第六章 微分中值定理及其应用 - 兰州理工大学

1、第六章 微分中值定理及其应用§1.拉格朗日定理和函数的单调性 1试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点，使：（1）， （2）解：（1）因为在连续，在)1,0p可导，且，所以由Rolle定理，使得。（2）因为，且不存在，故不存在一点，使2证明：（1）方程（这里c为常数）在区间内不可能有两个不同的实根；证明：设，由于方程在内没有根，所以（由P.120，例1）方程在区间内不可能有两个不同的实根。（2）方程（n为正整数）当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。证明：设，于是。当n为偶数时，n-1为奇数，故方程至多有一个实根（因为幂函数严格递增），从而方程至多有两个实根；当n为

2、奇数时，n-1为偶数，故由上述证明的关于偶数的结论有：方程至多有两个实根，从而方程当n为奇数时至多有三个实根。3证明：若函数和均在区间上可导，且，则在区间上和只相差一常数，即（c为某一常数）证：令，则在区间上可导，且，由推论1，存在常数c，使得，即4证明：（1）若函数在上可导，且，则（2）若函数在上可导，且，则（3）对任意实数，都有证：因为在上可导，所以在上满足Lagrange中值定理的条件，于是，使得（1）因为，所以，从而有（2）因为，所以（3）不妨设，正弦函数在上连续，在可导，于是，使得5应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：（1），其中证：设，则在上连续且可导，所以在上满足Lagrange

3、中值定理的条件，于是，使得，因为，所以，从而（2），其中证： 设，则在上满足Lagrange中值定理的条件，于是，使得。因为，所以，从而。6确定下列函数的单调区间：（1） （2）（3） （4）解：（1），令，得当时，递增；当时，递减。（2）的定义域为。，令，得当时，递减；当时，递增。（3）的定义域为。，令，得当时，递增；当时，递减。（4）的定义域为。，故在其定义域递增。7应用函数的单调性证明下列不等式：（1），证：设，则在连续，且。因为，故在严格单调递增，又因在连续，于是，从而，。（2），证：先证，为此证明：。设，则在连续，且。因为，。所以在严格单调递减，于是，从而，。其次证明：。设，则在连续

4、，且。因为，。所以在严格单调递增，又因在连续，于是，从而，。（3），证：先证：，。令，则在连续，且。因为，。所以在严格单调递减，又因在连续，于是，从而，。其次证明：，。令，则在连续，且。因为，。所以在严格单调递增，又因在连续，于是，从而，。8 以记由, , 三点组成的三角形面积, 试对应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理.证： 因为, 若在连续, 在可导, 则易见也在连续, 在可导, 且. 故由罗尔定理知, 存在, 使得. 而, 故.9. 设f(x)为a,b上二阶可导函数。f(a)=f(b)=0,并且存在一点使得f(c)>0。证明至少存在一点使得证明：对上应用拉格朗日中值定理，存在由于对

5、上应用拉格朗日中值定理，存在又因，上可导，再据拉格朗日中值定理，存在使得由此得出。10. 设f(x)在(a,b)内可导，且单调。证明在内(a,b)连续.证明：不妨设内递增，从而对内任一点，在内递增且以为上界，在内递增且以为下界。据定理3.10知必存在。再据导数极限定理有，又，所以故在内连续。 11. 设p(x)为多项式，a为p(x)=0的r重根。证明a必定是的重实根。证明：因的r重根，故可设其中为多项式，且。所以有且因此是的r-1重实根。12. 证明：设f(x)为n阶可导函数，若方程f(x)=0有n+1个相异的实根。则方程至少有一个实根。证明：设方程的n+1个相异实根为对在每个区间上应用罗尔中

6、值定理知，存在至少有n个相异实根。再对在n-1个区间上应用罗尔中值定理，存在至少有n-1个相异实根。重复以上做法知，至少有n-2个相异实根，至少有1个实根。13. 设a,b>0。证明方程不存在正根。证明：设，所以内严格递增。又。从而方程不存在正根。14.证明：证明：原不等式等价于，或令，则当所以，从而内严格递增，又在时有从而原不等式成立。15.证明：若函数在区间a,b上可导，且，则(a,b在内有证明：令所以，从而在上严格递增，又，所以当§2 柯西中值定理和不定式极限1 试问函数在区间-1, 1上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？解： 因为，故当时，不满足柯西中值定理的

7、条件，所以在区间-1, 1上不能用柯西中值定理。2设函数在上可导，证明：存在，使得证：设，则在上连续并可导，且，由Rolle定理，存在，使得，从而 3设函数在点处具有连续的二阶导数。证明：证： 因为在点处具有连续的二阶导数，所以在点的某邻域内具有一阶导数，于是由洛必达法则，分子分母分别对求导，有4设。证明存在，使得证：设，则都在连续，在可导，且都不等于0，。由柯西中值定理，存在，使得，即5求下列不定式极限（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）所以（8）因为，所以（9）解：因为 所以 （10）（11）（12）所以6. 设函数在点a的某邻域具有二阶导数。证明：它对充分小h的，存在，使得 证明：

8、由于欲证等式中，以-h代替h两边的值都不变，故只须证明h>0时成立。设当h充分小时，F（x）和G（x）在0，h上连续，（0，h）内可导，由柯西中值定理知其中再对上应用拉格朗日中值定理，得其中取且7. 求下列不定式的极限：解：（1）令由于所以 (2) （3）由于所以 （4）（5）（6）(7) (8) 所以8. 设在原点的某邻域内连续，且证明证明：而所以9. 证明定理6.6中情形中的洛必达法则。证明：作代换 故有因与在内满足定理6.6条件，故得从而：10证明：为有界函数。证明：由于§3 泰勒公式1求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式（1）解 ，麦克劳林公式为：（2）到含有的项解 因为

9、，所以。在此式的两端，用莱布尼兹公式，分别对求阶导数，得令得递推公式：因为有，于是，。又因为，所以当为偶数时，从而（3）到含有的项解 ，2按例4的方法求下列极限（1）（2）（3）3求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式：（1），在处；解 ；，；，；，；。所以（2），在处解 ；，；，。所以，4. 估计下列近似公式的绝对误差：当（2.）解：（1）由泰勒公式得时绝对误差满足：（2）设则得故当5. 计算: (1).数e准确到 （2）lg11准确到 解：（1）由于 所以取得：使其误差满足解得（2） 由于 其误差不超过 §4函数的极值与最值1求下列函数的极值（1）解 ，令得稳定点。列表讨论

10、：0+0+0 无极值极大值为（2）解 ，令得稳定点。列表讨论：-110+0 极小值为-1极大值为1（3）解 ，令得稳定点。列表讨论：10+0 极小值为0极大值为（4）解 ，令得稳定点。由于，所以在有极大值2设（1）证明：是极小值点；（2）说明的极小值点处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件。证明 （1）对任何，有，故是极小值点。（2）当时，有，作数列，则，。即在的任何右邻域内，既有数列中的点，也有数列中的点。并且，所以在内的符号是变化的，从而不满足极值的第一充分条件。又因为，所以用极值的第二充分条件也不能确定的极值。3证明：若函数在点处有（>0）（<0），则为的极大（小）值点。

11、证明 设，要证为的极大值点。因为，所以由极限的保号性，存在的空心右邻域，使得，有，于是。又因为，所以由极限的保号性，存在的空心左邻域，使得，有，于是。取，从而，有，所以为的极大值点。4求下列函数在给定区间上的最大最小值：（1）解 ，令，得，（）。，。于是在处取得最大值2，在处取得最小值-10。（2），解 ，令，得。因为，且。于是在处取得最大值1，无最小值。（3）解 ，令，得。因为，且，。于是在处取得最小值，无最大值。5 设在区间上连续，并且在上仅有唯一的极值点。证明：若是的极大（小）值点，则必是在上的最大（小）值点。解 设是的极大值点。（用反证法）假设不是在上的最大值点。于是存在，使得。不妨设

12、，则在闭区间上连续，从而在上有最小值点。因为是的极大值点，所以，于是是的极小值点，这与在上仅有唯一的极值点矛盾。6 把长为的线段截为两段，问怎样截法能使以这两线段为边 所组成的矩形的面积最大？解：设两段长度分别为则矩形面积为由得稳定点是S的极大值点。又因极值点是唯一的，所以就是最大值点。因此当两段长度均为时，矩形面积最大。7. 有一个无盖的圆形容器，当给定体积为V时，要使容器的表面积为最小，问底的半径有高的比例应该怎样？解：设底的半径为R，高为h，则体积为表面积为令得唯一稳定点又因故是极小值点。因极值点唯一，故它就是最小值点。将代入即底的半径与高的比例为1：1时，容器的表面积为最小。8. 设用

13、某仪器进行测量时，读得n次实验数据为问以怎样的数据表达测量的真值，才能使它与这n个数之差的平方和为最小。解：设则当时，当时，因而是最小值点，即当用来表达真值时，它与n个数之差的平方和最小。9. 求一整数a，使它与其倒数之和最小。解：设则由得内的稳定点，又因所以为的极小值。由于的极值点唯一，故也是的最小值点。10. 求下列函数的极值：解：（1）对任意，所以皆为极小值点，且极小值为0。以把划分为4 个子区间，在每个子区间内部，恒为1或-1。而又因故处取极大值，且极大值为（2）令得当当故是极小值，是极大值。（3）令得当当当故是极大值，是极小值。11. 设在处都取得极值，试求a与b；并问这时在与是取得

14、极大值还是极小值?解：因处都可导且取得极值，故必有而故解得又故处分别取极小值与极大值。12. 在抛物线上哪一点的法线被 抛物线所截之线段为最短。解：设为抛物线上一点，由得。故抛物线在点处的法线方程为(其中）法线与抛物线另一交点的坐标必满足由(2)得，将它代入(1)，并利用可解得从而记线段的长度为，利用(1)(3)两式得 由于使 取最小值的点的纵坐标与函数最小值点相同。故求的最小值点。 令得：当时，；当时，故为在内的最小值点。又为偶函数，故在处同时取最小值。故，。即所求点为 13要把货物从运河边上A城运往与运河相距为BC= km的B城 （），轮船运费的单价d 元/km是，火车运费的单价是元/km

15、，试求运河边上的 一点M，修建铁路MB，使总运费最低。(图没有画)。解：令，则，。于是总运费为 由，解得稳定点。因，所以该稳定点为函数极小值点。又因极值点唯一，故它也是最小值点。因此，在处修建铁路总运费最省。 §5函数的凸性与拐点1. 确定下列函数的凸点与拐点：解：（1），令得。当时，；当时，。故在内y为凹函数，在内y为凸函数，点为曲线的拐点。（2）当时，；当时，。故在内y为凹函数，在内y为凸函数，由于不在函数定义域中，故曲线无拐点。（3）令，得。当时，；当时，；当时，。故函数y在内为凸函数，在内为凹函数，在内为凸函数，点为曲线拐点。（4）令，得。当时，；当时，；当时，。故函数y在内

16、为凹函数，在内为凸函数，在内为凹函数，从而点和皆为曲线拐点。（5）令，得。当或时，；当时，。故函数y在与内为凸函数，在内为凹函数，点与皆为曲线的拐点。2. 问a和b为何值时，点（1，3）为曲线的拐点.解：因点在该曲线上，故有，即又因函数二阶可导，据拐点必要条件有：。而，故联立（1）和（2），解方程组得3. 证明：（1若f(x)为凸函数，为非负实数，则为凸函数。 (2).若f(x),g(x)为凸函数，则为f(x)+g(x)凸函数 . (3).若f(x)为区间I上凸函数，g(x)为的凸增函数，则为I上凸函数.证：（1）因为为凸函数，所以对定义区间内任意两点及任意，有上式两边同乘以非负实数，得按定义

17、，为凸函数。（2）因为均为凸函数，所以对定义区间内任意两点及任意，有及不等式两边分别相加，得按定义，为凸函数。（3）因为为I上凸函数，所以对任意及任意，有又因为J上增函数，而且，所以再又为J上凸函数，有从而按定义，为I上凸函数。4. 若f(x)为区间I上凸函数 。证明：若为f(x)的极小值点，则为f(x)在I上唯一的极小值点。证：假定在I上还有另一个极小值点，不妨设，由定义，存在及，使得当时，；当时，。对任意，取，则，据为I上严格凸函数，有若，则特别的，当时，。这与为极小值点矛盾。若，则特别地，当时，。这与为的极小值点相矛盾。故为在I上唯一的极小值点。5. 应用凸函数概念证明如下不等式：（1）

18、对任意实数a,b，有 （2）对任意非负实数a,b，有 证：（1）设。由于，故在上为凸函数，对任意，取，有即（2）设，则，当时，。故在上为凹函数，从而对任何非负实数，有即从而原不等式成立。6. 证明：若f(x),g(x)均为区间I上凸函数，则F(x)=max f(x),g(x)也是I上凸函数。 证：对任意的，任意，据为I上凸函数，有由定义知：，故同理有从而即。按定义，是I上的凸函数。7. 证明：（1）为区间I上凸函数 的充要条件是对I上能够任意3点恒有(2)为严格凸函数的充要条件是证：（1）将行列式中第一行的（-1）倍分别加到第二行，第三行，得当时，等价于上式正好是为I上凸函数的充要条件，故结论

19、成立。8. 应用詹森不等式证明：（1）设有（2）设有其中 证：（1）设，则，故在内为凸函数。取，由詹森不等式得也就是或因上述不等式对任意n个正数成立，故以代替，有或综合以上论述，原不等式成立。（2）分两步：）先证时结论成立，即：若，则事实上，仍由为凸函数，取，有由此得）再证时结论成立。在）所得不等式中，分别令得将上述n个不等式两端分别相加，去分母，得§6 函数图像的讨论按函数作图步骤，作下列函数图象（1）解 ，令，得稳定点，令，得（2）解 定义域，令，得稳定点，令得渐近线，0+0+0凸增凸减极小值0凸增拐点凹增（3.）（4）. （5）.（6）.（7）.（8）.§7 方程的近

20、似解1. 求的实根到三位有效数字。2. 求方程的根的近似解解：设由于上严格递增。由于所以可在区间1，2上求此实根。在此区间上，故从点处开始迭代。现估计以代替方程根的误差，在1，2上的最小值为，而，故此时精度只到小数点后一位，继续迭代。由于，此时因此，取可使精度达到0.001 总复习题1证明：若在有限开区间内可导，且，则至少存在一点，使证明 令，则在内连续，在内可导，且。于是由Rolle定理，至少存在一点，使，而在内有，从而。2. 证明：若则：（1）其中（2）.证明 （1）设当时，对在区间上应用拉格朗日中值定理知，存在使得由此得因故又因故综上得，（2）3. 设函数f(x)在a,b上连续,在(a,

21、b)内可导，且ab>0。证明存在使得 证明：设由题给条件知函数F,G在a,b上满足柯西中值定理条件，故存在使即或4. 设f(x)在a,b上能够三阶可导，证明存在，使得 证明: 设。则且F,G在a,b上满足柯西定理条件，故存在。使而，故上式就是或5. 对应用拉格朗日中值定理，试证：对有证明：对题中函数f(x)在0,x上应用拉格朗日中值定理，必存在使所以而，故6. 设为n个正数，且证明: 证明：（1）由洛必达法则，所以（2）记当x>0时，从而又由极限迫敛行得 7. 求下列极限：解：设，则，由洛必达法则，所以（2）解：用两次洛必达法则，得（3）解：因，为有界量，故8设h>0,函数f

22、(x)在U(a,h)内具有n+2阶连续导数，且在U(a,h)内的泰勒公式为证明：证明：因f(x)在U(a,h)内具有n+2阶连续函数，故f(x)在U(a,h)内具有n+2阶连续导数，故在内存在阶的 皮亚诺余项的泰勒公式：将上式与题中泰勒公式两边分别相减，可得出从而令，两边取极限得故 9. 设k>0,试问k为何值时,方程存在实根.解：设，则若方程存在正根，即，则上满足罗尔中值定理条件，故存在，从而。反之，若，则。又在x=0连续，故存在 ，使得当，从而上严格递增。取由于，所以存在。对在上应用连续函数根存在定理，必存在，即方程有正根。10. 证明：对任一多项式P(x)，一定存在与，使p(x)在

23、(-分别严格单调.提示: 只要证明在内分别保持定号.证：且不妨设 (i)当所以在上严格递增。(ii) 若n-1为奇数，则，故分别在，使得 当，当于是上严格递减，在上严格递增。若n-1为偶数，则，故存在使得当，于是在上严格递增。11. 讨论函数f(x)=（1）在x=0点是否可导？（2）是否存在x=0的一个领域，使f(x)在该领域内单调?提示: 问题(2)只需讨论在U(0)内能否定号.解：(1)因为=所以点可导。(2)当，的任何邻域内都不能保持相同符号，事实上，对一切正整数k有：而。故在x=0的任何邻域内都不单调。12.设函数 f(x)在a,b上二阶可导,.证明存在一点,使得证明：将函数f在点a和

24、b分别展为带拉格朗日型余项的泰勒公式，并取，有两式相减，并注意到，得记, 则即。13.设函数f(x)在0.a上具有二阶导数,且|,f(x)在(0,a)内取得最大值,试证|+|.解前提示 从不等式变形入手,转化为用f(x)的二阶导数表示.证明：设 f(x)在(a,b) 内的点取得最大值，则也是f(x)的极大点，又f(x)在点可导，依据费马定理知 又在0,a上可导，故由拉格朗日中值定理，有其中又，故14.设f(x)在0,上可微,且0, f(x)=0,证明:在上f(x)0.证明：由 知f(x)递增 ，对f(x)在上0,x应用拉格朗日中值定理，有由此不等式可知 ，当时必须f(x)=0，再依据f(x)连续行得f(1)=0，故在0,1上假设在n-1,n上，当时，有因0<x-n<