地铁候车厅客流运动的数学模型

1、地铁候车厅客流运动的数学模型徐尉南 , 吴正(复旦大学 力学与工程科学系 ,上海 200433)摘 要 :通过对上海地铁一号线车站候车厅内的客流运动进行实地观测和统计分析 ,借助流体力学比拟思想 ,将地铁站台内的客流运动比拟为一维和二维空间流体的运动 ,从而建立了定量描述地铁站台客流运动的数学模型 。选取的观测对象 为上海地铁一号线人民广场站和陕西南路站 ,在观测中发现同一列车在同一站点不同车门上下车人数呈空间不均匀分布 , 在此基础上建立了地铁候车厅近车门处客流速度 - 密度的一维和二维数学模型 。根据模型计算了上车时间 ,将其与实测 数据比较 ,两者吻合较好 ,表明该模型具有合理性 。通过

2、应用该模型 ,显示了其工程意义 。关键词 :地铁候车 ;密度 ;速度 ;流量 ;数学模型中图分类号 :U491文献标识码 :A文章编号 :1672 - 7029 (2005) 02 - 0070 - 06Mathe matic al mo del fo r the p a s se nger flow in subwa y statio n waiting roo m sXU Wei2nan , WU Zheng(Department of Mechanics and Engineering Science , Fudan University , Shanghai 200433 ,China

3、)Abstract :This article is based on the observation and statistics analysis of the movement of people in subway stationwaiting rooms. We choose two important subway stations of No . 1 subway line in Shanghai which are People Square Station and South Shanxi Road Station for our experiment . It is fou

4、nd that the space distribution unevenness of the peo2 ples flow exits in different train doors of the same station at one time . Two velocity - density mathematical models are put forward. One is 1 - d model about the movement of people near train door region in the waiting room and the other is 2 -

5、 d model for getting on train people of the whole room. The time of people getting on train is formulated , and it accords with the observe data . It is also predicted by the new model that the time of people getting on train under the influence of safety separate wall .Key words : subway station wa

6、iting rooms ; density ; velocity ; flow ; mathematical model近年来 ,随着城市人口急剧膨胀所带来的生存空间拥挤 、交通阻塞 、环境恶化等问题凸显 ,地下空 间的开发 ,城市地铁的快速修建和合理运营已成为 每一个大中城市建设规划者面前的一道重要课上海地铁一号线莲花路站运营故障 ,导致整个一号线停运 62 min ,事故波及 45 万人 ,严重影响了市民 交通出行的效率 ,在社会上引起了极大的反响 。地 铁候车厅内客流密集 ,人员流动复杂 ,如果能够掌 握地铁候车厅客流运动的规律 , 对于优化站点设 计 ,统一调度管理 ,提高地铁效率大有

7、帮助 。通过 以往的研究 ,我们知道站点周边环境对于站点候车题1。轨道交通是现代城市交通发展的重点2 ,3 。地铁作为最普及的现代轨道交通工具 ,在当今都市生活中起着至关重要的作用 。2003 年 7 月 14 日 , 收稿日期 :2004 - 12 - 25作者简介 :徐尉南(1982 - ) ,女 ,上海人 ,复旦大学硕士研究生 ,从事工程力学研究第 2 期徐尉南 ,等 :地铁候车厅客流运动的数学模型71厅内客流具有极大影响4 。不难想象 ,地铁客流随着时段的变化也是十分明显的 。例如 ,上下班的高 峰和节假日 ,各枢纽站点的客流量总是非常大 。进 一步研究 ,我们还可以发现地铁候车厅内客

8、流的分 布具有空间不均匀性 ,而这种空间不均匀性又因时 段的不同而起着变化 。地铁候车厅客流分布的时 空不均匀性导致了客流运动速度的时空不均匀性 。 在过去的研究中 , 只对速度分布进行过数值模型 ,为地铁候车厅内的客流运动情况作出预计提供了新的依据 。数据的测量和分析数据测量采用实地观察的方法 ,选取了上海地 铁一号线的人民广场和陕西南路 2 个站点为主要 观察对象 。人民广场位于繁华的市中心 ,是重要的 交通枢纽站点 。陕西南路站相对于人民广场站来 说 ,客流量要小得多 ,两者具有不同的代表性 。选 取这 2 个中转换乘站点作为研究对象 ,了解其客流 运动的规律对于旅客换乘网络优化设计具有

9、重要 意义6 。以对人民广场站的观察为例 ,人民广场站 的候车厅示意图见图 1 。1拟5,而没有建立具有解析解的数学模型 。且这些数值模拟是基于某一固定时段 ,假定客流在较大范围的局部空间上均匀分布的前提下得出的 。 在实际观察的基础上 ,考虑了地铁候车厅的时间和空间不均匀性 , 建立了具有解析解的数学模图 1 地铁一号线人民广场站地下月台平面示意图Fig. 1 The waiting room of People Square Station对 30 个车门中从车门起算的第 3 ,9 ,15 ,22 和28 个车门进行上 、下车人数的记录 。并按照候车 厅电子公告牌上的时钟 ,记录了每一趟列

10、车从打开 车门到关闭车门的间隔时间 (精确到秒) 。同时 ,也 仔细测量了候车厅的几何特征 、列车长度和车门宽 度等物理量 。于 2003 年 9 月 14 日2004 年 3 月15 日对 2 个站点进行了多次观察 。观测时段选择 了 15 :0018 : 00 这个相对客流高峰时段 , 并避开了双休日和节假日 。将观测中得到的 3 号 ,9 号 ,15 号 ,22 号和 28 号车门上 、下车的人数做成频数表 ,计算出相应的 平均人数 。然后以车头为原点 ,打开车门的那边车 缘为横坐标 ,平均上 、下车人数为纵坐标 ,建立散点 图 ,将这些散点用多项式曲线拟合得到地铁候车厅 边界上的客流分

11、布空间不均匀性图 。图 2 陕西南路 莘庄 (上车)Fig. 2 Shanxi Road Xinzhuang (getting on)图 3 陕西南路 莘庄 (下车)Fig. 3 Shanxi Road Xinzhuang (taking off)图 4 陕西南路 火车站 (上车)Fig. 4 Shanxi Road Railway Station (getting on)图 5 陕西南路 火车站 (下车)Fig. 5 Shanxi Road Railway Station (taking off) 72 铁 道 科 学 与 工 程 学 报2005 年 4 月图 6 人民广场 莘庄 (上车)F

12、ig. 6 People Square Xinzhuang (getting on)图 7 人民广场 莘庄 (下车)Fig. 7 People Square Xinzhuang (taking off)图 8 人民广场 火车站 (上车)Fig. 8 People Square Railway Station (getting on)图 2图 9 分别是陕西南路和人民广场 2 个站点2 个方向上、下车客流总共 8 种不同情况下的空间不 均匀分布图。从中可以看出 ,不仅每种情况下客流平 均值都明显存在着分布的不均匀特征 ,而且这种不均 匀性在不同情况下具有完全不同的特点。一次打开车门到关闭车门的间

13、隔时间主要是由 完成这一次上、下车客流运动的时间来决定。从观测到的数据来看 ,不同站点 ,不同时间段上的开关车门间隔时间是不相同的 ,陕西南路站的开关车门间隔时 间明显小于人民广场站。这是因为相对于人民广场站而言 ,陕西南路站的客流量较少。同时 ,人民广场站开关车门间隔时间在时段上的变化明显于陕西南 路站。这是因为人民广场站周边写字楼云集 ,公交线 路也多于陕西南路站 ,是市民换乘地铁的枢纽站点 ,上下班交通高峰期 ,这里的客流量变化要明显于陕西 南路站 ,所以由开关车门的间隔时间表征的客流分布时间不均匀性也就明显得多。图 9 人民广场 火车站 (下车)Fig. 9 People Square

14、 Railway Station (taking off) e=ini其中 :i 为该车门的密度 ; ni 为上车或下车人数 。 s ni 根据 Q 的含义有 Qi =, 于是0 . 5 tse - 1K- 1Qi= 0. 5 t=,iK = se , k = 1 = 0 . 5 t , 则记0 . 5 tKse QiQi = ivi vi = =K- 22=kQ i(1)ii式( 1) 表示速度与密度的负二次方或流量的二次方成正比 , 称常数 K 为密流比例系数 。 由于车门的宽度为1. 3 m ,比起整列车长138 m是小量 ,所以可以将每个车门对应的i , Q 和 vi 看作是车门中点所

15、在位置上的, Q , v 。以车头为原点 , 打开车门的车缘为 x 轴 , xi 表示第 i 个车门中点 的 x 坐标 , 有 xi = 5 . 2 + 4. 4 ( i - 1) 。如果根据实地 观测记录 , 已经拟合出 n ( x) 曲线 , 则由式 (1) 可以 得到靠近车门处客流速度 - 密度的一维模型 :靠近车门处客流速度 -维模型密度的一2e( x) =n ( x)v ( x) = K( x) - 2 = kQ ( x) 2建模过程中用到的几个物理量定义 : S 表示每个人的占地面积 , m2 ,一般为 0 . 20 0 . 25 m2 ; n 表 示流动的人数 , 单位为 1 ,

16、 这是可以直接测量到的数据 ; d 表示边界长度 , m ; t 表示开关车门的间隔( 2)式 ( 1) 和式 ( 2) 所示的速度与密度的负二次方成正比关系 , 这在以往的机动车交通流模型中是没 有出现过的7 , 8 。为了与机动车交通流中常见的时间 , s ;表示密度 , = d , 其物理意义是每个人Greenshields 模型 ( u = uf (1 -, 其中 uf 指畅行)jn占用的边界长度 ; Q 表示流量 , Q = v , m2/ s ,物理意义是单位时间内通过的面积 ; e 表示车门的宽 度 ,是一个定值 , 例如上海地铁一号线列车的车门宽为 1. 3 m 。对于第 i

17、个车门而言 , 假定进 ( 出) 该车门的客 流均匀分布在一维车门边界上 , 则有 :速度 , 指堵塞密度9 ) , Greenberg 模型 ( u = u jmln, um 指对应最大流量时的速度 , 该模型适用于j大密度情况 10 ) 和 Underwood 模型 ( u= uf e - , 该mu ,模型适用于小密度情况11 ) 作比较 , 令 y =uf第 2 期徐尉南 ,等 :地铁候车厅客流运动的数学模型73 建立平面坐标系 , 作出上述 4 个函数的图最后讨论一下密流比例系数 :x = j ,1se(3)K =k = 0. 51像 ( 图 10) 。对图 10 中参数的取值作以下

18、说明 :1) 人的步行速度一般为 1 . 03 1 . 28 m/ s ,在 这里畅行速度取 1 . 2 m/ s ;2) 新建模型中的密度是指每个人占有的横向单 位长度 ,它所对应的堵塞密度相当于一个成年人的肩宽 ,所以堵塞密度取 0. 5 m ,而 Greenshields ,Greenberg和 Underwood 模型中的堵塞密度取 5 (将这3 个一维机 动车模型用到行人流中 ,则堵塞密度应该是指 1 m 距离内排队的最多人数 ,可以认为是 5 人) ;3) 根据实测数据 ,陕西南路站的 t 取 20 s ,人 民广场站的 t 取 40 s ,所以新建模型中的 K 分别相应取 0.

19、026 m3/ s 和 0 . 013 m3/ s ,得到图 10 中 2 条不 同的曲线 。这个系数中的 t 是指完成 1 次打开车门到关闭车门的间隔时间 。之所以取 0 . 5 t 是因为假定上下车各 占用一半的时间 , 当然也可以设 1 个比例系数来调节上下车占用的时间关系。通过观察记录发现开关车门的间隔时间与站点和时段 2 个因素相关 。例 如 , 同样的时段 16 :30 17 :00 , 陕西南路站的 t 明 显小于人民广场站 , 因为人民广场站相对于陕西南 路站来说客流量大 , 耗时就多 。对于同一个站点 , 例 如人民广场站 , 不同时段 , 一个为 16 :30 17 :00

20、 , 另一个是 17 :00 17 :30 , 对应的 t 是不同的 , 后一 时段相对于前一时段是下班的高峰期 , 对于同一站 点客流量会有所增加 , 那么耗时也就增加了 。候车 厅客流分布的时间不均匀性由密流比例系数 K 体 现出来 。上车客流速度 - 密度的二维模型通过观察发现对于每一个车门而言 , 候车乘客 分布的形状与二次函数相似 ( 图 11) 。以候车厅中 线为横坐标 , 以该车门中点作候车厅中线的垂线为 纵坐标 , 则车门中点坐标为 (0 , w) , 其中 表示候车 厅宽度的一半 。下列二次函数可用来描述乘客分布 的图像 。y = A (4. 84 - x2)3e2图 10

21、不同交通流模型比较Fig 10. The compari son of different traffic - flow model s从图 10 中可以看出 ,新建模型与 Greenshields 模型有 2 个交点 ,在这 2 个交点间的部分比较合理 。 而由 Greenberg 模型和 Underwood 模型结合得到的 图像 ,则与新建模型形态相当接近 。由此可知的建 模思想与几个传统模型完全不同 ,所得到的结果趋 势却比较一致 ,但函数值则有一定差别 , 这反映了 人行流和机动车流之间的差异 。w = A ( 4. 84 - ) ( e 为车门的宽度)4y( y) = 2 x = 2

22、4. 84 - =A2e ) y24. 84 -(4 . 84 -4w进一步 , 对整个候车厅俯视平面建立坐标 : 以候车厅中线为横坐标 , 以车头作候车厅中线的垂线 为纵坐标 , 垂足为原点 ( 图 12) 。图 11 二维模型局部示意图Fig. 11 A part - illustration of 2 - d model图 12 二维模型示意图Fig. 12 The illustration of 2 - d model 74 铁 道 科 学 与 工 程 学 报2005 年 4 月同样根据实测数据拟合得到的曲线 ,并假设这些客流候车时均匀分布在上述二维区域内 ,可得 :车厅宽度为 14

23、m ,中间搁置了座椅宽度为 1 m ,如果不考虑座椅带影响 ,那么 w = 7 m ,考虑座椅带影响 后变成 w = 6 . 5 m 。又若考虑设置候车安全隔离门 , 则 w 也要减小 0 . 3 m 左右 。为了验证二维模型的合理性 , 从式 (4) 进一步 导出上车时间计算公式 , 并与实测数据进行比较 。上车时间计算公式可以写成 := s n ( x )( x , y)( y)= s n ( x) =w10( x , y) d y eA ( 2. 2 -2 )v ( x , y) = K- 2 ( x , y) = kQ2 ( x , y)=s2 n ( x) 2w d y y= v (

24、 x , y) e24. 84 -(2. 2 + 2 )T=4 Kw2A4 Kw20(4)s2 n ( x) 2e) 2e(2 . 2 +s2 n ( x) 2 2. 2 + 22w d y 4. 40(5)= ln式 (4) 即是描述上车客流速度 - 密度关系的二维交通流模型 。式 ( 4) 中 , w 是一个表示候车厅几何特征的参 数 , 在不同问题中有不同取值 。例如人民广场站 , 候2 Kwyee 4. 84 -2. 2 -2A取 e = 1. 3 m , s = 0. 2 m2 ,根据式 (5) ,上车时间和计算结果与比较见表 1 。表 1 上车时间计算结果与比较Ta ble 1 T

25、he calculations of the time (getting on) and their compari son车门位置计算项目平均值3 号9 号15 号22 号28 号陕西南路站火车站方向计算值 / s陕西南路站火车站方向实测值 / s计算误差 / %人民广场站火车站方向计算值 / s人民广场站火车站方向实测值 / s计算误差 / %1 . 132 . 1848 . 179 . 069 . 484 . 4311. 7512. 485 . 85109 . 7462. 8274. 699 . 219 . 906 . 979 . 669 . 781 . 2312 . 4113 . 37

26、7 . 1812 . 3112 . 330 . 1617 . 4718 . 435. 2120 . 9919 . 985. 069 . 259 . 967 . 1325. 1023. 048 . 94在表 1 中 ,陕西南路和人民广场站的 K 分别取0. 026 m3/ s 和0 . 013 m3/ s , w 分别取5 m 和7 m 。计算 时每个车门上车人数 n ( x) 用实测数据平均值 , 作 为对比用的上车时间实测值也采用同一批测量数 据平均值 。通过表 1 可以看到 , 除了上车人数特别多的人民广场站 9 号门和上车人数特别少的陕西 南路站 3 号门之外 , 式 (5) 的计算结果

27、与实测数据 误差都在 10 % 以内 。4 应用举例 :安全隔离门对上车时间 的影响由于发生了意外事故 , 近期来对于在地铁候车厅内安装安全隔离门的呼声很高 。毫无疑问 , 这是一项有利于提高地铁运行安全性的举措 , 并且可 能因为进站列车不必过早减速而对提高运行速度 有好处 。但事物总是辨证的 , 采取这一措施也会造 成一定的不利影响 , 主要是由于它将压缩候车厅空间而导致客流密度增大 , 速度下降 , 上车时间延长 。 还有可能造成车门与安全门之间错位 , 导致有效门 宽减小 , 也会使上车时间延长 。应用计算模型即式(5) 对这些可能发生的不利影响进行估算 , 结果见 表 2 。表 2

28、候车厅宽度改变对上车时间的影响Ta ble 2 The effect of the waiting rooms width on the time (getting on)未装隔离门候车厅宽度 / m3 . 0 3. 54 . 04 . 55. 05 . 56 . 06. 57 . 07 . 58. 0装隔离门后上车时间增加/ %11 . 11 9 . 388. 117 . 146 . 385. 775 . 264 . 844. 484 . 173 . 90表 2 指出 , 安装隔离门后减小了候车厅宽度(这里都按减小 0 . 3 m 计算) ,导致上车时间延长的 比例基本上在 10 %的范围以

29、内 , 并且原候车厅宽 度越小则这种影响越明显 。从表 3 可以看出 ,如果车门与隔离门未准确对齐 ,导致有效车门宽度下降 ,也会使得上车时间增大 。这种影响比改变候车厅宽度的影响更为显著 , 只要车门错位达到 0 . 1 m 以上 ,上车时间延长比例 就可能超过 10 % 。因此 ,在安装安全隔离门时 ,必 须充分估计到这一影响 ,尽量减少不必要的停车时第 2 期徐尉南 ,等 :地铁候车厅客流运动的数学模型75间 。MAO Bao2hua . Urban Rail2traffic M . Beijing : Science Press ,2001.蔡 俊. 上海市地铁二号线人民广场车站换乘分

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