03 =(I丄(

8、)T线性表岀.解(0 1A = (a：Sa：/)= 1 0Z110、 -4100_5、20111T01010K0152 >012丿0所以,0 T-4,P = _£ai-茲巧55«丿0011101九方J方21b"bl，心）=（%"、）例I?设A,/?分别为z/rXnr Xn矩阵，证明 R(4«)<minR(AX R(fl) 证设C = AS.c* =|已 +站(12+0*5 (k = !,.,«) (AB)的列向最组可由4的列向量组线性表曲 故R(/lB)<R(/4).又，R(C) = R(C)=R(flM*)<R(fl=R(fi).所以 R(AB)<nunR(A), R(B).例14设业阵A"、B“满足AB = Z,Jt：中人加阶 单位矩阵，ILn </»证明：3的列向量组线性无关.证法1;设fl按列分块为=许“2 A 设仃一组数比，勺.兀,使得 " + ©02 +1北=0即A仏A=0z亦即&=aH中x =(XT，兀厂两端人;腳，得ABx = 01灭为