不等式及其性质

1、第43课 不等式及其性质考试目标 主词填空1.实数性质.设a,bR,则a>ba-b>0,a=ba-b=0,a<ba-b<0.2不等式的对称性和传递性.a>bb<a;若a>b,b>c,则a>c.3不等式的运算性质.a>ba+c>b+c;a>b,c>da+c>b+d.a>b,c>0ac>bc;a>b,c<0ac<bc.a>b>0,c>d>0ac>bd>0.a>b,ab>0.设nN*,则a>b>0a n>b n.设n

2、N*,则a>b>0 >.4.不等式性质的应用.比较两个量的大小，证明不等式，求变量的范围.题型示例 点津归纳【例1】 已知a<b<0,判断下列不等式是否成立.(1); (2);(3)|a|>|b|; (4)a2>b2; (5); (6).【解前点津】 综合使用不等式的诸种性质.【规范解答】 (1)a<b<0,ab>0.即>0a·成立.(2)取a=-2,b=-1,则a-b=-1,则不成立.(3)a<b<0,-a>-b>0|a|>|b|>0成立.(4)将-a>-b>0平方得:

3、a2>b2>0成立.(5)由(3)知|a|>|b|>0成立成立 不成立.而可正可负，故原不等式不成立.【解后归纳】 肯定命题须证明，否定结论举反例.对(6),使用的方法是:作差分解因式判断符号.【例2】 设a>0,a1,t>0,比较logat与loga的大小，并证明你的结论.【解前点津】 通过对差值的运算化简，对a的取值范围进行论后，可确定差值的符号.【规范解答】 logalogat=loga-loga=loga .t>0,t+12(当且仅当t=1时等号成立), 1.t=1时,loga =logat;t1时, >1,故a>1,则loga&g

4、t;0,此时loga>logat;若0<a<1,则loga<0loga<logat.【解后归纳】 当a>1时,当且仅当f(t)>1时,logaf(t)>0;当0<a<1时,当且仅当f(t)>1时,logaf(t)<0,分类讨论，是判断对数值范围的基本方法.【例3】 (1)若x<y<0,试比较:(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小;(2)a>0,b>0且ab,试比较aabb与abba的大小.【解前点津】 (1)作差，因式分解，判断符号；(2)根据同底数幂的运算法则，可作商与1比.【

5、规范解答】 (1)(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)(x2+y2)-(x+y)2=-2xy(x-y)x<y<0,xy>0,x-y<0,-2xy(x-y)>0,故有(x2+y2)·(x-y)>(x2-y2)·(x+y).(2)由条件: .当a>b>0时, >1,a-b>0>1,于是aabb>abba;当b>a>0时,0<<1,且a-b<0,>1.综上所述可知:aabb>abba.【解后归纳】 实数大小的比较问题常利用不等式的基本性质或“

6、>1且b>0a>b”来解决,这叫做“作商与1比”.【例4】 设f(x)=ax2+bx且1f(-1)2,2f(1)4,求f(-2)的取值范围.【解前点津】 f(-1)=a-b,f(1)=a+b,而1a-b2,2a+b4,又a+b与a-b中的a、b不是独立的,而是相互制约的,因此，若将f(-2)用a-b和a+b表示则问题得解.【规范解答】 设f(-2)=m·f(-1)+nf(1),(m,n为待定系数),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即:4a-2b=(m+n)a-(m-n)b比较两边a、b的系数得方程:解之得:.f(-2)=3f(-1)+f(1),1f(-1)

7、2,2f(1)4,53f(-1)+f(1)10,故5f(-2)10.【解后归纳】 利用不等式求范围，要注意“度”的把握，过度的放、缩，容易出错.对应训练 分阶提升一、基础夯实1.若a、bR且a>b,则必有 ( )A.a2>b2 B.<1 C.lg(a-b)>0 D.2.“a+b>2c”的一个充分条件是 ( )A.a>c或b>c B.a>c且b<c C.a>c且b>c D.a>c或b<c3.已知x>y>z,且x+y+z=2,则下列不等式恒成立的是 ( )A.xy>yz B.xz>yz C.xy&

8、gt;xz D.x|y|>z|y|4.下列命题中:a>bc-a<c-b,a>b,c>0 ,a>b,c<0, ,a3>b3a>b,其中真命题的个数是 ( )A.1 B.2 C.3 D.45.a,b满足0<a<b<1,下列不等式中正确的是 ( )A.aa<ab B.ba<bb C.aa<ba D.bb<ab6.若、满足-<<<,则2-的取值范围为 ( )A.(-,0) B.(-,) C. D.(0,)7.设命题甲:,命题乙：，则甲是乙的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.

9、充要条件 D.既不充分又不必要条件8.若log2x=log3y=log5z<0,则、之间的大小关系是 ( )A. << B. << C. << D.<<9.甲、乙两人同时从M地到N地，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行速度、跑步速度均相同，则 ( )A.甲先到N地 B.乙先到N地C.两人同时到N地 D.谁先到不确定10.若a>0,b<0,且a<|b|,则下列各式中成立的是 ( )A.b<-a<a<-b B.-b<-a<b<aC.-a<b<

10、a<-b D.-a<-b<a<b二、思维激活11.“a>b”成立的充要条件是 .12.设x>y>z>1,则、从小到大依次排列为 .13.记号minp,q表示p,q中的最小者，若f(x)=min3+logx,log2x,则f(x)的最大值是 .14.a,b,mR+,且,则a与b的大小关系为 .三、能力提高15.已知xR且x0,比较(2x2-3)2与4x4-10x2+9的大小.16.已知a>b,b>0,且ab,比较与a+b的大小.17.设60<a<84,28<b<33,求a+b,a-b,的范围.18.已知1a+b5

11、,-1a-b3,求3a-2b的取值范围.第1课 不等式及其性质习题解答1.D 因y=是R上的减函数.2.C 由a>c且b>ca+b>2c,但反之不真(读者可自举一例).3.C 由条件知x>0,否则与x+y+z=2相矛盾.故由xy-xz=x(y-z)>0恒成立知xy>xz恒成立.4.Ba>b,-a<-bc-a<c-b故正确;由a3>b3知a3-b3>0(a-b)(a2+ab+b2)>0而a2+ab+b2>0恒成立,得a-b>0a>b,所以正确.5.C0<a<b<1aa>ab,ba&g

12、t;bb,aa<ba,bb>ab,分别考察函数y=ax,y=bx,y=xb的单调性即得.6.C-<<<,-<<,-<-<且-<-<0,-<2-< 7.B乙甲成立，而甲乙不一定成立.8.A设log2x=log3y=log5z=t,t<0,则x=2t,y=3t,z=5t,x=t,y=t, z=t,>>,t<0,()t<t <t.9.B设甲用时T,乙用时2t,步速为a,跑步速度为b,距离为s,则T=s×,ta+tb=s2t=,T-2t=s×>0,故T>2t.10.Aa<|b|=-bb<-a.11.因<0,故ab与a-b同号,所以ab>0即为所求.12.作差即得:.13.3+logx=log2x时,3-log4x=2log4x,x=4检验知0<x<4时,3+logx>log2x;当x>4时,3+logx<log2x,所以f(x)=,x=4时,f(x)max=2.14.b(a+m)<a(b+m)ab+bm<ab+ambm<amb<a.15.(2x2-3)2-(4x4-10x2+9