高中数学复习学案(第78讲)单调性及其应用人教版选修2

1、第三章导数单调性及其应用选修2高考要求 理解可导函数的单调性与其导数的关系；知识点归纳 1利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤（1）求（x）（2）确定（x）在（a，b）内符号（3）若（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数2用导数求多项式函数单调区间的一般步骤（1）求（x）（2）（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间题型讲解 例1 求下列函数的单调区间： 分析：求函数的单调区间的具体步骤是：确定的定义域；计算导数；求出

2、的根；用的根将的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内的符号,进而确定的单调区间解:(1)函数的定义域令得,用分割定义域D,得下表:-21+0-0+的单调增区间是和,单调减区间是(-2,1)（2）函数的定义域令得,用分割定义域D,得下表:-10（0，1）10+00+的单调增区间是和,单调减区间是和(0,1)（3）函数的定义域为，,令得其中不在定义域内,用分割定义域D，得下表：x(0,)(,+)_0+的单调增区间是,单调减区间是（4 ）函数的定义域令得,用分割定义域D,得下表:02_0+0_的单调增区间是和,单调减区间是(0,2)点评：一般情况下，函数在它的定义区间上不是单调的，对可导函数

3、而言，它的单调减少和单调增加的区间分界点应是其导娄数符号正负交替的分界点，即在分界点处，为此，我们可以用使函数导数为0的点来划分函数的单调区间例2 设f（x）=x33ax2+2bx在x=1处有极小值1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间剖析：由已知x=1处有极小值1，点（1，1）在函数f（x）上，得方程组解之可得a、b解： （x）=3x26ax+2b，由题意知即解之得a=，b=此时f（x）=x3x2x，（x）=3x22x1=3（x+）（x1）当（x）>0时，x>1或x<，当（x）<0时，<x<1函数f（x）的单调增区间为（，）和（1，+），减区间为（，

4、1）点评：极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点例3 已知函数f（x）=ax3+3x2x+1在R上是减函数，求实数a的取值范围分析：在R上为减函数，则导函数在R上恒负解：（x）=3ax2+6x1（1）当（x）<0时，f（x）为减函数3ax2+6x1<0（xR），a<0时，=36+12a<0，a<3a<3时，（x）<0，f（x）在R上是减函数（2）当a=3时，f（x）=3（x）3+由y=x3在R上的单调性知：a=3时，f（x）在R上是减函数，综上，a3点评：f（x）在R上为减函数（x）0（xR）例4 若函数y=x3ax2+（a1）x+1在区间（1，4）

5、内为减函数，在区间（6，+）内为增函数，试求实数a的取值范围分析：用导数研究函数单调性，考查综合运用数学知识解决问题的能力解： （x）=x2ax+a1=0得x=1或x=a1，当a11，即a2时，函数f（x）在（1，+）上为增函数，不合题意当a1>1，即a>2时，函数f（x）在（，1）上为增函数，在（1，a1）上为减函数，在（a1，+）上为增函数依题意，当x（1，4）时，（x）<0，当x（6，+）时，（x）>0，4a165a7a的取值范围为5，7点评：若本题是“函数f（x）在（1，4）上为减函数，在（4，+）上为增函数”我们便知x=4两侧使函数（x）变号，因而需要讨论、探

6、索，属于探索性问题例5 设恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间解：由f(x)的解析式得， 若a>0, 则 , f(x) 单调,矛盾；若a=o，则 ,f(x)单调；若a<0, 则由此可知，当a<0时，f(x)恰有三个单调区间，其中减区间为：,增区间例6 已知x>1，证明不等式x>ln(1+x)分析：构造辅助函数f(x)=x-ln(1+x)，只需证明f(x)在(1,)上递增即可证明：设 f(x)=x-ln(1+x),x>1，则 在上是增函数 又f(1)=1-ln2>1-lne=0 即小结:1函数的单调性用列表的方法处理，结果明显清晰，不

7、易出错2用函数的单调性证明不等式要注意两点：一是构造函数，二是单调区间起点的函数值学生练习 1函数y=x2（x3）的减区间是A（，0）B（2，+） C（0，2） D（2，2）解析：y=3x26x，由y<0，得0<x<2答案：C2函数f（x）=ax2b在（，0）内是减函数，则a、b应满足Aa<0且b=0 Ba>0且bR Ca<0且b0 Da<0且bR解析： （x）=2ax，x<0且（x）<0，a>0且bR答案：B3已知f（x）=（x1）2+2，g（x）=x21，则fg（x）A在（2，0）上递增 B在（0，2）上递增C在（，0）上递增 D

8、在（0，）上递增解析：F（x）=fg（x）=x44x2+6，（x）=4x38x，令（x）>0，得<x<0或x>，F（x）在（，0）上递增答案：C4已知a>0，函数f（x）=x3ax在1，+）上是单调增函数，则a的最大值是A0 B1 C2 D3解析：（x）=3x2a在1，+)上，（x）0恒成立，即a3x2在1，+）上恒成立，a3答案：D5已知函数f（x）=x44x3+10x2，则方程f（x）=0在区间1，2上的根有A3个 B2个C1个 D0个解析：（x）=4x（x23x+5）在1，2上，（x）>0，f（x）在1，2上单调递增f（x）f（1）=7 f（x）=0在

9、1，2上无根答案：D6在（a，b）内（x）>0是f（x）在（a，b）内单调递增的_条件解析：在（a，b）内，f（x）>0，f（x）在（a，b）内单调递增答案：充分7若函数y=x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是_解析：y=4x2+b，若y值有正、有负，则b>0答案：b>08设函数f（x）=x3ax2+3x+5（a>0），求f（x）的单调区间解：（1）（x）=3x2ax+3，判别式=a236=（a6）（a+6）1°0<a<6时，<0，（x）>0对xR恒成立当0<a<6时，（x）在R上单调递增2°a=6时，

10、y=x33x2+3x+5=（x1）3+4在R上单调递增3°a>6时，>0，由（x）>0x>或x<（x）<0<x<在（，+）和（，）内单调递增，在（，）内单调递减9设f（x）=x32x+5（1）求f（x）的单调区间；（2）当x1，2时，f（x）<m恒成立，求实数m的取值范围解：（1）（x）=3x2x2=0，得x=1，在（，）和1，+)上（x）>0，f（x）为增函数；在，1上（x）<0，f（x）为减函数所以所求f（x）的单调增区间为（，和1，+)，单调减区间为，1（2）当x1，2时，显然（x）>0，f（x）为增函数，

11、f（x）f（2）=7m>710已知函数f（x）=x3ax1（1）若f（x）在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使f（x）在（1，1）上单调递减?若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）证明f（x）=x3ax1的图象不可能总在直线y=a的上方解：（x）=3x2a，（1）3x2a>0在R上恒成立，a<0又a=0时，f（x）=x31在R上单调递增，a0（2）3x2a<0在（1，1）上恒成立，即a>3x2在（1，1）上恒成立，即a>3又a=3，f（x）=x33x1，（x）=3（x21）在（1，1）上，（x）<0恒成立，

12、即f（x）在（1，1）上单调递减，a3（3）当x=1时，f（1）=a2<a，因此f（x）的图象不可能总在直线y=a的上方11已知函数f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x2（1）求y=f（x）的解析式；（2）求y=f（x）的单调递增区间解：（1）由题意知f（0）=1，（1）=1，f（1）=1c=1，a=，b=，f（x）=x4x2+1（2）（x）=10x39x，由10x39x>0，得x（，0）（，+），则f（x）的单调递增区间为（，0）和（，+）12已知函数f（x）=2axx3，a>0，若f（x）在x（0，1上是增函数，求a的取值范围

13、解：（x）=2a3x2在（0，1上恒为正，2a>3x2，即a>x2x（0，1，x2（0，a>当a=时也成立a13证明方程x33x+c=0在0，1上至多有一实根证明：设f（x）=x33x+c，则（x）=3x23=3（x21）当x（0，1）时，（x）<0恒成立f（x）在（0，1）上单调递减f（x）的图象与x轴最多有一个交点因此方程x33x+c=0在0，1）上至多有一实根14若函数f（x）=ax3x2+x5在（，+）上单调递增，求a的取值范围解： （x）=3ax22x+1>0恒成立即a>当a=时，f（x）在（，+）上单调递增a15求证：x>1时，2x3>

14、;x2+1证明：令f（x）=2x3x21，则（x）=6x22x=2x（3x1）当x>1时，（x）>0恒成立f（x）在（1，+）上单调递增又f（1）=0，f（x）在（1，+）上恒大于零，即当x>1时，2x3>x2+116求满足条件的（1）使为上增函数（2）使为上增函数（3）使为上增函数解：（1） 时 也成立 （2） 时 也成立 （3） 17求证下列不等式（1） （2） （3） 证：（1） 为上 恒成立 在上 恒成立（2）原式 令 （3）令 18设，求函数的单调区间分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力 解： 当时 （i）当时，对所

15、有，有即，此时在内单调递增（ii）当时，对，有，即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，函数在（0，+）内单调递增（iii）当时，令，即解得因此，函数在区间内单调递增，在区间内也单调递增令，解得因此，函数在区间内单调递减点评：本题用传统作差比较法无法划分函数的单调区间，只有用导数才行，这是教材新增的内容其理论依据如下（人教版试验本第三册P148）：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数如果，则为常数19（1）在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程； （2）一质点做直线运动，它所经过的路程和时间的关系是s=3t2+t，求t=2时的瞬时速度解析：（1）当x0=-1时，k有最小值3，此时P的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为3x-y-11=0 （2）=6t+1，当t=2时，=13， 当t=2时，质点的瞬时速度为13点拨：1、导数的几何意义：就是曲线y=f