江苏省无锡市普通高中2020-2021学年高二上学期期末数学试题

1、无锡市普通高中2020年秋学期高二期终教学质量抽测建议卷数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1 .命题 a VxeR,x2-x + l>0w 的否定是()A. eR,x2 -x + 1 >0B. 3x e R,x2 - x +1 < 0C. Vx e R, x2 - x +1 < 0D. VxeR,x2 -x + 1 >0B根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断可得；解.：命题“工£&/一工+1之0”为全称命题，其否定为存在量词命题，故其

2、否定为mxwR.x?-x + l <0 故选：B2 .已知数列也是等差数列，若4+/+%=15, %-% = 12,则/。等于()A. 10B. 12C. 15D. 18C根据等差数列的性质，将条件转化为基本量4*的式子，计算即可得即).因为“是等差数列，所以外 + “5+%=34|+12 = 15,的-生=64 = 12,可得"=2必=-3,所以0 =4 +9d = -3+18 = 15.故选：C.3 .若？，都是正整数，则7+>?成立的充要条件是()A. m = n = 2B. m = n = C. 且>1D.，”至少有一个为1D根据z+:>"?

3、得到(I)(-1)<1,由？，都是正整数，求出L ，即可根据充分条件 与必要条件的概念，得出结果.由 ?+ > 加得 mn-m-n <0,则 7( 一 1) 一( - 1) < 1,即(w-l)(/2-l)<l,乂机，都是正整数，所以因此(mT)(T) =。，故? = 1或 =1,即"J 至少有一个为1；若加，至少有一个为1，则(7-1)(- 1) = 0<1,所以"7 + >见；综上，若加，都是正整数，则"7 + >2成立的充要条件是：加，至少有一个为1 .故选:D.4.有一个隧道内设双行线公路，其截面山一长方形和

4、抛物线构成，如图所示,为了保证安全,要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m,若行车道总宽度为7.2m,则车辆通过隧道时的限制高度为（A. 3.3mB. 3.5m3C先求出抛物线的解析式，再根据题意判断该隧道能通过的车辆的最高高度即可得到结论. 解：取抛物线的顶点为原点，对称轴为），轴，建立直角坐标系，则C（4.8,Y.8）,设抛物线方程/=一2），（>0）,将点C代入抛物线方程得4.82=2px4.8,解得 = 2.4, 抛物线方程为x2=-4.8y,行车道总宽度AB = 7.2, 将x = 3.6代入抛物线方程，得3.62 = -4.8），解得y =

5、 -2.7,，限度为7.22.70.7 = 3.8 （米） 则车辆通过隧道的限制高度是3.8米，故选：C5,在三棱锥PABC中，已知M是PC的中点，且两=天赤+ yX? + zAP（x.乂z e R）,则（A. z=x+yB. x = y + zC. x+y + z = lD. x+y + z = ODM是侧棱PC的中点，可得BM=q（BC + BP）,又前=衣-通，而=9_荏.代入化简与的=xAB + yAC + zAP比较即可得出.解：:M是侧棱PC的中点，面=!（8己+ 8户），2乂= 月,而=而一诟.II. I I I I I I.BM =-(AC + AP-2AB) = -AB +

6、AC + -AP 222-. -，_ 一 1乂 BM = xAB + yAC + zAP , :.x = -, y = z = - 2则 x+y + z = o.故选：D6.若抛物线炉=12），的焦点与双曲线二-二=1的一个焦点重合，则此双曲线的渐近线方程为 cr 5（ ）A. y = ±-xB. y = ± - xC. y = ±- /5xD. y = ± x2455c先由抛物线方程得出其焦点坐标，再由双曲线 一个焦点与抛物线的焦点重合，列出方程求出 。，进而可得双曲线的渐近线方程.因为抛物线Y = 12），的焦点坐标为（0,3）,乂抛物线心的焦点与双

7、曲线的一个焦点重合, 所以/+5 = 32,贝ij = 2,所以双曲线> = 1的渐近线方程为一|尻故选：C.7.已知等差数列也的公差为2,前项和为S“，且，邑，与成等比数歹ij.令"=/-数列.的前项和为1，若对于W“ e N ,不等式 < 彳恒成立,则实数丸的取值范围是（）A.B. 2>1C. 2>1D. 2>0355A根据S1,与，邑成等比数列，所以S22=S-S4,根据"=2,即可求得的值，即可求得,进而可得2 =一 = ；一高一工=）（4一3二），利用裂项相消法即可求得乙的表达式, 一2 （2 一1）（2+ 3） 4 2n -1 2+

8、 3分析即可得答案.因为S1,与，邑成等比数列，所以S22=S$所以 +引2 =% .4（"；吟,整理可得（2% +2）2 =q .2（24 +6）解得 =1,所以 =1 + 2（-1） = 2-1,£”，所以2 =1 1 1 )2 -1)(2 + 3) 4 2/1 -1 2/1 + 3所以111111 1 1 1 1T i = - (111+ 41)“ 45 3 7 5 92-3 2 + 1 2-1 2 + 31 八 111、11 /11、一(1 + - ) = 一 一 ( + ) 943 2n +1 2 + 33 4 2 + 1 2 + 3因为对于七N"不等式

9、<见恒成立, 所以%+2 + 3所以几之；.故选：A解题的关键是熟练掌握等差数列、等比数列的性质，并灵活应用，易错点为：在利用裂项相消 法求和时，需注意是相邻项相消还是间隔项相消，考查分析理解.，计算化简的能力，属中档题.8 .若椭圆C:二+二=1伍>%>0）上的点（2&到右准线的距离为葭过点M（0,l）的直线/与C cr b322交于两点A,B,且则/的斜率为（）A.-3B2点代入椭圆方程，点到准线距离和。2=加十°2,解得力=9,=5,。2=4,由而后，得2&=-3%，联立直线与椭圆方程得到一侬联立消去0即可求出攵-3o19425 , !r =

10、1a2 9b2解：由题意可得a2 =b2 +c2 ,解得/ =9, =5,/=4,/2$所以椭圆U： + £ = l, 95设 / ： 丁 =丘 +1,设 A（X, X）, B（x2 ,%）_ 2-因为AM =不施，所以2占=-3为y = kx + ilHx2 J 得（然2+5*+18近-36 = 0+ = 1195一1以1黑 结合2=-3内，联立消去W0解得攵=±三故选：B.-3o3在运用圆锥曲线问题中设而不求方法技巧时，需要做到：凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多.二、多项选择题

11、：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9 .下列命题正确的是（）A.若 a >b ,则1IB.若 历，则a bC.若 , c> d,则 a-d>Z?-cD.若&则。CD根据不等式的性质分别判断四个选项的正误，即可得正确选项.对于选项A： a > 0 > b ,则L>0>，,故选项A不正确；a b对于选项B：若ac >be ,且evO,则"，故选项B不正确；对于选项C：若c> d,则因为"方，所以a-d>b-c,故

12、选项C正确；对于选项D：若则。<8,故选项D正确.故选：CD10 .如图，已知蜴GA为正方体，E,尸分别是8C, 4。的中点，则（）C向量“与向量的夹角是60。B.（市+雨+配=6万D.异面直线EE与。所成的角为45。ABD在正方体ABC。-A,8GA中，以点A为坐标原点，分别以A8、AD. A4方向为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2,根据空间向量的坐标运算，以及异面 直线所成角的向量求法，逐项判断，即可得出结果.z在正方体A8C£>-A4GA中，以点A为坐标原点，分别以A3、AO、方向为工轴、了轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,设

13、正方体棱长为2,则 A(0,0,0), 4(0,0,2), 8(2,0,0),及(2,0,2), C(2,2,0),。(0,2,0), "(0.2,2)所以44=(22-2), 福一不；=函=(2,0,2),因此AC-(4|8_4A) =4 - 4 = 0；故 A 正确;乂职 + 而 + 配=率 +配=（-2,0,-2）+（0,2,-2）= （-22-4）, 而=（一2,0,0）,所以（市 + 率 + 配）* =4 + 4 + 16 = 24, 6诟2 =24，因日匕（袍+ 踮 + 配=6而，即B正 确；因为4月=(2,0,-2), A£>； = (0,2,2),所以

14、ss<A 反 AD >=Y _ 1 j4+4x14+4 2因此向量还与向量AZ）；的夹角是120。；故C错: 因为E,尸分别是BC, 4。的中点，所以七（2J0）,尸（1,1,1）,则 E户=（一1,0,1）,又。；=（0,0,2）,所以cos<EF. DD； >=E户DD；EF西2VF+Tx2- 2乂异面直角的夹角大于0。且小于等于90。，所以异面直线EF与。A所成的角为45。；即D正 确.故选：ABD.方法点睛：立体几何体中空间角的求法：(1)定义法：根据空间角(异面直线所成角、线面角、二面角)的定义，通过作辅助线，在 几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结

15、果；(2)空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量， 通过计算向量夹角(两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的 法向量夹角)的余弦值，来求空间角即可.11.某集团公司有一下属企业A从事一种高科技产品 生产.A企业第一年年初有资金2000万 元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 40%,预计以后每年资金年增长率与第一年的相同. 集团公司要求4企业从第一年开始，每年年底上缴资金，万元(，800),并将剩余资金全部投入下一年生产设第年年底A企业上缴资金后的剩余资金为4万元.则()A.。,=2800 /C.明川 >a9tD.当 f =

16、 400 时，% > 3800BC先求得第一年年底剩余资金内，第二年底剩余资金g,即可判断a的正误；分析总结，可得向 与巴的关系，即可判断B的正误；根据题意，求得4的表达式，利用作差法即可比较与勺 的大小，即可判断C的正误，代入/ =400,即可求得3,即可判断D的正误，即可得答案.第一年年底剩余资金6 =2000x(1+40%)= 2800-1,7I?第二年底剩余资金。2 =% x(l + 40%)T = 3920-t,故A错误； 第三年底剩余资金怎=4'(1 + 40%) / = :4-, = 5488 2, 所以第+1年年底剩余资金为勺7=，”(1 + 40%)- = :%

17、 -,故8正确； 因为77 77/7 ”一77.2aH = T 4_/ =（' 4.2 _1）_ f =（彳）-"“-2 _f _ f =（7）% 41 + 5 +（彳）-+ +77小 一/）力 75/ 777t 5t= 1）X（2800-）二（严（2800-）-不（二产一”二（二严（2800 丁） +彳，3 _，33L L"577?7ItSt? 77/所以。川一勺=三%， 4=N%，=(?"7(2800 3) + 3，=彳(?'i(2800 3), JJJJ乙乙J J乙因为 f v 800 ,同T 以 2800 > 0 ,2o 77r所以-

18、6=彳七严(2800-3)>0,即.。，故C正确；109/109x400当，= 400时，的=5488= 5488= 3744<3800,故 D错误；故选：BC2525解题的关键是根据对的，总结出许，并利用求和公式，求得勺的表达式，综合性较强，考 查计算化简的能力，属中档题.12 .我们把离心率为避二1的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为点上！的双曲线称为 22黄金双曲线，则()22A.曲线三-缶=1是黄金双曲线B.如果双曲线土-1=1(“>0力>0)是黄金双曲线，那么02=戊(c为半焦距) cr lrC.如果双曲线£-1=1(“>0,>0)是

19、黄金双曲线，那么右焦点F?到一条渐近线的距离等于焦 cr 6距的四分之一D.过双曲线。:£-1=13>08>0)的右焦点巴且垂直于实轴的直线/交C于M、N两点，O cr d为坐标原点，若NA/ON = 90。，则双曲线C是黄金双曲线BD根据双曲线的离心率以及黄金双曲线的定义分别计算即可-22解：对 1 A ：3< + 1，“ 一3 , b ->/5-" = 9 = 与告=告叵故A错误；对于B：双曲线£-1 = 1(。>0,>0)是黄金双曲线，所以eb2 = 立>-a2 = a2 = ac , 故 B iE确；I 2 J2对

20、于C：双曲线£-1 = l(“>0/>0)的一条渐近线y = a ba一-判断；1 ,所以c2=a/5+4 ，所以="+ > 111 c2 = a2 +h2 » 所以a 2则行（c，0）到其距离a x .= ui“ 卜代j,而由B可知，b2=ac-c故C错误；2.4/f 2 /,2 /,2 对于 D：当 x>0 时，/=1 I"、',令知 c , N G-,则。江=c,L , WJ aIa）aaON= c-,所以丽丽=°2一二=。，则=也，由B可知，双曲线C黄金双曲线， I a ）公故D正确；故选：BD双曲线的离

21、心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见 有两种方法：求出。，c,代入公式e = £；a只需要根据一个条件得到关于。，6C的齐次式，结合 2 = /一层转化为小。的齐次式， 然后等式（不等式）两边分别除以。或层转化为关于。的方程（不等式），解方程（不等式）即可得 e（e的取值范围）.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13 .已知空间向量 =（2?一3, + 2,3）,。=（2/? +1,3一2,6）,若2/序，则2m + n=. 13根据向量平行，则存在4,使得i二立，即可得到方程组，解得即可；解：因为

22、 a = （2"? -3, + 2,3）, b =（2m +1,3一 2,6）,且 Zllb所以存在4,使得& =后,所以（2z3, + 2,3） = /l（2z+l,32,6）2/n-3 = 2（2m + l）即彳+ 2 =2（3一2） 3 = 6z解得所以 2/+ = 13故答案为：1314 .某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面是一个矩形，面积为60m2,房屋正面每平方米的 造价为1500元，房屋侧面每平方米的造价为1000元，屋顶的造价为6000元.如果墙高为3m, 且不计房屋背面和地面的费用，那么把地面矩形较长的一边设计为 m时，能使房屋的总造价最低（结果用根式表示）

23、.4小设房屋的正面边长为第，侧面边长为）'?，总造价为Z元，由题意得出冲= 60,然后根据题 意得出Z关于X的函数表达式，利用基本不等式可求出Z的最小值，利用等号求出对应的X值, 综合可得出结论.设房屋的正面边长为侧面边长为），总造价为Z元，则个= 60, B|Jy = -,XZ = 3x. 1500 + 6y . 1000 + 6000 = 4500x +1"）。叫 + 6000 > 24500.v- £2222 + 6000 = 18000x/5+6000.当45001=刊吧，即当x = 4"时，Z有最小值，此时），=竺=3行；XX因此把地面矩形

24、较长的一边设计为4/米时，能使房屋的总造价最低.故答案为：4".易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2） “二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值， 则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个 定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15 .已知点尸（2,4）在抛物线。：,，2=2外上，过其焦点厂且倾斜角为45。的直线，与。交于加， N两点，则尸MN的面积为.1672依题意求出抛物线

25、方程，即可求出焦点坐标，从而求出直线/的方程，联立直线与抛物线方程, 利用抛物线焦点弦公式求出弦MN,再利用点到直线的距离求出点尸（2,4）到直线/的距离，从 而求出三角形的面积：解：因为P（2,4）在抛物线C：），2=2px,所以42=2px2,所以 =4,即抛物线方程为产=8x,焦点厂(2,0),直线/的倾斜角为45。，所以直线/的方程为y = x-2联立直线与抛物线方程得V2 =8工C，消去得'2一2工+4 = 0,设N(x“2) y = x-2所以玉+x,=12,所以MN = x+x, + = 16,点P(2,4)到直线/的距离"=h:« 垃Vr+(TJ所以

26、凡心m = Lv/N " = x 16 x 2忘=16点 22故答案为：16 V?16 .将正奇数按如图所示的规律排列：135791113151719212325272931则2021在第 行，从左向右第 个数.(1). 32(2). 50根据题干分析得前行共有 2个奇数，分析得2021是第1011个奇数，然后根据1011的范围可 得2021在第32行，从左向右第50个数.观察题干可得，第行有2-1个奇数，所以前行共有(1+2 -1) =>个奇数,而2021是第 21011 个奇数,312=961<1011<322=1024,所以2021 在第32行，从左向右第10

27、11 -961 = 50个数.故答案为：32； 50.四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文 字说明，证明过程或演算步骤.17. in e R ,命题 ：0 v/一4 v 3，命题。：(入一？ + 1)(工一"-3)<。.(1)若为真命题，求实数x的取值范围；(2)若是4的充分不必要条件，求实数7的取值范围.(1) x2<x<4. (2) m<m<3（1）解不等式0<x?4 v3x即可求解；（2）设命题成立对应集合4,命题q成立对应集合4,由题意可得A是3的真子集，利用数 轴即可求解.（1）若p 为真命

28、题,WJ 0<x2 -4<3a ,即 / 一4>0且炉 一4 v3x ,由 x? -4 > 0 得 x> 2 或 x < -2 ,由 V4v3x 可得一 lvxv4,所以解集为：xl2<x<4,故实数X的取值范围为x12 v X v 4,（2）由（1）知：为真命题，则 2vxv4, igA = xl2<x<4,由（x?+ l）（x一帆-3） vO可得?一1<工<"?+3, SLB = xm-<x<m+3,若是g的充分不必要条件，则A是3的真子集,所以in -1 < 2n? + 3>4经检验

29、当? = 1和7 = 3时满足A是8的真子集，所以实数m的取值范围是/«II<m<3结论点睛：从集合的观点判断命题的充分条件和必要条件的规则（1）若是9的必要不充分条件，则9对应集合是对应集合的真子集；（2）是q的充分不必要条件，则对应集合是9对应集合的真子集；（3）是q的充分必要条件，则对应集合与q对应集合相等；（4）p是q的既不充分乂不必要条件，对的集合与p对应集合互不包含.18 .已知函数/"） = /（“+4）X + M（aeR）.（1）解关于x的不等式x） + x<0：（2）若对Vxe2,6,都有成立，求的最大值.（1）见详解；（2） 2yf6.

30、（1）先将所求不等式化为（1-3）（-4）<:0,分别讨论。3, “ = 3,。<3三种情况，即可求 出不等式的解集；(2)先令g(x) = x)-a + 10,题中条件等价于”6,都有g(x)NO成立;结合二次函 数的性质列出不等式组求解，即可得出结果.(1)由/(x) + x。可得x2(" + 3)x + 3"O,即(x-3)(x-a)。，当。3时，解不等式可得3xa；当。=3时，不等式可化为(x-3)2 0,无解；当。3时，解不等式可得综上，当。3时，不等式的解集为(3,。)；当。=3时，不等式的解集为0；当。3时，不等 式的解集为(。,3)；(2)令 g

31、(x) = x2(“ + 4)x + 3aa + 10 = x2m + 4)x + 2a + 10,则 g(x)是开口向上，对称轴为 %=三的二次函数，因为“£2,6,都有“司之。-10成立,等价于“w6,都有屋力却成立;则有三22或g=2、2(a + 4) + 2a + 10N0,6或g=6?-6(a + 4) + 2 + 10N0 = (a + 4-4伽 + 10)<0,«<0 JV6>06/>811 或。2-2440, a < 2解得 “ 2/6 ;所以。的最大值为2".方法点睛：求解由一元二次不等式在给定区间恒成立求参数的问题

32、时，常用的方法有：(1)根据不等式构造二次函数，结合二次函数的性质，列出不等式组，求解即可；(2)根据不等式分离出所求参数，构造新函数，根据函数的性质求出新函数的最值，即可 求解.19 .已知q是各项均为正数的等比数列，若4,6的等比中项是81,且利+%=81|； + ；j, 数列也的前项和S“满足4S” + 3 = V + 2b,且久> 0 .（1）求4的通项公式；（2）求证：也是等差数列，并求数列色的前项和.（1） q,=3"T； （2）证明见详解;S“=1+2.（1）先设数列也的公比为心根据题中条件，由等比数列的性质求出公比和首项，即可得 出通项公式；（2）根据4s“+3

33、 =汇+2% 得出4S,i+3 = （2_J2+2Z*,两式作差整理，结合等差数列的定 义，即可证明也是等差数列，进而可求出通项公式.（1）因为也是各项均为正数的等比数列，设其公比为q（q>0），/ 乂 “4，”6的等比中项是81,且4,+% =81 H,M a4）的6=1=8（81d=81d=81所以知+”，则十，因此2父，即 Q，a,+%=81x aaA = 81% =81% =3所以/="=9,解得9 = 3 （负值舍去）；故q=4 = l, /q-所以a“ =闯"7 =3"-；（2）因为数列也的前项和S“满足4S” + 3 = V + 2bn，所以4

34、Sz+3 = &j+247 （之2），-可得4s“ -4S,=b： -（配） +2b“-2bz （ > 2）,即的=2一（%+24 一纥（之2）,即 2（，+%） =电 +% ）的%） （ 2 2），又>。，所以a+a_i>o,因此a-a_i=2（之2）,即数列也是公差为2的等差数列，乂 4$+3 =始+2% 即始_24一3 = 0,解得产3或_1（舍），因此a=3 + 2（-1） = 2 + 1,所以数列4的前项和为S“ = "答 =2 + 2 . 2思路点睛：由数列前项和S”与数列通项4“对应的递推公式求数列通项公式（或求数列前项和）时， 一般需要在原式

35、的基础上将换成-1得出新的式子，两式作差，根据q=S”-S”t（22）化 简整理，再结合题中条件，即可求出数列的通项公式（进而可求前顶和）.20.已知双曲线C：J-的焦距为2行，坐标原点。到直线3。的距离是平，其中3, O的坐标分别为（0力），（1）求双曲线。的方程；（2）是否存在过点。的直线/与双曲线C交于M, N两点，使得ABM/V构成以8为顶点的等 腰三角形?若存在，求出所有直线/的方程；若不存在，请说明理由.2（1）二-丁=1； （2）存在，直线/的方程为2x 16y + 3 = 0.4（1）记双曲线的焦距为2c,得到c = "；根据题中条件，得到直线3。的方程，由点到直线

36、距离公式，求出从=1,进而可求出“2,得出双曲线方程；（2）先假设存在过点。的直线/与双曲线C交于M, N两点，使得ZXBMN构成以8为顶点的 等腰三角形，设/：、 =攵1+3, “（%/），N«,当），联立直线与双曲线方程，根据判别式 确定女的范围；记MN的中点为根据韦达定理求出P的坐标，山为等腰三角形， 得到3P_LMN,由斜率之积为-1,列出方程求出&,即可得出结果.（1）记双曲线的焦距为左，由题意，可得2c = 26，即。=行，乂 B, O的坐标分别为（0力），?r v所以直线80的方程为万一，即-?+ ； = 1,-T3 b乂坐标原点。到直线BD的距离是也 ,133

37、A一一,解得2=1,所以"=/一从=4,25因此双曲线。的方程为（2）由（1）可得5（0,1）,假设存在过点。的直线/与双曲线C交于M, N两点，使得8MN构成以8为顶点的等腰三角形, 因为=-2不满足公 ；,应舍去，故k = ",则直线/的斜率显然存在，设/：），=攵X + ；，%（,力），III消去整理得（14攵2卜2 -12左、-9公一4 =。,因为直线/与双曲线C有两不同交点，所以1-4公工0A = 144r+4（l-4Zr2）（92+4）0 '解得攵2Vm且代工；,12k2xi+x2=7；二£ ,所以'+%=他|+3）=火9K+4记MN的

38、中点为夕，则尸3 , 6k 2 1_4二'1_4父为使8WN构成以3为顶点的等腰三角形,只需BP上MN ,所以攵切勺m=怎/=一1，3k1一犯'2 71即1一46/,整理得8A+ 15攵一2 = 0,解得攵=-2或& = 一,6k281一花所以存在过点。的直线/与双曲线C交于M, N两点，使得8WN构成以3为顶点的等腰三1 (3角形，此时直线/的方程为y = G x + 7，BJ2x-16y + 3 = 0.8 I L )思路点睛：求解圆锥曲线中存在直线满足某条件的问题，一般需要先设直线方程，联立直线与曲线方程， 根据判别式判断斜率的范围，结合韦达定理以及题中条件，求出

39、斜率，即可得解.21.如图，已知ABCD为正方形，6。_1平面48。，AOEG且AD = 2EG , GD/CF旦 GD = 2FC, DA = DG = 2.(1)求平面8M与平面CDG尸所成二面角的余弦值；(2)设M为/G的中点，N为正方形A8CO内一点(包含边界)，当MV/平面8E/时，求 线段MN的最小值.(1)匹(2)叵292(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；(2)设N(x,y,O),即可表示出柄，再根据MV平面3£/，即可得至U记.丽=0,即可得 到x与 '的关系，最后根据向量的模及二次函数的性质计算可得；解：(1)如图建立空间直角坐标系

40、,则。(0,0,0), 0(020), 8(220), 4(2,0,0), G(0,0,2), 户(0,2,1), £(1,0,2),则屉=(-1,-2,2), FE = (1,-2,1), DA = (2,0,0),设面助%'的法向量为 = (x,y,Z)，则J 八，令 x = 2,则 y = 3, z=4,所以 =(2,3,4),而平面 CDG/77x2y+z=0的法向量为而=(2,0,0)设平面BEF与平面CDGF所成二面角为。，显然二面角为锐角，所以cos” M网4_2回2 啊-2 次+34丁(2)设N(x,y,O),x,yw0,2,依题意M(0,l,|则丽= (x,

41、yl,一|)因为 MN/平面 BEF,所以付施=2工 + 3（），一1） 6 = 2工+3），-9 = 0所以卜丽卜Jx2 +（y-l）231又因为函数丁 =/一1x+?，对称轴为 =乙乙"V 31F = 7T>2,且开口向上,2x-134所以函数），=?在0,2上单调递减，所以当y = 2时，|丽L=，p，此时噌2°,所以线段MN的最小值为年本题考查二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在 于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立 体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角 公式求解