2015高考数学（理）（第七章 7.5综合法与分析法、反证法）一轮复习题

1、§7.5综合法与分析法、反证法1综合法(1)定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明我们把这样的思维方法称为综合法(2)框图表示：(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)2分析法(1)定义：从求证的结论出发，一步步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等我们把这样的思维方法称为分析法(2)框图表示：.3反证法我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛

2、盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立这种证明方法叫作反证法反证法的证题步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)进而推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明(×)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件(×)(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”(×)(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾(×)(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()

3、(6)证明不等式<最合适的方法是分析法()2若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是()Aac2<bc2Ba2>ab>b2C.<D.>答案B解析a2aba(ab)，a<b<0，ab<0，a2ab>0，a2>ab.又abb2b(ab)>0，ab>b2，由得a2>ab>b2.3设alg 2lg 5，bex(x<0)，则a与b的大小关系为()Aa>bBa<bCabDab答案A解析alg 2lg 51，bex，当x<0时，0<b<1，a>b.4用反

4、证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为()Aa，b，c中至少有两个偶数Ba，b，c中至少有两个偶数或都是奇数Ca，b，c都是奇数Da，b，c都是偶数答案B解析自然数a，b，c中为偶数的情况为a，b，c全为偶数；a，b，c中有两个数为偶数；a，b，c全为奇数；a，b，c中恰有一个数为偶数，所以反设为a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数5如果ab>ab，则a、b应满足的条件是_答案a0，b0且ab解析ab(ab)(ab)(ba)()(ab)()2()当a0，b0且ab时，()2()>0.故ab>ab成立的条件是a0，b0且ab.题型一综合法的应用

5、例1对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足：对任意的x0,1，总有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)0；(2)试判断函数f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x)(x0,1)是否是理想函数思维启迪(1)取特殊值代入计算即可证明；(2)对照新定义中的3个条件，逐一代入验证，只有满足所有条件，才能得出“是理想函数”的结论，否则得出“不是理想函数”的结论(1)证明取x1x20，则x1x201，f(00)f(0)f(0)，f(0)0.又对任意

6、的x0,1，总有f(x)0，f(0)0.于是f(0)0.(2)解对于f(x)2x，x0,1，f(1)2不满足新定义中的条件，f(x)2x，(x0,1)不是理想函数对于f(x)x2，x0,1，显然f(x)0，且f(1)1.任意的x1，x20,1，x1x21，f(x1x2)f(x1)f(x2)(x1x2)2xx2x1x20，即f(x1)f(x2)f(x1x2)f(x)x2(x0,1)是理想函数对于f(x)，x0,1，显然满足条件.对任意的x1，x20,1，x1x21，有f2(x1x2)f(x1)f(x2)2(x1x2)(x12x2)20，即f2(x1x2)f(x1)f(x2)2.f(x1x2)f(

7、x1)f(x2)，不满足条件.f(x)(x0,1)不是理想函数综上，f(x)x2(x0,1)是理想函数，f(x)2x(x0,1)与f(x)(x0,1)不是理想函数思维升华用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱定义：若数列An满足An1A，则称数列An为“平方递推数列”已知数列an中，a12，点(an，an1)在函数f(x)2x22x的图像上，其中n为正整数，证明：数列2an

8、1是“平方递推数列”证明点(an，an1)在函数f(x)2x22x的图像上，an12a2an，2an114a4an1(2an1)2，2an1是“平方递推数列”题型二分析法的应用例2已知m>0，a，bR，求证：()2.思维启迪将要证分式化成整式，再合并同类项证明m>0，1m>0.所以要证原不等式成立，只需证(amb)2(1m)(a2mb2)，即证m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20显然成立，故原不等式得证思维升华分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，运用分析法必须考虑条件的

9、必要性是否成立通常采用“欲证只需证已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范已知a，b(0，)，求证：(a3b3)<(a2b2).证明因为a，b(0，)，所以要证原不等式成立，只需证(a3b3)6<(a2b2)6，即证(a3b3)2<(a2b2)3，即证a62a3b3b6<a63a4b23a2b4b6，只需证2a3b3<3a4b23a2b4.因为a，b(0，)，所以即证2ab<3(a2b2)而a2b22ab,3(a2b2)6ab>2ab成立，以上步骤步步可逆，所以(a3b3)<(a2b2).题型三反证法的应用例3已知数列an的前n项和为Sn，且满

10、足anSn2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列思维启迪(1)先利用SnSn1an(n2)两式相减得an和an1的关系，再求an；(2)用反证法证明(1)解当n1时，a1S12a12，则a11.又anSn2，所以an1Sn12，两式相减得an1an，所以an是首项为1，公比为的等比数列，所以an.(2)证明反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap1，aq1，ar1(p<q<r，且p，q，rN)，则2·，所以2·2rq2rp1.又因为p<q<r，所以rq，rpN.所以式左边是偶数，右边是奇数，等式

11、不成立所以假设不成立，原命题得证思维升华(1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等(2)用反证法证明不等式要把握三点：必须否定结论；必须从否定结论进行推理；推导出的矛盾必须是明显的在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c三边的倒数成等差数列，求证：B<90°.证明假设B<90°不成立，即B90°，从而B是ABC的最大角，b是ABC的最大边，即b>a，b>c.>，

12、>，相加得>，这与矛盾故B90°不成立，即B<90°.混淆特殊值检验和一般性证明致误典例：(12分)设f(x)ax2bxc(a0)，若函数f(x1)与f(x)的图像关于y轴对称，求证：f(x)为偶函数易错分析在证明f(x)是偶函数时，用特殊值f()f()成立来判断f(x)是偶函数规范解答证明由函数f(x1)与f(x)的图像关于y轴对称，可知f(x1)f(x)4分将x换成x代入上式可得f(x1)f(x)，即f(x)f(x)，10分由偶函数的定义可知f(x)为偶函数12分温馨提醒在证明数学命题时，必须通过严格的推理来证明对任意满足题意的条件，命题的结论都成立，

13、特殊值的检验不能代替一般性的证明方法与技巧1分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知2综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知3分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来失误与防范1用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论2利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的A

14、组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1若a，bR，则下面四个式子中恒成立的是()Alg(1a2)>0 Ba2b22(ab1)Ca23ab>2b2D.<答案B解析在B中，a2b22(ab1)(a22a1)(b22b1)(a1)2(b1)20，a2b22(ab1)恒成立2在ABC中，sin Asin C<cos Acos C，则ABC一定是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定答案C解析由sin Asin C<cos Acos C得，cos Acos Csin Asin C>0，即cos(AC)>0，AC是锐角，从而B>，故ABC

15、必是钝角三角形3已知m>1，a，b，则以下结论正确的是()Aa>bBa<bCabDa，b大小不定答案B解析a，b.而>，<，即a<b.4已知a>0，b>0，则2的最小值是()A2 B2C4 D5答案C解析因为22 22( )4.当且仅当且 ，即ab1时，取“”5用反证法证明命题“若a，bN，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为()Aa，b都能被3整除 Ba，b都不能被3整除Cb不能被3整除 Da不能被3整除答案B解析由反证法的定义可知，否定结论，即“a，b中至少有一个能被3整除”的否定是“a，b都不能被3整除”，故选B.

16、二、填空题6与2的大小关系为_答案>2解析要比较与2的大小，只需比较()2与(2)2的大小，只需比较672与854的大小，只需比较与2的大小，只需比较42与40的大小，42>40，>2.7已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个“整数对”是_答案(5,7)解析依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知每组中每个“整数对”的和为n1，且每组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到<60<，因此第60个“整数对”处于第11

17、组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，因此第60个“整数对”是(5,7)8凸函数的性质定理：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，xn，有f()，已知函数ysin x在区间(0，)上是凸函数，则在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值为_答案解析f(x)sin x在区间(0，)上是凸函数，且A、B、C(0，)f()f()，即sin Asin Bsin C3sin ，所以sin Asin Bsin C的最大值为.三、解答题9已知

18、非零向量ab，求证：.证明ab，a·b0.要证，只需证：|a|b|ab|，平方得：|a|2|b|22|a|b|2(|a|2|b|22a·b)，只需证：|a|2|b|22|a|b|0，即(|a|b|)20，显然成立故原不等式得证10已知四棱锥SABCD中，底面是边长为1的正方形，又SBSD，SA1.(1)求证：SA平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由(1)证明由已知得SA2AD2SD2，SAAD.同理SAAB.又ABADA，SA平面ABCD.(2)解假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF

19、平面SAD.BCAD，BC平面SAD.BC平面SAD.而BCBFB，平面SBC平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，假设不成立故不存在这样的点F，使得BF平面SAD.B组专项能力提升(时间：30分钟)1已知函数f(x)()x，a，b是正实数，Af()，Bf()，Cf()，则A、B、C的大小关系为()AABCBACBCBCADCBA答案A解析，又f(x)()x在R上是减函数f()f()f()，即ABC.2若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；a>b与a<b及ab中至少有一个成立；ac，bc，ab不能同时成立其中判断正确的个数是()A0 B1 C2 D3答案C解析正确，中，ac，bc，ab可能同时成立，如a1，b2，c3.3a22与2的大小关系是_答案a22>2解析利用基本不等式，但不能取等号4已知二次函数f(x)ax2bxc(a>0)的图像与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且0<x<c时，f(x)>0.(1)证明：是函数f(