不等式的应用(一)

1、课 题： 不等式的应用(一)教学内容： 不等式的应用教学目的： 通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，提高分析问题和解决问题的能力教学重点： 深化不等式和其它数学知识间的融汇贯通，提高分析问题解决问题的能力教学过程：一、知识概要教学要求： 熟练运用不等式的知识综合解决函数、方程等中的有关问题掌握 “两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数”，并能运用此定理解决一些问题能从实际问题中抽象出数学模型，寻找出该数学模型中已知量与未知量，建立数学关系式，并用适当的方法解决问题通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函

2、数、数列、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，提高分析问题解决问题的能力二、典例解析例1 已知（tR，t是参数）（1）当t=-1时，解不等式；（2）如果当x0，1时，恒成立，求参数t的取值范围。解：（1）t=-1时，即为，此不等式等价于,解得，原不等式的解集为。（2）当时，恒成立，即当时，恒成立，时，恒成立，即时，恒成立，于是转化为求的最大值问题。令，则，由，知。，当时，即x=0时，有最大值为1，t的取值范围是。例2 己知三个不等式：； 。(1)若同时满足、的值也满足，求m的取值范围；(2)若满足的值至少满足和中的一个，求m的取值范围。解：记的解集为A，的解集为B

3、，的解集为C。解得A=（-1，3）；解得B=。（1）因同时满足、的值也满足，ABC。设，由的图象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3时，即可满足。（2）因满足的值至少满足和中的一个，因此小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而。例3 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+1(a，bR，a0)，设方程f(x)=x的两实数根为x1，x2。 (1)如果x12x24，设函数f(x)的对称轴为x=x0，求证x01；(2)如果|x1|2，|x2x1|=2，求b的取值范围 解 (1)设g(x)=f(x)x=ax2+(b1)x+1，且a0 x12x24，(x12)(x22)0，即x1x22(x1+x2)

4、4，(2) 由方程g(x)=ax2+(b1)x+1=0，可知x1·x2=0，所以x1，x2同号。 若0x12，则x2x1=2，x2=x1+22，g(2)0，即4a+2b10。 又(x2x1)2=，2a+1= ，(a0)代入式得，232b，解得：b。 若 2x10，则x2=2+x12，g(2)0，即4a2b+30。又2a+1=，代入式得：22b1 解得：b 综上，当0x12时，b；当2x10时，b 例4 设a>1，f(x)=x-1-ln2x+2alnx(x>0)（1）令，讨论F(x)在(0, +)内的单调性并求极值；（2）求证：当x>1时，恒有x>ln2x-2a

5、lnx+1解：（1）根据求导法则有故=x-2lnx+2a, x>0，于是(x>0)易得当x在(0, 2)时，<0，故F(x)在(0, 2)时为减函数；在（2，-）上时，>0，故F(x)在(2, +)内是增函数所以F(x)取得极小值F(2)=2-2ln2+2a（2）由a>0知，F(x)的极小值F(2)=2-2ln2+2a>0于是由（1）知，对一切x(0, +)，恒有>0, 从而当x>0时，恒有，故f(x)在(0, +)内单调增加所以当x>1时，f(x)>f(1)=0，即x-1-ln2x+2alnx>0故当x>1时，恒有x&g

6、t;ln2x-2alnx+1三、课堂练习1 已知数列an满足a1=2, an+1=2an, nN*，（1）求数列an的通项公式； （2）设，求证解：（1）由an+1=2an，得=(n2)当n=1时，a1=2成立。综上an=2n·n2(nN*)；（2）(n4)，(n4)当n=1、2、3时，经检验均成立，综上原不等式对于nN*均成立2设函数，不等式的解集为（-1，2），试求不等式的解集. 解：由它等价于：原不等式解集为.四、备选习题1已知a，b，m都是正数，并且，求证：. 证：从而 证法二：证法三：设，则证法四：设，视为主元，即得又，解得.即证法五：，易得又即原不等式得证。证法六： ，关

7、于的不等式，其解集为原不等式成立.证法七：设数轴上三点的坐标分别为则分所成的比 证法八：作直线，设.由。证法九：作辅助函数上单调递增，又.2已知a是实数，试解关于x的不等式：. 解：原不等式同解于当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集时，原不等式的解集为.3解关于x的不等式：0（aR）解：原式（xa）（xa2）0，x1a，x2a2当a=a2时，a=0或a=1，x；当aa2时，a1或a0，axa2，当aa2时，0a1，a2xa，当a0时axa2；当0a1时，a2xa；当a1时，axa2；当a=0或a=1时，x。4 解关于x的不等式（其中）.解：（由知），又由知：当时，则集合 当时，原不等式解

8、集A为空集；当时，则集合5解不等式解：原不等式的解是由下面两个不等式组的解集的并集构成1） （2）由解得x|x<-3，或x>1，由解得x|x<-2，或x>3，不等式组（1）的解集是x|x<-3，或x>3由解得x|-3<x<1, 由解得x|-2<x<3，不等式组（2）的解集是x|-2<x<1综上，由不等式组（1）、（2）的解集可得原不等式的解集是x|x<-3, 或-2<x<1, 或x>3解法二：原不等式可化为，令y=.函数y的分子、分母各因式的根（从小到大排列）是-3，-2，1，3现用四个根将x的取值

9、范围分为五个区间：x<-3, -3,x<-2, -2<x<1, 1<x<3, x>3.函数y在上述区间取值时，函数值的符号在x轴上方为正，在x轴下方为负y>0，原不等式的解集是x|x<-3, 或-2<x<1, 或x>36解关于x的不等式组：解：原不等式组令a-1=-a, a+1=-a, a-1=-a+1, a+1=-a+1，得a=, a=-, a=1, a=0。A的四个取值将数轴分成五个区间，分别讨论解集如下：（1）当a-时，因a-1<a+1-a<-a+1，所以解集为；（2）当-<a0时，因a-1<

10、-a<a+1-a+1，所以解集为x|-a<xa+1；（3）当0<a时，因a-1-a<-a+1<a+1，所以解集为x|-a<x<-a+1；（4）当<a1时，因-a<a-1-a+1<a+1，所以解集为x|a-1x<-a+1；（5）当a>1时，因-a<-a+1<a-1<a+1，所以解集为。7已知函数和g (x)的图象关于原点对称，且f (x) = x2 +2x。 （1）求函数g (x)的解析式； （2）解不等式g (x)f (x)|x1|解：（）设函数y = g (x)图象上一点为P (x, g ( x)，其关

11、于原点对称点P (g (x),x)在函数y = f (x)上，则有g (x)=（x）2+2(x).则有g (x) = x2+2x. （）原不等式等价于|x1|2x 2. 当x 1时，有x12x 2解集为空集. 当 综上，原不等式的解集为 。8. 对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为(1a3).设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是(),用质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中是该物体初次清洗后的清洁度.()分别求出方案

12、甲以及时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;()若采用方案乙,当为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响. 解：()设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有=0.99,解得x=19.由得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y满足方程:解得y=4,故z=4+3.即两种方案的用水量分别为19与4+3.因为当,故方案乙的用水量较少.（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似（I）得，（*）于是+; 当为定值时,当且仅当时等号成立.此时将代入（*）式得故时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分别为 , 最少总用水量是. 当,故T()是增函数(也可以用二次函数的单调性判断).这说明,随着的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量.9设函数f(x)=ax满足条件 当x(，0)时，f(x)1；当x(0，1时，不等式f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)恒成立，求实数m的取值范围 解 由已知得0a1，由f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)，x(0，1恒成立 在x(0，1恒成立 整理，当x(0，1)时，恒成立，