难点19轨迹方程的求法

1、难点 19 轨迹方程的求法难点 22 轨迹方程的求法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个根本问题之一 . 求符合某种条件的动点的轨迹方 程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化将其转化为寻求变量间的关系 . 这 类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等根底知识的掌握，还充分考查了各种数学 思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们 的一大难点 .难点磁场()A、B为两定点，动点 M到A与到B的距离比为常数 入,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线 .案例探究例 1如下图， P (4 ， 0) 是圆 x 2+y 2=36 内的一点， A 、 B 是圆上

2、两动点， 且满足/ APB =90,求矩形 APBQ的顶点Q的轨迹方程.命题意图：此题主要考查利用“相关点代入法求曲线的轨迹方程，属级 题目.知识依托：利用平面几何的根本知识和两点间的距离公式建立线段 AB 中点的轨迹方 程.错解分析：欲求 Q 的轨迹方程,应先求 R 的轨迹方程,假设学生思考不深刻,发现不 了问题的实质,很难解决此题 .技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题,可先确定一个较易于求得的点的 轨迹方程,再以此点作为主动点,所求的轨迹上的点为相关点,求得轨迹方程.解：设 AB 的中点为 R ,坐标为 (x , y ),那么在 Rt ABP 中, |AR |=|PR |. 又因

3、为R是弦AB的中点，依垂径定理：在 Rt OAR中, |AR |2=|AO |2- |OR |2=36 (x2+y 2)又 |AR |=|PR |=(x -4) 2+y 2所以有(x 4) 2+y 2=36 (x 2+y 2), 即 x 2+y 2 4x 10=0因此点 R 在一个圆上,而当 R 在此圆上运动时, Q 点即在所求的轨迹上运动 . 设 Q (x , y ), R (x 1, y 1) ,因为 R 是 PQ 的中点,所以 x 1=代入方程 x 2+y 2 4x 10=0, 得x +4y +0, , y 1=22x +42y x +410=0 ) +() 2-4 ?222整理得： x

4、 2+y 2=56, 这就是所求的轨迹方程 .例2设点A和B为抛物线y 2=4px (p 0)上原点以外的两个动点，OA丄OB , 0M丄AB，求点 M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招)命题意图：此题主要考查“参数法求曲线的轨迹方程，属级题目知识依托：直线与抛物线的位置关系 .错解分析：当设 A 、 B 两点的坐标分别为 (x 1, y 1),(x 2, y 2)时，注意对“ x1=x 2 的讨论 .技巧与方法：将动点的坐标 x 、 y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从 而就建立了关于 x 、 y 的关系 .解法一：设 A (x 1, y 1), B (

5、x 2, y 2), M (x , y )依题意，有(?2? y 1=4px 1 ? 2? y 2=4px 2 ? y 1y 2=-1? ?x x ? 12? y y 1-y 2=-1 ? ?x x -x 12? y 1-y 2y -y 1x -x x -x 12一得(y 1 y 2)(y 1+y 2)=4p (x 1 x 2)假设 x 1 工x 2,那么有 y 1-y 24px 1-x 2y 1+y 23,得 y 122y 22=16p 2x 1x 2代入上式有y 1y 2= 16p 2代入，得 4p xy 1+y 2y 代入，得y -y 1y -y 14p=2y 1+y 2x -x 1yx

6、 -14p所以4p (y -y 1) 4p = 2y 1+y 24px -y 1即 4px y 12=y (y 1+y 2) y 12 y 1y 2 、代入上式，得 x 2+y 2 4px =0(x 工0)当x仁x 2时，AB丄x轴，易得 M (4p ,0)仍满足方程.故点M的轨迹方程为x 2+y 2 4px =0x工0它表示以2p ,0 为圆心，以2p为 半径的圆，去掉坐标原点 .解法二：设 M x , y ，直线 AB 的方程为 y =kx +bx由0M丄AB，得k =y由 y 2=4px 及 y =kx +b ，消去 y , 得 k 2x 2+2kb 4p x +b 2=0b 2所以 x

7、 1x 2=2, 消 x , 得 ky 2 4py +4pb =0k所以 y 1y 2=4pb，由 0A 丄 0B，得 y 1y 2= x 1x 2 kb 24pk所以 = 2, b = 4kpk kx代入，得 x 2+y 2 4px =0x 工 0 y故动点M的轨迹方程为x 2+y 2 4px =0x工0，它表示以2p ,0 为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点 .例 3某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为 1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为 3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个适宜的同号标准圆柱，问这两个 标准圆柱的直径为多少？命题意图：此题考查“定义法求曲线的

8、轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力，属级题目知识依托：圆锥曲线的定义，求两曲线的交点错解分析：正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关 键.技巧与方法：研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程 .解：设直径为 3,2,1 的三圆圆心分别为 O 、A 、B ，问题转化为求两等圆 P 、Q , 使它们与O O相内切，与O A、O B相外切建立如下图的坐标系，并设O P的半径为 r ,那么|P A |+|PO|=1+r +1.5 r =2.5点P在以A、O为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为故 y =kx +b =k (x 4p ), 用 k =

9、 116(x +) 22+2y =1 253同理 P 也在以 O 、 B 为焦点，长轴长为 2 的椭圆上，其方程为14(x ) 2+y 2=1 23由、可解得P (1*, ), Q (, -)， r = -() 2+() 2=1* *414故所求圆柱的直径为6cm. 7锦囊妙计求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法 .(1) 直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化 简即得动点轨迹方程 .(2) 定义法 假设动点轨迹的条件符合某一根本轨迹的定义 ( 如椭圆、双曲线、抛物线、 圆等 ) ，可用定义直接探求 .分别随另一变量的变化而变化，我们(

10、3) 相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程 .(4) 参数法 假设动点的坐标 (x , y )中的 x , y可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 . 要注意区别“轨迹与“轨迹方程 是两个不同的概念 .歼灭难点训练 一、选择题1.( ) 椭圆的焦点是 F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长 F 1P 到 Q ，使得 |PQ |=|PF 2| ，那么动点 Q 的轨迹是 ( )A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线x 2y 22.( ) 设 A 1、A 2 是椭圆=1的长轴两个端点， P 1、P 2 是

11、垂直于 A 1A 2 的弦 +94的端点，那么直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为()x 2y 2A. +=194x 2y 2C. -=1 94 二、填空题y 2x 2B. +=1 94y 2x 2D. -=1943. ( ) ABC中，A 为动点，B、C 为定点，B ( sin B =a a,0), C (,0) ，且满足条件 sin C 221sin A , 那么动点 A 的轨迹方程为 . 24. ( )高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m,如果把两旗杆底部的坐标分别确定为 A ( 5， 0) 、B (5， 0) ，那么地面观测两旗杆顶端仰角相等的 点的轨迹

12、方程是 .三、解答题5. () A、B、C是直线I上的三点，且|AB |=|BC |=6, O O 切直线I于点A ,又过B、C作O O 异于I的两切线，设这两切线交于点 P，求点P的 轨迹方程x 2y 26. ( ) 双曲线 2-2=1 的实轴为 A 1A 2 ,点 P 是双曲线上的一个动点,引 A 1Q 丄a bA 1P , A 2Q丄A 2P , A 1Q与A 2Q的交点为 Q，求Q点的轨迹方程.x 2y 27. ( )双曲线 2-2=1(m 0, n 0)的顶点为A 1、A 2，与y轴平行 的直线m nI 交双曲线于点 P 、 Q .(1) 求直线 A 1P 与 A 2Q 交点 M 的

13、轨迹方程；(2) 当m工n时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率x 2y 28. ( )椭圆 2+2=1(a b 0),点P为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点,Z F 1PF 2的外角平分线为l，点F 2关于l的对称点为Q , F 2Q交l于点R(1) 当 P 点在椭圆上运动时，求 R 形成的轨迹方程；(2) 设点 R 形成的曲线为 C ，直线 l ：y =k (x +2a ) 与曲线 C 相交于 A 、B 两点， 当AAOB的面积取得最大值时，求k的值.参考答案难点磁场解：建立坐标系如下图，设|AB |=2a , 那么A ( a ,0 ) , B (a ,0). 设M (x ,y

14、 )是轨迹上任意一点 .(x +a ) 2+y 2|MA |那么由题设，得=入,坐标代入，得=22|MB |(x -a ) +y入,化简得(1 入 2) x 2+(1 入 2) y 2+2a (1+ 入 2) x +(1 入 2) a 2=0 当入=1时，即|M A|=|M B|时，点M的轨迹方程是x =0 ,点M的轨迹是直线(y 轴).2a (1+ 入 2) 2(2) 当入工1时，点M的轨迹方程是 x +y +x +a =0. 点M的轨迹是以1- 入222a (1+ 入2) 2a 入(,0)为圆心，为半径的圆.221- 入|1-入|歼灭难点训练一、1.解析：t |PF 1|+|PF 2|=2

15、a ,|PQ |=|PF 2|,二 |PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ|=2a ,即|F 1Q |=2a ,二动点Q到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q的轨迹是圆. 答案： A2. 解析：设交点 P (x , y), A 1( 3,0), A 2(3,0),P 1(x 0, y 0), P 2(x 0,y 0) tA 1、P 1、P 共线，二y -y 0yx -x 0x +3y+y 0yx -x 0x -3 A 2、P 2、P 共线，二x 0y 093y x 2y 2 解得 x 0=, y 0=, 代入得 -=1, 即-=1x x 9494答案：C11二、3. 解析：由 s

16、in C sin B =sin A , 得 c b =a ,2216x 216y 2a a应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为2-=1(x ).42a 3a 216x 216y 2a答案： 2-=1(x )4a 3a 24. 解析：设 P (x , y )，依题意有225(x +5) +y3(x -5) +y22, 化简得 P 点轨迹方程为4x 2+4y 2 85x +100=0.答案： 4x 2+4y 2 85x +100=0三、5.解：设过B、C异于I的两切线分别切O O 于D、E两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |, |PD |=|PE |, |CA |=|CE

17、 | ，故 |PB |+|PC |=|BD|+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC | =|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=186=|BC |，故由椭圆定义知，点 P 的轨迹是以 B 、 C 为两焦点的椭圆，以 I 所在的直线为 x 轴，以 BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点 P 的轨迹x 2y 2方程为=1(y工0) +81726. 解：设 P (x 0, y 0) (x 工土 a ), Q (x , y ).v A 1( a ,0), A 2(a ,0).y 0 ? y ? x 0=- x (x 0 工土 a ) ? x +a x +a =

18、-1 ? ? 0得? 由条件 ? x 2-a 2y y y =0? ? 0?=-1y ? ? x -a x -a 0?而点 P (x 0, y 0) 在双曲线上， b 2x 02 a 2y 02=a 2b 2.x 2-a 2222即 b ( x ) a () =a by化简得Q点的轨迹方程为：a 2x 2 b 2y 2=a 4x 工土 a .又有 A 1( 7. 解： (1) 设 P 点的坐标为 (x 1, y 1) ，那么 Q 点坐标为 (x 1,y 1),m ,0), A 2(m ,0), 那么 A 1P 的方程为： y =y 1(x +m ) x 1+my 1(x -m ) x 1-m222(x -m ) 2A 2Q 的方程为： y = 3得：y =2y 12x 1-mx 1y 1n 222又因点 P 在双曲线上，故 2-2=1, 即 y 1=2(x 1-m 2).m n m x 2y 2代入并整理得 2+2=1. 此即为 M 的轨迹方程 .m n(2) 当m工n时，M的轨迹方程是椭圆.i 当m n时，焦点坐标为土 m -n ,0，准