第一章 事件及概率

1、1主页主页 退出退出 21、确定性现象确定性现象：在一定条件下一定会发生或一定不会发生：在一定条件下一定会发生或一定不会发生 的现象的现象 随机现象随机现象：在一定条件下可能发生也可能不发生的现象：在一定条件下可能发生也可能不发生的现象例例 1 (1)太阳从东方升起太阳从东方升起 (2)边长为边长为a的正方形的面积为的正方形的面积为a2 (3)一袋中有一袋中有10个白球，今从中任取一球为白球个白球，今从中任取一球为白球 （1)（2)（3）为确定性现象）为确定性现象 随机现象随机现象：在一定条件下可能发生也可能不发生的现象：在一定条件下可能发生也可能不发生的现象例例 2 (4)掷一枚硬币，正面向

2、上掷一枚硬币，正面向上 (5)掷一枚骰子，向上的点数为掷一枚骰子，向上的点数为2 (6)一袋中有一袋中有5个白球个白球3个黑球，今从中任取一球为白球个黑球，今从中任取一球为白球（4）（）（5）（）（6）为随机现象）为随机现象第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率3 1.1 随机事件随机事件试验试验：为了研究随机现象，对客观事物进行观察的过程：为了研究随机现象，对客观事物进行观察的过程 1 随机试验随机试验随机试验随机试验：具有以下特点的试验称为随机试验，用：具有以下特点的试验称为随机试验，用E表示：表示： （1）在相同的条件下可以重复进行；（可重复性）在相同的条件下可以重复进行；（可重

3、复性） （2）每次试验的结果不止一个，并且在试验之前可以明确）每次试验的结果不止一个，并且在试验之前可以明确 试验所有可能的结果；（结果的非单一性）试验所有可能的结果；（结果的非单一性） （3）在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现那一）在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现那一 种结果。（随机性种结果。（随机性）注意注意：今后所说的试验：今后所说的试验 均指随机试验均指随机试验4统计规律（性）：统计规律（性）：对于随机试验，就一次而言看对于随机试验，就一次而言看不出什么规律，但若大数次地重复这个试验，不出什么规律，但若大数次地重复这个试验，试验结果又遵循某些规律。这种规律即统计试验结

4、果又遵循某些规律。这种规律即统计规律。规律。2、随机事件随机事件：随机试验的结果称为事件。：随机试验的结果称为事件。 每每次试验中，可能发生也可能不发生，而在大次试验中，可能发生也可能不发生，而在大量试验中具有某种规律性的事件称为随机事量试验中具有某种规律性的事件称为随机事件。件。 用用A,B,C等表示等表示注意注意：今后所指的事件均指随机事件：今后所指的事件均指随机事件5随机事件分为：随机事件分为：（1）基本事件基本事件：对于试验目的而言不可再细分的试验结果：对于试验目的而言不可再细分的试验结果（2）复合事件复合事件：由两个或两个以上的基本事件构成的事件：由两个或两个以上的基本事件构成的事件

5、（3）必然事件必然事件：每次试验中一定发生的事件：每次试验中一定发生的事件（4）不可能事件不可能事件：每次试验中一定不发生的事件：每次试验中一定不发生的事件例例3：掷一枚均匀的骰子，：掷一枚均匀的骰子， =点数小于等于点数小于等于6,A=点数为点数为4, B=偶数点偶数点，C=点数不大于点数不大于3, =点数为点数为8则基本事件为则基本事件为? 复合事件为？必然事件为？不可能事件为？复合事件为？必然事件为？不可能事件为？6注意注意：（：（1）基本事件、复合事件、必然事件、不可能事）基本事件、复合事件、必然事件、不可能事 件是相对于试验条件而言件是相对于试验条件而言。 （2）必然事件、不可能事件

6、是确定性事件。必然事件、不可能事件是确定性事件。 （3）事件事件A发生：当且仅当事件发生：当且仅当事件A中的一个基本事件中的一个基本事件 出现出现73、样本空间：样本空间：所有的基本事件组成的集合，用所有的基本事件组成的集合，用 表示表示 样本点样本点：样本空间中的每一个元素为一个样本点。：样本空间中的每一个元素为一个样本点。 用用 表示。表示。例例:掷硬币掷硬币 =正面，反面正面，反面 掷骰子掷骰子 =1,2,3,4,5,6可见：可见：样本空间即必然事件样本空间即必然事件 样本点即基本事件样本点即基本事件注意注意：事件与集合的对应：事件与集合的对应：样本空间样本空间全集全集 事件事件子集子集

7、8例例1 掷一枚均匀的骰子，观察向上的点数，掷一枚均匀的骰子，观察向上的点数， =？ =1、2、3、4、5、6例例2 在某段时间内，考察车站候车的旅客数，在某段时间内，考察车站候车的旅客数， =？ =0、1、2、3. 例例3 向区间向区间a,b内随机的投一质点，观察落点的坐标，内随机的投一质点，观察落点的坐标， =a,b例例4 同时掷两枚均匀的硬币，同时掷两枚均匀的硬币， 1表示表示“正面向上正面向上”， 0表示表示“反面向上反面向上”， =？ =( 0 , 0 ), ( 1 , 0 ), ( 0 , 1 ), ( 1 , 1 ) 例例5 向平面上随机的投一质点，观察落点的坐标，向平面上随机的

8、投一质点，观察落点的坐标， =？ =(x,y)样本点：例样本点：例1、4有限个有限个 例例2无限可列个无限可列个 例例3区间内任一点区间内任一点 例例52维维 94、事件的集合表示：、事件的集合表示：当且仅当当且仅当 1， 2，. k有一个发生时，事件有一个发生时，事件A发生，则发生，则称称 1， 2，. k为事件为事件A的的有利样本点。有利样本点。 A= 1， 2，. k 样本空间样本空间全部样本点的集合全部样本点的集合 全集全集 基本基本事件事件一个样本点的集合一个样本点的集合 复合复合事件事件多个样本点的集合多个样本点的集合 不可能不可能事件事件没有样本点的集合没有样本点的集合 空集空集

9、10三、事件间的关系及运算三、事件间的关系及运算v 引言引言 因为任一随机事件都是样本空间的一个子集，所以事因为任一随机事件都是样本空间的一个子集，所以事件的关系和运算与集合的关系和运算完全类似。件的关系和运算与集合的关系和运算完全类似。1 1、事件的包含与相等、事件的包含与相等 * 事件事件 A A 的发生必然导致事件的发生必然导致事件 B B 的发生的发生，则称事件，则称事件 B 包含包含 事件事件 A，或称事件称事件 A 包含于包含于 事件事件 B ，记为，记为 ：A B 或或 B A。样本空间样本空间BA属于属于 A 的的 必然属于必然属于 B 注：对注：对任一事件任一事件 A 有：有

10、： A 11 例例1 1：一袋子中有分别编号为一袋子中有分别编号为 1、2、10 的十个的十个球，现从中任取一球，设球，现从中任取一球，设 A = 取到取到5号球号球，B = 取取到编号是奇数的球到编号是奇数的球，C = 取到编号是取到编号是 1, 3, 5, 7, 9 的球的球 ，D = 取到编号取到编号 3 的球的球 ，E = 取到编号是偶取到编号是偶数的球数的球 。 则：则：事件事件 A 的发生必然导致事件的发生必然导致事件 B 的发生。故事件的发生。故事件 B 包含事件包含事件 A，即：即：B A。12 在例在例1 1中，中，B B =取到编号是奇数的球取到编号是奇数的球 ，C=C=取

11、到编号是取到编号是1,3,5,7,91,3,5,7,9的球的球 。则：则：事件与事件含有相同的样本点，故：事件与事件含有相同的样本点，故： = =。v 事件的相等事件的相等 当事件包含事件当事件包含事件且且事件也包含事件时事件也包含事件时，则，则称：事件与事件称：事件与事件相等相等。记为。记为= =。、中含有相同的、中含有相同的 注：注：相等的两事件总是相等的两事件总是同时发生同时发生或或同时不发生同时不发生13样本空间 2、事件的并（和）、事件的并（和） “两事件与中至少有一个发生两事件与中至少有一个发生” 这一事件称为这一事件称为事件与的并（事件与的并（和）。和）。记为：记为： 或或+ +

12、。中的样本点是中的中的样本点是中的样本点与中的样本点的和样本点与中的样本点的和 在例在例1 1中，中，B B =取到编号是奇数的球取到编号是奇数的球 ，D=D=取到编号取到编号33的球的球 。则：则：= = 取到编号为取到编号为1,2,3,5,7,91,2,3,5,7,9的球的球 注意： 样本点重复时只写一次！样本点重复时只写一次！14样本空间A B3、事件的交（积）、事件的交（积） “两事件与都发生两事件与都发生” 这一事件称这一事件称为事件与的为事件与的交（积）交（积）。记为：记为：或或。中的样本点是中的样本点是与所共有的样本点与所共有的样本点。 在例在例1 1中，中， A=A=取到取到5

13、 5号球号球 ，B B =取到编号是奇数的球取到编号是奇数的球 ABA则：则： = = 取到编号为取到编号为 5 5 的球的球 15*事件的并的推广事件的并的推广“n n 个事件个事件 A A1 1,A,A2 2, , ,A An n 中至少有一个发生中至少有一个发生” 这一事件这一事件称称为事件为事件A A1 1,A,A2 2, , ,A An n的的并并。记为：记为： A A1 1A A2 2A An n 或或 A Ai i或或 Ai。 i=1i=1 i=1 “n n 个事件个事件 A A1 1,A,A2 2, , ,A An n 都发生都发生” 这一事件称为事这一事件称为事件件A A1

14、1,A,A2 2, , ,A An n的的交交。记为：记为： A A1 1A A2 2A An n 或或 A Ai i。 i=1i=1*事件的交的推广事件的交的推广* 类似地，也可定义无限多个事件的并类似地，也可定义无限多个事件的并 A Ai i。 以及无限多个事件的交以及无限多个事件的交 A Ai i。 16样本空间样本空间在例在例1 1中中 A=A=取到取到5 5号球号球 B B =取到编号是奇数的球取到编号是奇数的球 4、事件、事件的差的差 事件发生而事件不发生事件发生而事件不发生，这一新事件称为事件这一新事件称为事件与事件的差，记为：与事件的差，记为：。即：是把中属于即：是把中属于的元

15、素去掉的元素去掉注意：一般注意：一般=特别地：特别地： （1）=时，时，= （2）=时，即时，即 时，时， = （3）=时，即时，即 时，时，=A 则则 取到编号是取到编号是1,3,7,91,3,7,9的球的球 B样本空间样本空间AB样本空间样本空间AB样本空间样本空间BA17在例在例1 1中中 A=A=取到取到5 5号球号球 ，B=B=取到编号是偶数的球取到编号是偶数的球 5、事件的互不相容（互斥）、事件的互不相容（互斥） 若两事件与不可能同时发生若两事件与不可能同时发生，即，即AB=AB=，则则称事件与是称事件与是互不互不相容相容的（或的（或互斥互斥的）。的）。注：注：基本事件基本事件之间

16、互不相容之间互不相容则：则：事件与事件互不相容事件与事件互不相容。即。即B B。样本空间样本空间AB18 若若 n n 个事件个事件 A A1 1，A A2 2，A An n 中任两个都中任两个都不可能同不可能同时发生时发生，即：，即： AiAj=，(1ijn)，则称则称这这 n 个事件个事件是两两是两两互不互不相容相容的（或的（或互斥互斥的）。它的）。它们的们的和和记为：记为： A1+A2+An * 事件的互不相容的推广事件的互不相容的推广19样本空间样本空间 A6、 对立事件（逆事件）对立事件（逆事件） 若两事件与是互不相容的，若两事件与是互不相容的，且且它们的和它们的和是必然事件是必然事

17、件，即即 （1） AB=（2） AB=（或或A+B=）则：则： 称事件与是称事件与是对立事件对立事件，称，称事件事件(事件事件)是事件是事件 (事件事件)的的对立事件对立事件(逆事件逆事件)。 记为：记为：=或或 =A20 注注 (1 (1）对立事件是相互的对立事件是相互的: :A A是是A A的逆，的逆，A A也是也是A A的逆的逆 在例在例1 1中，中， A=A=取到编号是奇数的球取到编号是奇数的球 ， B =B =取到编号是偶数的球取到编号是偶数的球 则：事件则：事件A A与事件是对立事件与事件是对立事件, , 即即= = A A。AA （2 2）一般一般 A A B = A-AB=AB

18、 B = A-AB=AB21样本空间样本空间 A3 两事件互不相容只表明不能同时发生（即：至多只能两事件互不相容只表明不能同时发生（即：至多只能发生其中之一），但发生其中之一），但可以都不发生可以都不发生；而对立则表示；而对立则表示有且有且仅有仅有一个发生（即：肯定了一个发生（即：肯定了至少有一个发生至少有一个发生）。）。* 对立事件与互不相容事件的联系与区别对立事件与互不相容事件的联系与区别1 两事件对立，必定互不相容，反之不然。两事件对立，必定互不相容，反之不然。A2 互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念只适用于两个事件。念只适用于两个事件。

19、这是因为这是因为： 。样本空间样本空间A22在例在例1 1中，设：中，设：F Fi i=取到取到 i i 号球号球 ，( (i=1,2,i=1,2,10),10)7、完备事件组、完备事件组 n若若 n n 个事件个事件A A1 1，A A2 2，A An n两两两两互不相容，互不相容，且且 A Ai i = = i=1i=1 （1 1） A A1 1A A2 2A An n = = (2) AiAj=，(1i0，在事件在事件B已经发生的条件下已经发生的条件下,事件事件A发生发生的概率的概率,称为事件称为事件A对对B的条件概率的条件概率, 记作记作P(A|B)注注: : (2) (2) P(A)

20、P(A)称为无条件概率称为无条件概率(3)(3)性质：设性质：设P(B)0(1) (1) P(AB)P(AB)的直观含义的直观含义 P(|B)=1 若若Ak (k=1，2，) 两两互不相容，则两两互不相容，则 ( Ai |B) = (Ai |B) i=1 i=1 对于任一事件对于任一事件A，都有都有 0P(A|B)163条件概率的计算条件概率的计算令：令： =一个是男孩一个是男孩 =一个是女孩一个是女孩 例例1 1 考察有两个小孩的家庭考察有两个小孩的家庭, ,已知其中有一个是女孩已知其中有一个是女孩, ,问另一个是男孩的概率。问另一个是男孩的概率。则：则：43 )B(P=（男，男）、（男，女

21、）、（女，男）、（女，女）男，男）、（男，女）、（女，男）、（女，女）A=（男，男）、（男，女）、（女，男）男，男）、（男，女）、（女，男）B=（男，女）、（女，男）、（女，女）（男，女）、（女，男）、（女，女） P(A|B)=32分析分析: : B=B=两个孩子两个孩子, ,一个是男孩一个是男孩, ,一个是女孩一个是女孩 P(AB)=21AB=（男，女）、（女，男）（男，女）、（女，男）)()(BPABP)BA(P 64样本空间A B B 新样本 空间A 条件概率的实质条件概率的实质 条件概率条件概率P(A|B)P(A|B)的实质是样本空间起了变化。的实质是样本空间起了变化。新的样本空间缩小

22、为只取所包含的样本点。有利事件为新的样本空间缩小为只取所包含的样本点。有利事件为ABAB。AB)B(P()B(P)AB(P)B|A(P0 即即：所所包包含含的的样样本本点点数数所所包包含含的的样样本本点点数数BAB)B|A(P 65 例例2 在件产品中，有件不合格品，任取两次，在件产品中，有件不合格品，任取两次，每次取件，每次取件，取出后不放回取出后不放回，若已经发现第件是合格，若已经发现第件是合格品，求第件也是合格品的概率。品，求第件也是合格品的概率。解：设解：设i = 第第 i 次取到合格品次取到合格品，i = 1，2。方法方法1 (利用公式利用公式) 条件概率的计算公式条件概率的计算公式

23、: :)B(P()B(P)AB(P)B|A(P0 注意注意:应用此公式时应用此公式时P(B) P(AB)都是在原来的样本空间中考虑都是在原来的样本空间中考虑(2|1) = 6/9(1) = (12) = 910679612112 )A(P)AA(P)A|A(P方法方法2 (直接求直接求)10766 定理定理1.1 1.1 对任意两事件对任意两事件A、B，都有都有P(AB)=P(A)P(B|A) ( P(A)0 ) 1.3.2 乘法公式乘法公式 P(AB)=P(B)P(A|B) ( P(B)0 )注：当注：当P(AB)P(AB)不容易直接求得时，可考虑利用不容易直接求得时，可考虑利用P(A) P

24、(A) 与与P(B|A)P(B|A)的乘积或的乘积或P(B)P(B)与与P(A|B)P(A|B)的乘积间接求得。的乘积间接求得。 对于事件对于事件A1,A2, ,An, 如果如果 P(A1A2 An-1)0 , 则有则有 P(A1A2An)=P(A1) P(A2|A1) P(A3|A1A2)P(An|A1A2 An-1)推广的乘法公式推广的乘法公式674%4%次次品品96% 正品75% 75% 一等品一等品例：一批产品的次品率为例：一批产品的次品率为4，正品中一等品率为，正品中一等品率为75，现从这批产品中任意取一件，试求恰好取到一等品的概率现从这批产品中任意取一件，试求恰好取到一等品的概率。

25、 解：解：记记A取到一等品取到一等品， B取到次品取到次品， 取到正品取到正品。B则有：则有： P(B)=4/100 P( )=96/100 P(A| )=75/100BB由于：由于： 故：，于是：故：，于是：BB P(A)=P(A )=P( )P(A| )=(96/100)(75/100)=0.72BBB68 例例2 2 （课本（课本P24P24例例2 2）1010张考签中有张考签中有4 4张难签，甲、乙、丙张难签，甲、乙、丙 3 3人参加抽签（不放回），甲先，乙次，丙后，人参加抽签（不放回），甲先，乙次，丙后， 求甲、乙、丙都抽到难签的概率？求甲、乙、丙都抽到难签的概率？ 记记A甲抽到难签

26、甲抽到难签， B乙抽到难签乙抽到难签， C丙抽到难签丙抽到难签， P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)= 3018293104 P(A)= P(B|A)= P(C|AB)= 821049369 全概率公式的思路是把一个复杂的事件分解为一些全概率公式的思路是把一个复杂的事件分解为一些互斥互斥的简的简单事件的单事件的并并，再利用概率的加法和乘法法则计算复杂事件的概率，再利用概率的加法和乘法法则计算复杂事件的概率1.4 全概率公式与贝叶斯公式1.4.1 全概率公式全概率公式 设设A1, A2, , A n 构成一个完备事件组，求事件构成一个完备事件组，求事件B的的概率概率P（B），），若

27、事先知道若事先知道 A1, A2, , A n 的概率的概率 P(A1),P(A2), P(A n) ，条件概率条件概率(B|A1)，(B|A2)， (B|An) , 则则可利用可利用全概率公式全概率公式 70定理定理1. 5(全概率定理）全概率定理） 设设A1, A2, , A n 构成一个完备构成一个完备事件组，并且事件组，并且 P(Ai)0, i=1,2, n, 则事件则事件B的概率为的概率为H 全概率公式全概率公式)1iniiP(B|A)P(AP(B) 证明：证明：BAPnii 1 ) B(P)B(P)A|B(P)A(Pinii 1)A(BPnii 1 nii)BA(P171H 全概率

28、公式的理论和实用意义全概率公式的理论和实用意义 在较复杂情况下直接计算在较复杂情况下直接计算P(B)P(B)不易，但不易，但B B总是伴随着某组总是伴随着某组A Ai i出现，适当去构造这一组出现，适当去构造这一组A Ai i往往可以简化计算。在使用全概往往可以简化计算。在使用全概率公式时，率公式时，关键是选择适当的划分关键是选择适当的划分-完备事件组完备事件组A Ai i。 全概率公式还可以从另一个角度去理解：某一事件全概率公式还可以从另一个角度去理解：某一事件B B的发生的发生有各种可能的原因有各种可能的原因A Ai i(i=1(i=1，2 2，n)n)，如果如果B B是由原因是由原因A

29、Ai i所引所引起，则起，则B B发生的概率是发生的概率是P(BP(B)=)=P(AP(Ai i)P(B)P(B| |A Ai i) )。每一原因都可能导致每一原因都可能导致B B发生，故发生，故B B发生的概率是各原因发生的概率是各原因引起引起B B发生概率的总和，即全概率公式。发生概率的总和，即全概率公式。 全概率公式可看成是全概率公式可看成是“由原因推结果由原因推结果”，每个原因对结果，每个原因对结果的发生有一定的的发生有一定的“作用作用”，即：结果发生的可能性与各种原因，即：结果发生的可能性与各种原因的的“作用作用”大小有关，全概率公式表达了它们之间的关系。大小有关，全概率公式表达了它

30、们之间的关系。72 例例1 1：两台车床加工同一种零件，第一台出现废品的概率是：两台车床加工同一种零件，第一台出现废品的概率是0.030.03，第二台出现废品的概率是，第二台出现废品的概率是0.020.02，加工的零件放一起，并，加工的零件放一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍。求任取且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍。求任取一零件是合格品的概率。一零件是合格品的概率。设设i=第第 i 台车床加工的零件台车床加工的零件 ( i =1, 2)，B = 零件是合格品零件是合格品解：解：则则 P(A1)= ，P(A2)=3132 P P( (B B| |A A1 1)=

31、1-0.03=0.97)=1-0.03=0.97 P P( (B B| |A A2 2)=1-0.02=0.98)=1-0.02=0.98 则则 P(B)= PP(B)= P( (A A1 1) )P P( (B B| |A A1 1)+ )+ P P( (A A2 2) )P P( (B B| |A A2 2) ) 9809703132.=0.973=0.97373例例2 2：（：（P39P39第第3535题）题）1212个乒乓球个乒乓球9 9新新3 3旧，第一次比赛时取出旧，第一次比赛时取出3 3个个用完后放回，第二次比赛又取出用完后放回，第二次比赛又取出3 3个，求取出的个，求取出的3

32、3个球中有个球中有2 2个个新球的概率。新球的概率。设设i=第一次第一次取出的取出的3个球中有个球中有i个新球个新球，(i=0，1，2，3)(B|A0)= (B|A1)= P(B|A2)= P(B|A3)= B=第二次第二次取出的取出的3个球中有个球中有2个新球个新球3122913CCC3122814CCC3122715CCC3122616CCC=3122913CCC31233CC3122913CCC+3121923CCC3122814CCC+3122715CCC+31239CC3122616CCC=0.45531239CC3122913CCC3121923CCC31233CC(A0)= (A

33、1)= P(A2)= P(A3)=则：则：P(B)=P(A0) P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)解：解：74 实际中还有一类问题实际中还有一类问题“已知结果求原因已知结果求原因”。这类问题在。这类问题在实际中常见，是已知某结果发生的条件下，求各原因发生的实际中常见，是已知某结果发生的条件下，求各原因发生的可能性大小，即求条件概率。可能性大小，即求条件概率。贝叶斯贝叶斯公式就解决这类问题。公式就解决这类问题。利用条件概率的计算公式与全概率公式可导出利用条件概率的计算公式与全概率公式可导出贝叶斯贝叶斯公式：公式： 定理定理1.4(贝叶斯公

34、式贝叶斯公式)：A1 ，A2 ， An构成一个完备事件组构成一个完备事件组并且并且 P(Ai)0(i=1,2, n), 则对任意一概率不为零的事件则对任意一概率不为零的事件B，有，有 1 niiikkk)A|B(P)A(P)A|B(P)A(P)B|A(P1.4.2 贝叶斯贝叶斯公式公式: :证明证明: : )B|A(Pk)B(P)BA(Pk 1 niii)A|B(P)A(P )A|B(P)A(Pkk 75在在贝叶斯贝叶斯公式中，公式中，P(AP(Ai i) )（i=1i=1，2 2，）是在没有新的信是在没有新的信息（不知道结果息（不知道结果B B是否发生）的情况下，人们对原因是否发生）的情况下

35、，人们对原因A Ai i发生可发生可能性大小的认识。能性大小的认识。 当有了新的信息（知道结果当有了新的信息（知道结果B B发生），发生）， P(P(i i| |) )是是人们对原因人们对原因A Ai i发生可能性大小的新的认识。发生可能性大小的新的认识。 P(AP(Ai i) ) 和和 P(AP(Ai i|B|B) ) 分别称为原因分别称为原因A Ai i的的先验概率（验前概率）先验概率（验前概率）和和后后验概率（验后概率）验概率（验后概率）。 应用应用贝叶斯贝叶斯公式计算后验概率，以此作出某种判断或决策公式计算后验概率，以此作出某种判断或决策 贝叶斯贝叶斯公式的意义：公式的意义： 假设导致

36、假设导致“结果结果”B B发生的发生的“原因原因”A Ai i(i=1(i=1，2 2，）两两不相容两两不相容现已知事件现已知事件B B发生了，若要计算导致发生了，若要计算导致B B出现的出现的“原因原因”A Ai i的概率，则的概率，则可用贝叶斯公式求。即可用贝叶斯公式求。即可从结果分析原因可从结果分析原因。76例例1：有朋友自远方来，他坐火车、船、汽车、飞机的可能性：有朋友自远方来，他坐火车、船、汽车、飞机的可能性分别是分别是0.3、0.2、0.1和和0.4，如果他坐火车、船、汽车来的话，如果他坐火车、船、汽车来的话， 迟到的概率分别是迟到的概率分别是 1/4、1/3、1/12，而坐飞机不

37、会迟到。结果，而坐飞机不会迟到。结果他迟到了，问他坐火车来的概率是多少？他迟到了，问他坐火车来的概率是多少？解：设解：设A A1 1=坐火车坐火车 ，A A2 2=坐船坐船 ，A A3 3=坐汽车坐汽车 ，A A4 4=坐飞机坐飞机 ， B=B=迟到迟到 。 由贝叶斯公式得：由贝叶斯公式得：5004010203030121314141. 则则 P(AP(A1 1)=0.3)=0.3， P(A P(A2 2)=0.2)=0.2， P(A P(A3 3)=0.1)=0.1， P(A P(A4 4)=0.4)=0.4 P(B|A1)=1/4， P(B|A2)=1/3， P(B|A3)=1/12， P

38、(B|A4)=0 411111 iii)A|B(P)A(P)A|B(P)A(P)B(P)BA(P)B|A(P要求要求P(A1|B)77例例2：(课本课本P29例例2) 某医院对某疾病有一种有效的检验方法，某医院对某疾病有一种有效的检验方法，可对可对0.95的该病患者和的该病患者和0.9的无该病者诊断无误，又由历史资的无该病者诊断无误，又由历史资料知道该病的发病率为料知道该病的发病率为0.0004,现有一人用这种方法检验出患现有一人用这种方法检验出患该病，求此人确患该病的概率。该病，求此人确患该病的概率。由贝叶斯公式得：由贝叶斯公式得：0038010999609500004095000040.

39、)AB(P)A(P)AB(P)A(P)A|B(P)A(P)B(P)BA(P)B|A(P 要求要求P(A|B)解：设解：设A A=患病患病 ，A=A=无病无病 ，B=B=检查出患病检查出患病 ，B=B=检查出无病检查出无病 则则 P(A)=0.0004P(A)=0.0004， P(A)=0.9996 P(A)=0.9996 P(B|A)=0.95， P(B|A)=0.9 P(B|A)=1-0.9=0.178课堂练习：课堂练习：(课本课本P39第第37题题)市场供应的灯泡中甲厂产品市场供应的灯泡中甲厂产品0.6,乙厂产品占乙厂产品占0.4,甲厂产品的次品率为甲厂产品的次品率为0.05,乙厂产品的次

40、品率乙厂产品的次品率为为0.1, 若买到一只灯泡是合格品，求它是由甲厂生产的概率。若买到一只灯泡是合格品，求它是由甲厂生产的概率。解：设解：设A A1 1=甲厂生产甲厂生产 ， A A2 2=乙厂生产乙厂生产 ， B=B=合格品合格品 由贝叶斯公式得：由贝叶斯公式得：61090409506095060. 则则 P(AP(A1 1)=0.6)=0.6， P(A P(A2 2)=0.4)=0.4 P(B|A1)=1-0.05=0.95， P(B|A2)=1-0.1=0.9要求要求P(A1|B) 211111 iii)A|B(P)A(P)A|B(P)A(P)B(P)BA(P)B|A(P79用用P(A

41、B)P(AB)= =P(A)P(B)P(A)P(B)来刻划独立性，比用来刻划独立性，比用P(A|B)=P(A)更方便，更方便，因它不受因它不受P(B)是否为是否为0的制约，而且，式中事件的制约，而且，式中事件A与与B的地位对的地位对称，反映了独立的相互性。称，反映了独立的相互性。1. 1. 事件事件A A对于事件对于事件B B的条件概率的条件概率P(A|B)和事件和事件A的无条件概的无条件概率率P(A)可能相等或不相等。可能相等或不相等。若若 P(A|B)= P(A) ( P(B) 0 )定义定义1.4此时由乘法公式知：此时由乘法公式知： P(A)=P(A|B) 等价于等价于 P(AB)P(A

42、B)= =P(A)P(B)P(A)P(B)称称对于独立对于独立1.5事件独立性与贝努里概型事件独立性与贝努里概型80P(AB)P(AB)= =P(A)P(B)P(A)P(B)定义定义1.51.5：（事件的独立性）：（事件的独立性）则称事件与则称事件与相互独立相互独立。如果事件如果事件A，B，满足：满足：注：（注：（1 1）当）当P(B)P(B)时，时，P(AB)P(AB)= =P(A)P(B)P(A)P(B)等价等价于于P(A|B)=P(A)P(A|B)=P(A) 当当P(A)0时，时，P(AB)P(AB)= =P(A)P(B)P(A)P(B)等价于等价于P(B|A)=P(B)（2 2）若事件

43、）若事件A A，B B独立，则独立，则A A与与B B，A A与与B B，A A与与B B都独立都独立证明：事件证明：事件A A，B B独立，有：独立，有：P(AB)P(AB)= =P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)-P(A)P(B)P(A)-P(A)P(B) P(AB)P(AB)= =P(A-B)=P(A-AB)=PP(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)= (A)-P(AB)= = =P(A)1-P(B)=P(A)P(B)P(A)1-P(B)=P(A)P(B)即事件即事件A,BA,B独立独立（3）若）若P(A)=0或或1，则，则A与任何事件独立与任何事件独立证明：若证明：若

44、P(A)=0P(A)=0，则则P(AB)=0,P(AB)=0,P(AB)P(AB)= =P(A)P(B)P(A)P(B)成立成立, ,则则A A与与B B独立独立 若若P(A)=1,P(A)=1,则则P(A)=0,AP(A)=0,A与与B B独立独立, ,即即A A与与B B独立独立81多个事件的独立性多个事件的独立性则称则称事件事件A A1 1 ,A,A2 2 , ,A An n 互相独立互相独立 定义定义1.8 1.8 对于事件对于事件A A1 1 ,A,A2 2 , ,A An n , ,若满足若满足: : P(AP(Ai iA Aj j)=P(A)=P(Ai i)P(A)P(Aj j)

45、 ) P(AP(Ai iA Aj jA Ak k)=P(A)=P(Ai i)P(A)P(Aj j)P(A)P(Ak k) ) P(AP(A1 1A A2 2 A An n)=P(A)=P(A1 1)P(A)P(A2 2) )P(AP(An n) )两两独立：是指两两独立：是指 A1，An 中任意两个是独立的，即中任意两个是独立的，即 对对 ij，有：有： P(A i A j) = P(A i) P(A j)互相独立和两两独立的区别互相独立和两两独立的区别:互相独立一定两两独立互相独立一定两两独立,但两两独立但两两独立不一定互相独立不一定互相独立（1）它们及它们的对立事件中任意一部分也是互相独立

46、）它们及它们的对立事件中任意一部分也是互相独立 niiniiniinii)A(P)A(P)A(P)A(P1111111（2）注：若注：若事件事件A A1 1 ,A,A2 2 , ,A An n 互相独立，则互相独立，则82“三个臭皮匠，顶一个诸葛亮三个臭皮匠，顶一个诸葛亮”，这是对人多办，这是对人多办法多，人多智慧高的一种赞誉。可从概率的计算法多，人多智慧高的一种赞誉。可从概率的计算得到证实。用得到证实。用 A i 表示表示“第第 i 个臭皮匠独立解决某个臭皮匠独立解决某问题问题”( i =1,2,3)，B表示表示“问题被解决问题被解决”，并设每，并设每个臭皮匠单独解决某问题的概率分别为：个臭

47、皮匠单独解决某问题的概率分别为： P(A1) = 0.45 P(A 2) = 0.55 P(A 3) = 0.60例：例：则：则： B B= = A A1 1A A2 2A A3 3 三个并不聪明的三个并不聪明的“臭皮匠臭皮匠”居然能解出居然能解出90%90%以上的问题以上的问题， 聪明的诸葛亮也不过如此。聪明的诸葛亮也不过如此。P(B) = 1- - P(B) = 1 P(A1A2A3) = 1 P(A1) P(A2) P(A3)= 1- - (1- - 0.45) (1- - 0.55) (1- - 0.60)= 1- - 0.550.450.40= 0.90183解：设解：设A=A=甲投

48、中甲投中 B=B=乙投中乙投中 C=C=丙投中丙投中 例例1 1： （课本（课本P28例例2）甲、乙、丙三人各投篮一次，他们投中的）甲、乙、丙三人各投篮一次，他们投中的概率分别为概率分别为 0.7 , 0.8 , 0.75, 求（求（1）三人中恰好有一人投中的概率）三人中恰好有一人投中的概率（2）三人都投中的概率（）三人都投中的概率（3）三人中至少有一人投中的概率）三人中至少有一人投中的概率ABC=ABC=三人都投中三人都投中 A+B+C=A+B+C=三人中至少有一人投中三人中至少有一人投中 P(ABC)P(ABC)= =P(A)P(B)P(C)=0.7 0.8 0.75=0.42P(A)P(

49、B)P(C)=0.7 0.8 0.75=0.42P(A+B+C)P(A+B+C)=1-P(A+B+C)=1-=1-P(A+B+C)=1-P(A)P(B)P(C)=1-0.3 0.2 0.25P(A)P(B)P(C)=1-0.3 0.2 0.25 =0.985 =0.985ABC+ ABC + ABC =ABC+ ABC + ABC =三人恰好有一人投中三人恰好有一人投中 P P（ABC+ ABC + ABCABC+ ABC + ABC） = = P P（ABCABC）+P+P（ABCABC） + P + P（ABCABC） =0.7=0.7 0.20.2 0.25+0.25+0.30.3 0.

50、80.8 0.25+0.25+0.30.3 0.20.2 0.75=0.140.75=0.1484解：解：(1)(1)、当、当事件事件与与互不相容时，互不相容时，AB=AB= ，P(AB)P(AB)=0=0，P(A+B)P(A+B)= =P(A)+P(B)=0P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7.3+0.4=0.7 独立性独立性: :是相对于概率是相对于概率P P而言的而言的, ,指两事件的发生互不影响。指两事件的发生互不影响。互不相容互不相容: : 是两个事件不可能同时发生，即没有公共的是两个事件不可能同时发生，即没有公共的 样本点，但并不涉及到事件的概率。样本点，但并不涉及到事件的概

51、率。两事件独立两事件独立与与两事件互不相容两事件互不相容的区别的区别例例2 2：（课本：（课本P38P38第第2727题）已知题）已知 P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.3,P(B)=0.4,在下列两在下列两 种情况下，求种情况下，求 P(A+B),P(AB)P(A+B),P(AB) (1) (1)当事件当事件A A与与B B互不相容时；互不相容时；(2)(2)当事件当事件A A与与B B独立时独立时 (2)(2)、当、当事件事件与与独立时，则：独立时，则：P(AB) P(AB) = = P(A)P(B)=0P(A)P(B)=0.3 0.4=0.12.3 0.4=0.12(2)

52、(2)、当、当事件事件与与独立时，则：独立时，则：P(AB) P(AB) = = P(A)P(B)=0P(A)P(B)=0.3 0.4=0.12.3 0.4=0.12P(A+B)P(A+B)= =P(A)+P(B)-PP(A)+P(B)-P(AB)(AB)=0=0.3+0.4-0.12=0.58.3+0.4-0.12=0.58 852. 贝努里概型贝努里概型试验的独立性：试验的独立性： 所谓两个试验所谓两个试验E1和和E2 独立，是指试验独立，是指试验E1 的结果的发生和的结果的发生和试验试验E2 的结果的发生互不影响。即试验的结果的发生互不影响。即试验E1 的任一事件和试验的任一事件和试验E

53、2 的任一事件是互相独立的。的任一事件是互相独立的。 独立试验序列：独立试验序列： 多个试验多个试验E1，E2 ，. En , A1 , A2 , ,An 分别是试验分别是试验E1，E2 ，. En 的任一事件，若的任一事件，若A1 , A2 , ,An是互相独立的，则称试验是互相独立的，则称试验E1，E2 ，. En 独立试验序列。独立试验序列。 86解：解：知知解得解得 例例3 3：（课本：（课本P28P28例例3 3）设两事件）设两事件A,B, 0P(A)1, 0P(B)1,A,B, 0P(A)1, 0P(B)1,且且 ，证明，证明A A与与B B相互独立。相互独立。 1 )BA(P)B

54、A(P)BA(P)BA(P 1)BA(P)BA(P )B(P)BA(P)B(P)AB(P )B(P)B(P 1)AB(P)A(P)ABA(P)BA(P)BA(P )B(P)AB(P)A(P)B(P)AB(P 1)B(P)A(P)AB(P 故故A A与与B B独立独立 87 将一个试验将一个试验 E 重复进行重复进行 n 次所得的独立试验序列次所得的独立试验序列 , 称为一个称为一个 n重独立试验序列，记为重独立试验序列，记为En . n重重独立试验：独立试验： n重贝努里试验重贝努里试验：把一个贝努里试验重复独立的进行：把一个贝努里试验重复独立的进行n次，次， 每次试验中事件每次试验中事件A的

55、概率的概率P(A)=P保持不变。保持不变。 贝努里试验贝努里试验： 试验只有两个可能的结果和。试验只有两个可能的结果和。 定义定义1.7 若一个试验若一个试验 E 的的样本空间样本空间 =A ,A ,则称则称E为为一个一个贝努里试验贝努里试验 .88 问题：问题：在在n重贝努里试验中，求事件重贝努里试验中，求事件A出现出现k次的概率次的概率 (0 k n)定理定理1.7: 若事件若事件A在一次试验中的概率为在一次试验中的概率为P(A)=P，在在n重贝努里重贝努里 试验中事件试验中事件A出现出现k次的概率为：次的概率为： knkknnqpC)k(P (其中其中q=1-p，0 k n)证明证明:在在 n 重贝努里试验中，设重贝努里试验中，设i = 第第 i 次试验出现事件次试验出现事件则指定的某则指定的某 k 次次(比如前比如前 k 次次)出现事件的概率可利用出现事件的概率可利用事件的独立性求得：事件的独立性求得：knknkknkkqp)A(P)A(P)A(P)A(P)A(P)AAAAA(P 121121由于在由于在 n 次试验中恰有次试验中恰有 k次出现事件次出现事件共有共有