(完整版)2019年常州市中考数学试题、答案(解析版)

1、2019年常州市中考数学试题、答案（解析版）（满分：120分 考试时间：120分钟）、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的四个选项中 确的）,只有一项是正1. 3的相反数是1A.3C. 3D. 32.若代数式A. x有意义，则实数x的取值范围是B. x 3C. x 1D. x 33.下图是某几何体的三视图，该几何体是B.正方体（第3题）4.如图，在线段PA、PB、PC、A.线段PAB.线段PBPD中，长度最小的是C.线段PCD.线段PD5 .若AABCsAABC，相似比为1:2，则ABCs/ABC的周长的比为A. 2:1B. 1:2C. 4:1D. 1:46 .下列各数

2、中与273的积是有理数的是A. 2.37.判断命题“如果B. 2n< 1 ,那么n2C. .31V0”是假命题，只需举出一个反例.反例中的（n可以为）A. 2B.C. 01 D.28.随着时代的进步,人们对PM 2.5 （空气中直径小于等于的颗粒）的关注日益密切时间t（h）的变化如图所示.某市一天中PM 2.5的值y1 ug / m3,设y2表示0时到t时PM 2.5的值的差（即0时到t时PM 2.5的最大值与最小值的差）,则y2与t的数关系大致是989SA982.5微14310(二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9 .计算：a3 a 10 . 4的算术平方根是211

3、.分解因式：12 .如果13 .如果a bax 4a .35 ,那么的余角等于2 0,那么代数式1 2a 2b的值是14 .平面直角坐标系中，点P 3,4到原点的距离是x 1 一15 .若是关于x、y的二兀一次方程 ax y 3的解，则a.y 216 .如图，AB是eO的直径，C、D是eO上的两点，AOC=120，则 CDB=（第17题）eO与边长为8的等边三角形 ABC的两边AB、BC都相切，连接OC ,则 tan OCB18.如图，在矩形ABCD 中,AD 3AB3«0，点P是AD的中点，点E在BC上，CE 2BE ,点M、N在线段BD上.若 PMN是等腰三角形且底角与DEC相等

4、，则MN三、解答题（本大题共10小题，共84分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19 .（本题满分8分）计算:(1) 0(2) (x121)(x1) x(x 1).x 1 020 .（本题满分6分）解不等式组并把解集在数轴上表布出来3x 8,x21 .（本题满分8分）如图，把平行四边形纸片 ABCD沿BD折叠，点C落在点C处，BC与AD 相交于点E .（1）连接AC，则AC与BD的位置关系是 ;（2） EB与ED相等吗？证明你的结论.22 .（本题满分8分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部 分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图.（1）本次调

5、查的样本容量是 ，这组数据的众数为 元；（2）求这组数据的平均数；（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数.T大数h，io « 2b ,捐款数/元23 .（本题满分8分）将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放 在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中1 I（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回）,再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2 个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率.（不重叠无

6、缝隙拼接）24 .（本题满分8分）甲、乙两人每小时共做 30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等.甲、乙两人每小时各做多少个零件？25 .（本题满分8分）如图，在DOABC中，OA 272 , AOC 45，点C在y轴上，点D是BC，,*k的中点，反比例函数y k（x>0）的图像经过点A、D.（1）求女的值；（2）求点D的坐标.26 .(本题满分10分)【阅读】数学中，常对同一个量(图形的面积、点的个数、三角形的内角和等)用两种不同的方法计算，从而建立相等关系重要的数学思想.“算两次”也称做富比尼原理，是一种图1,我们把这一思想称为“算两次” 图2【理解】(

7、1)如图1,两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形.用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；(2)如图2, n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式:(3) n边形有n个顶点,在它的内部再画m个点,以m三角形，设最多可以剪得 y个这样的三角形.当n 个这样的三角形，所以y 7.3,个点为顶点，把n边形剪成若干个m 3时，如图3,最多可以剪得 7的代数式表示).请对同一个量 用算两次的方法说明你的猜想成立9 ；(用含m、n27 .(本小题满分10分)如图，二次函数yx2 bx 3的图象与X轴交于点A、B,与y轴

8、交于点C ,点A的坐标为 1,0，点D为OC的中点，点P在抛物线上.(1) b ；(2)若点P在第一象限，过点P作PH x轴，垂足为H , PH与BC、BD分别交于点M、 N .是否存在这样的点 P ,使得PM MN NH ?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请 说明理由；(3)若点P的横坐标小于 3,过点P作PQ BD,垂足为Q ,直线PQ与x轴交于点R,且 Sa PQB 2SA QRB,求点P的坐标.28 .(本题满分10分)已知平面图形S,点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最 大值称为平面图形 S的“宽距”.例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度.(1)写出下列图形的宽距：半

9、径为1的圆：;如图1,上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形”：;(2)如图2,在平面直角坐标系中，已知点A 1,0、B 1,0 , C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为 S,记S的宽距为d .若d 2,用直尺和圆规画出点 C所在的区域并求它的面积 (所在区域用阴影表示)；若点C在上运动，e M的半径为1,圆心M在过点0,2且与y轴垂直的直线上.对于 e M上任意点C,都有5& d&8,直接写出圆心 M的横坐标x的取值范围.图12019年常州市中考数学答案解析一、选择题1 .【答案】C【解析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算

10、即可解： 330.【考点】相反数的意义2 .【答案】D【解析】 分式有意义的条件是分母不为 0.解：Q代数式上有意义，x 3x 3 0,x 3.故选：D.【考点】分式有意义的条件3 .【答案】A【解析】通过俯视图为圆得到几何体为圆柱或球，然后通过主视图和左视图可判断几何体为圆车B.解：该几何体是圆柱.故选：A.【考点】由三视图判断几何体4 .【答案】B【解析】由垂线段最短可解 .解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B.故选：B.【考点】直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短5 .【答案】B【解析】直接利用相似三角形的性质求解解：QzXABCsAABC ,相似比为

11、 1:2 , ABCsAABC的周长的比为1:2.故选B.【考点】相似三角形的性质6 .【答案】D【解析】利用平方差公式可知与2 73的积是有理数的为2 J3 ;解：Q 2 73 2 73 4 3 1;故选：D.【考点】二次根式的有理化以及平方差公式7 .【答案】A【解析】反例中的n满足nvl ,使n2 1>0 ,从而对各选项进行判断.解：当n 2时，满足nvl，但n2 1 3>0 ,所以判断命题“如果nvl,那么n2 1>0”是假命题，举出n 2 .故选：A.【考点】命题与定理8 .【答案】B【解析】根据极差的定义，分别从 t 0、0V t< 10、1CX t<

12、 20及2cx t<24时，极差y2随t的 变化而变化的情况，从而得出答案.解：当t 0时，极差y2 85 85 0 ,当0Vt< 10时，极差y2随t的增大而增大，最大值为 43;当10< t< 20时，极差y2随t的增大保持43不变；当20<t024时，极差y2随t的增大而增大，最大值为 98;故选：B.【考点】函数图象二、填空题9 .【答案】a2【解析】直接利用同底数哥的除法运算法则计算得出答案解：a3 a a2.故答案为：a2.【考点】同底数哥的除法10 .【答案】2【解析】根据算术平方根的含义和求法，求出4的算术平方根是多少即可.解：4的算术平方根是2.

13、故答案为：2.【考点】算术平方根的概念11 .【答案】a x 2 x 2【解析】先提取公因式 a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解【解答】解：ax2 4a2ax 4ax 2 x 2.【考点】提公因式法与公式法的综合运用12 . 【答案】55【解析】若两角互余，则两角和为90 ，从而可知的余角为90 减去，从而可解.【解答】解：Q35 ，的余角等于903555 ，故答案为：55.【考点】余角13 . 【答案】5【解析】将所求式子化简后再将已知条件中a - b=2整体代入即可求值；【解答】解：Q a b 2 0，a b 2，1 2a 2b 1 2 a b 1 4 5；故答案为5.【考点】求代

14、数式的值14 . 【答案】5【解析】作PA x轴于A,则PA 4 , OA 3 ,再根据勾股定理求解.【解答】解：作 PA x轴于A,则PA 4, OA 3.则根据勾股定理，得OP 5.故答案为5.【考点】点到原点的距离求法15 . 【答案】1x1【解析】把x 1 代入二元一次方程ax y 3 中即可求a 的值 .y2x1【解答】解：把x 1 代入二元一次方程ax y 3 中，y2a 2 3，解得 a 1 .故答案是：1.【考点】二元一次方程的解16 . 【答案】30【解析】先利用邻补角计算出BOC ，然后根据圆周角定理得到CDB 的度数 .【解答】解：Q BOC 180 AOC 180120

15、60 ，CDB BOC 30故答案为30.【考点】圆周角定理17 .【答案】宣51 【解析】根据切线长7E理得出OBC OBA 一 ABC 30 ,解直角三角形求得 BD ,即可2求得CD,然后解直角三角形 OCD即可求得tan OCB的值.【解答】解：连接 OB,作OD BC于D,QeO与等边三角形 ABC的两边AB、BC都相切，八一一1 一OBCOBA ABC 30 ,2ODtan OCB ,BDOD 3BD “3,tan30 35,CD BC BD 8 3OD .3tan OCB CD 5故答案为史.5【考点】切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形【解析】Q AD 3AB 3 10

16、,Q四边形ABCD是矩形，ADBD JAB_AD2 10 ,QCE 2BE ,CE 2 10 , BE 10 , -CDDE 5近，tan DEC CEAB 3，而,BC 310 ,AB CD.1012.102Q点P是AD的中点,3 10在 RtPMQ 中，Qtan PMNPQMQtan DECPQMQMQ 3, MN 2MQ 6.如图2,当MN为腰时，则 PM MN , MPN MNP 过点M作MQ PN于点Q ,则PQ NQ ,Q MNP DEC , PND DEB ,又 QAD/BC,PDN DBE , PNAADEB ,PD PN,bd de洒 PN105；233 解得PN 3新，NQ

17、 2芯 244MQ1在 RtMNQ 中，Qtan MNPtan DEC一，NQ2MQ NQMQMN1MQ2 NQ2158综上所述，MN的值为1 PD AD2如图1,当MN为底边时，则 PM PN , PMN PNM过点 P 作 PQ MN ,则 MQ NQ , MN 2MQ ,Q A PQD 90 , ADB PDQ , BADspqd ,PQ PD 一 一 2,AB bdPQ |#0而3解得PQ ;2ffl 1图2【考点】矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理三、解答题11 O19.【答案】(1) 0 (73)2 1 2 3 0；2(2) (x 1)(x 1) x(x

18、 1) x2 1 x2 x x 1.【解析】根据零指数哥，负指数哥，多项式乘以多项式(单项式)的运算法则准确计算即可;【考点】实数的运算20.【答案】解：解不等式 x 1> 0,得：x> 1,解不等式3x 8K x,得：xw 2,不等式组的解集为1< x< 2,将解集表示在数轴上如下：LD11*L-> -2-10123【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.【考点】不等式组的解法及在数轴上表示不等式的解集21.【答案】(1) AC / BD(2) EB与ED相等.证明：由折叠可得，CBD

19、C'BD ,Q AD II BC ,ADB CBD ,EDB EBD,【解析】(1)根据AD C'B, ED EB,即可得到AE C'E ,再根据三角形内角和定理，即可得到 EAC' EC'A EBD EDB ,进而得出 AC'/ BD ;（2）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到EDB EBD,进而得出BE DE .【考点】折叠变换的性质，平行四边形的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质22 .【答案】（1） 30,10（2）这组数据的平均数为6 5 11 10 8 15 5 20 12 （元）； 30（3）估计该校学生的捐款总

20、数为 600 12 7 200 （元）.【解析】（1）由题意得出本次调查的样本容量是6 11 8 5 30,由众数的定义即可得出结果；（2）由加权平均数公式即可得出结果；（3）由总人数乘以平均数即可得出答案.【考点】条形统计图的综合运用，平均数，众数的求法以及利用样本估计总体的思想223 .【答案】（1）;3共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C, C和A,一，2 1拼成的图形是轴对称图形的概率为 -=-. 6 3【解析】（1）依据搅匀后从中摸出 1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C型（等腰直角三角形）这 3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的

21、有2种，即可得到盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率；（2）依据共有6种等可能的情况， 其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C, C和A,即可得到拼成的图形是轴对称图形的概率解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，可能为 A型（正方形）、B型（菱形）或 C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，2盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是一；3故答案为：2;3（2）画树状图为:共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C, C和A,2 1拼成的图形是轴对称图形的概率为-=-.6 3【考点】用列表法或画树状图求事件的概

22、率以及轴对称图形和中心对称图形的识别24 .【答案】解：设甲每小时做 x个零件，则乙每小时做30 x个零件，,乖金/日 180120由题思得： ,x 30 x解得：x 18,经检验：x 18是原分式方程的解，则30 18 12 （个）.答：甲每小时做 18个零件，则乙每小时做 12个零件.【解析】设甲每小时做 x个零件，则乙每小时做30 x个零件，根据关键语句“甲做 180个零件所用的时间与乙做 120个零件所用的时间相等”列出方程，再求解即可【考点】分式方程的应用25 .【答案】解：（1） QOA 2应， AOC 45 ,A 2,2k 4 ,4y 一 ； x（2）四边形 OABC是平行四边形

23、 OABC,AB x 轴，B的横纵标为2,Q点D是BC的中点，D点的横坐标为1,D 1,4 .【解析】（1）根据已知条件求出 A点坐标即可；（2）四边形OABC是平行四边形 OABC,则有AB x轴，可知B的横纵标为2, D点的横坐标为1 ,结合解析式即可求解.【考点】平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，反比例函数图像上点的坐标特点及用待定系数法求反比例函数的解析式11 226.【答案】解：(1)有三个Rt其面积分别为ab, 1ab, 1c2.1直角梯形的面积为-(a b)(a b).2由图形可知：-(a b)(a b) - ab -ab -c22222整理得(a b)2 2ab c2 ,

24、a2 b2 2ab 2ab c2 ,2. 22a b c .故结论为：直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2 b2 c2.(2) 1 3 5 7 L 2n 1(3) 6 3 y n 2(m 1)方法1.对于一般的，f#形，在 n边形内画m个点，第一个点将多边形分成了n个三角形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，故可得y n 2(m 1).方法2.以 ABC的二个顶点和它内部的m个点，共(m 3)个点为顶点，可把 4ABC分割成3 2(m 1)个互不重叠的小三角形.以四边形的4个顶点和它内部的 m个点，共(m 4) 个点为顶点，可把四边形分割成4 2(m 1)个互不重叠的小三

25、角形.故以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m n)个点作为顶点，可把原 n边形分割成n 2( m 1)个互不 重叠的小三角形.故可得y n 2(m 1).【解析】(1)此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面 积之和列出方程并整理.(2)由图可知n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2,每层棋子分别为1,3,5,7,L ,2n 1 .故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答(3)根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，即可得出结论.1 1 C斛：(1)有二个Rt其面积分力1J为ab , ab c .2 21直角梯形的面积

26、为 一(a b)(a b).21 111c由图形可知： 一 (a b)(a b) ab ab c2 222整理得(a b)2 2ab c2,a2 b2 2ab 2ab c2 ,222a b c .故结论为：直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2 b2 c2.(2) n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2,每层棋子分别为13,5,7,L,2n 1 .由图形可知：1 3 5 7 L 2n 1 .故答案为1 3 5 7 L 2n 1.(3)如图4,当n 4 , m 2时，y 6方法1.对于一般的，f#形，在 n边形内画m个点，第一个点将多边形分成了n个三角形，以后三角形内部每增加一个点，分

27、割部分增加2部分，故可得y n 2(m 1).方法2.以4ABC的二个顶点和它内部的 m个点，共(m 3)个点为顶点，可把 4ABC分割成 3 2(m 1)个互不重叠的小三角形.以四边形的4个顶点和它内部的 m个点，共(m 4) 个点为顶点，可把四边形分割成4 2(m 1)个互不重叠的小三角形.故以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m n)个点作为顶点，可把原 n边形分割成n 2(m 1)个互不 重叠的小三角形.故可得y n 2(m 1).故答案为：6, 3；n 2(m 1).【考点】列代数式，求代数式的值，规律探究以及运用知识解决问题27.【答案】(1) 2(2)存在满足条件呢的点 P,

28、使得PM MN NH .2Q二次函数解析式为 y x bx 3,当x 0时y 3 ,C 0,3 ,当 y 0时，x2 2x 3 0,解得：Xi1, x2 3.A T,0 , B 3,0 .直线BC的解析式为y x 3.Q点D为OC的中点,D 0,3 .2直线BD的解析式为1 -X 2设p t,t2 2tM t, t 3t,t,0 .PMt2 2t3)t2 3t , MNMNNH .Q PMMNt23t解得:t1t2(舍去).P的坐标为15,使得 PM MN NH(3)过点P作PFx轴于F,交直线BD于E.QOBBOD 90 ,BD0B20DcosOBDOBBD3.5 h33.5Q PQBD于点

29、Q,PFx轴于点F,PQEBQRPFR90 .PRFOBDPRFEPQ 90 .EPQOBD即cosEPQcos OBD2.55在 RtPQE 中，cosEPQPQPE2 .52 - 5PQ PE .5在 RtA PFR 中，cosRPFPFPRPRPF2.52PFQ Sapqb 2SaQRB,Svpqb1 八1-BQgPQ , Saqrb -BQgQR22PQ 2QR设直线BD与抛物线交于点 G,132Q -x - x 2x 3,斛得：x1 3 (即点B横坐标)，x2 22,.一，1点G横坐标为 213设 P t, t 2t 3 (t 3),则 E t, , 2PFt2 2tt22t 32t

30、t2|t39若1-<t<3,则点P在直线BD上万，如图2, 2PFt2 2t3, PEt2Q PQ 2QR2PQ -PR3竽PE游PF，即53 225326 t2 t -5 t2226PE 5PF2t 3解得：t1 2, t2 3 （舍去）P（2,3）1 、,一右1V xv -，则点P在x轴上万、直线 BD下万，如图3, 2此时，PQ QR,即S PQB 2Sa qrb不成立.若t 1 ,则点P在x轴下方，如图4,2213PF t2 2t 3 t2 2t 3, PE -t 一22Q PQ 2QR2_t 2t 3t2PQ 2PR2 t2 It即2PE22,5 一 幺*PE52t 35

31、PF解得：t1P 3,4, t23313（舍去）综上所述，点P坐标为2,3或4 135I【解析】(1)把点A坐标代入二次函数解析式即求得 b的值.Q二次函数yx2 bx 3的图象与x轴交于点A( 1,0)1 b 3 0解得：b 2.故答案为：2.(2)求点B、C、D坐标，求直线BC、BD解析式.设点P横坐标为t,则能用t表示点P、M、 N、H的坐标，进而用含 t的式子表示PM、MN、NH的长.以PM MN为等量关系列得 关于t的方程，求得t的值合理(满足 P在第一象限)，故存在满足条件的点 P,且求得点 P坐标.(3)过点P作PF x轴于F,交直线BD于E,根据同角的余角相等易证EPQ OBD ,厂厂所以 cos EPQ cos OBD 2-5 ,即在 R"pqe